활꼴
1. 개요
segment of a circle · 弓形[1]
원주 위의 서로 다른 두 점이 만드는 호(弧)와 현(弦)으로 둘러싸인 도형. 활처럼 생겨서 붙은 이름이다. 특별히 현이 원주에 딸린 지름과 같은 도형은 반원이라고 한다.
2. 둘레
현의 길이를 $$a$$라고 하면 활꼴의 둘레 길이 $$l$$은 다음과 같다.
$$\begin{aligned} l &= a +{\rm acrd}\,a \\ &= a + 2 \arcsin \dfrac{a}{2} \\ &= a -2i\,{\rm Log} \biggl(\sqrt{1 - \dfrac{a^2}{4}}+\dfrac{a}{2}i \biggr) \end{aligned}$$
$${\rm acrd}$$는 역할선 함수, $${\arcsin}$$은 역사인 함수, $$\rm Log$$는 복소로그함수, $$i$$는 허수단위 $$\sqrt{-1}$$이다.
3. 넓이
활꼴의 넓이는 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼어 구한다. 활꼴의 호의 길이에 따라 부채꼴의 중심각 $$\theta^{\circ}$$와 넓이가 결정된다. 원의 반지름을 $$r$$이라고 하면 삼각형의 넓이는 $$r^2 \sin{\theta^{\circ}} /2 $$이므로 활꼴의 넓이는 다음과 같다.
$$\begin{aligned} \biggr(\dfrac{\theta}{360}\pi-\dfrac12\sin{\theta^{\circ}}\!\!\biggr)r^2\end{aligned}$$
4. 교육과정
대한민국에서는 중2 때 배운다.