할선
割線 / Secant line, Chord
1. 개요
원과 두 점에서 만나는 직선.
2. 특징
할선을 그었을 때 원 안쪽의 할선은 현, 원 테두리의 곡선은 호라고 하며, 원 위에 할선을 그으면 호와 현으로 둘러싸인 활꼴이 만들어지게 된다. 이때, 원에서 가장 큰 할선을 지름이라고 한다. 할선에서 수직이등분선을 그릴 때, 할선과 호의 거리가 가장 짧은 선분이 시가 된다.
접선과의 관계에 대해 알아보자면, 원과의 교점이 두 개인 직선이 할선이고, 접선은 교점이 한 개이다. 접선에 비해서 아무렇게나 찍찍 그리면 만들어져서 별로 중요해보이지 않을 수 있지만 원에서의 다양한 용어들을 정의하는데 유용하다. 접선 문서에서도 언급되어 있지만 접선을 원과 할선의 두 점의 거리를 0으로 수렴시킨 극한으로 인식하는 경우도 있다.
수학(2015)에서 원에 관련된 단원이 나오므로 자주 볼 수 있다. 기본적으로 판별식 D나 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 원의 반지름보다 커야 한다는 것을 이용한다.
현은 따로 $$\mathrm{crd}\,x$$라는 표기를 하기도 한다.
3. 할선의 결정
좌표평면에서 할선은 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기, 원 밖의 두 점 등으로 결정될 수 있는데, 이때 기울기나 두 점의 위치에 따라서 할선이 생길 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다.
- 원 밖의 한 점과 그 점을 지나는 직선의 기울기 : 원과 접할 때의 기울기를 각각 m, m'(m
m'이어야 한다. - 원 밖의 두 점의 위치 : 두 점을 잇는 직선의 방정식과 원의 방정식을 연립하여 이차방정식을 세운 후, 그 이차방정식의 판별식의 값이 0보다 크면 교점이 2개이므로 할선이 만들어진다. 눈대중으로 파악하거나 연필과 자를 이용하여 두 점을 직접 연결하는 직관적인 방법도 있다.
4. 활꼴의 넓이
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원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 가정하고, 그 원의 한 할선을 $$x=k$$ (단, $$0<k<1$$)라 하자. 이때 할선 오른쪽의 넓이는 부채꼴 $$\rm AOB$$의 넓이에서 이등변삼각형 $$\rm AOB$$의 넓이를 뺀 값과 같다. $$\overline{\rm AO}$$와 $$\overline{\rm OC}$$가 이루는 각의 크기를 $$\theta$$라 하면 $$\cos \theta = k =$$ ($$\overline{\rm OC}$$의 길이)가 성립하고, 부채꼴의 넓이는 $$\dfrac{1 \cdot 1 \cdot 2\theta}{2} = \theta$$이고, 이등변삼각형의 넓이는 $$k \cdot$$ ($$\overline{\rm AB}$$의 길이) $$ /\,2 = k \cdot \dfrac{2\,\mathrm{crd}\,\theta}{2} = k \sin \theta$$이다. 따라서 할선 오른쪽 부분의 넓이는 $$\theta - k \sin \theta$$가 되는데, 여기서 [math([\sin \theta]^2 + [\cos \theta]^2 = 1)]이므로 $$\sin \theta = \sqrt{1 - k^2}$$이고, $$k = \cos \theta$$ 이므로 $$\theta = \arccos k$$이다. 따라서 식을 변형하면 $$\arccos k - k\sqrt{1-k^2}$$ 가 되며, 이는 할선으로 분할된 두 부분 중 크지 않은 부분의 넓이이다. 반대로 작지 않은 부분의 넓이는 원의 넓이에서 크지 않은 부분의 넓이를 뺀 것이므로 $$\pi - \arccos k + k\sqrt{1-k^2}$$ 이다.
반지름이 $$a$$ (단, $$a>0$$)인 원의 경우 넓이가 $$a^2$$배가 되고, 중심을 원점으로 잡는다면 $$x=k$$가 할선이 되기 위한 양수 $$k$$의 범위는 $$(0,\,a)$$가 되므로 $$k$$ 대신 원의 중심 $$\rm O$$에서 할선에 수직인 방향으로 직선을 그렸을 때 할선과의 교점을 $$\rm A$$, 할선 방향으로의 원과의 교점을 $$\rm B$$라 할 때 $$\overline{\rm OA}$$와 $$\overline{\rm OB}$$의 길이의 비를 이용하면 된다. 이때는 분할된 두 영역 중 크지 않은 부분의 넓이가 $$a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2})$$가 된다.
원의 중심을 지나는 할선으로 구분된 두 영역의 넓이는 서로 같은데, 상술한 식 $$a^2(\pi- \arccos k+k\sqrt{1-k^2})$$에 k=0을 대입하면 넓이는 $$\dfrac{a^2}{2} \pi$$임을 알 수 있고, 이는 원의 넓이의 절반에 해당한다.
5. 할선법
割線法 / Secant Method
방정식의 근을 찾는 방법 중 하나로, 여기서는 원 대신 해당 방정식의 곡선에 대한 할선, 즉 곡선과의 교점이 2개인 직선을 의미한다. 방정식을 $$f(x)=0$$의 꼴로 만든 후 $$f(x)$$의 함숫값 2개를 이용하며, 다음의 식으로 정의된다.
$${x}_{n}=\dfrac{{x}_{n-2}f({x}_{n-1})-{x}_{n-1}f({x}_{n-2})}{f({x}_{n-1})-f({x}_{n-2})}$$
예를 들어 $$y=x^2$$와 $$y=x$$의 교점을 찾는 경우, 근을 찾기 위해서 $$x^2-x=0$$이라는 식을 이용할 수 있고 이를 $$f(x)$$라 하면 $$f(x)=x^2-x=0$$의 해를 구해야 한다. 함숫값을 $$x_1=2,\,x_2=3$$이라고 하면 다음과 같다. $$n=7$$ 정도까지 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n)$$이 수렴한다는 것을 파악하기 어렵지만 그 이후에는 수렴하는 모습을 보인다. 실근은 $$x=0$$ 또는 $$x=1$$이지만 $$x=0$$에 수렴하므로 모든 실근을 찾으려면 함숫값을 다양하게 설정해야 한다.6. 기타
- 문화어로 '가름선'이라고 한다.
- 할선 n개를 이용하여 원을 최대 몇 개의 영역으로 구분할 수 있는지에 대한 문제가 수학 시험에 간혹 출제된다. 할선이 n개 그려져 있을 때 1개의 할선을 더 그리면 (n+1)개의 영역을 추가할 수 있다는 점과 맨 처음에 1개의 영역이 있다는 점을 이용하면, n개의 할선으로 1+1+2+3+...+n=(n2+n+2)/2개의 영역으로 구분할 수 있다는 것을 알 수 있다.
- 원과 현 사이의 거리와 원의 반지름을 이용하여 피타고라스 정리를 통해 현의 길이를 구할 수 있으며, 각종 수학 시험에서 응용 문제로 간혹 등장한다.
- 어떤 정다각형의 대각선은 그 정다각형에 외접하는 원의 현이며, 이를 연장하면 할선이 된다.
- 금지를 의미하는, 원 안에 대각선이 있는 표시에서 그 대각선은 원의 현이며, ⊘ 기호에서 직선 부분은 가운데 부분의 원의 할선의 일부처럼 보인다.