교점
交點 / Intersection point, point of intersection, node
어떤 평면이나 공간에서 서로 다른 선, 혹은 면과 선이 만나서 생기는 공통 부분인 점을 일컫는 말이다. 공간 $$X$$의 두 부분 집합 $$A, B$$에 대하여 $$A\cap B$$의 원소를 $$A, B$$의 교점이라 할 수도 있는데, 교점을 이렇게 정의할 때는 단순히 하나의 점이 아니라 여러 개의 점, 혹은 교선이나 교면, 심지어는 공간까지도 교점이 될 수 있다.
서로 다른 선끼리, 혹은 면과 선이 만나게 되었을 때 생기는 교점과는 달리, 면과 면이 만나게 되면 보통은 공통 부분으로 선이 생기기 때문에 교선이라고 하며, 두 면이 서로 일치하면 교면이 생긴다. 교선이나 교면이 생기는 경우 그 안에 무수히 많은 점이 있기 때문에 교점이 무한히 많다고 할 수 있다.
기하학의 기본적이고도 중요한 개념이다. 당장 수학Ⅰ만 펼쳐봐도 교점이란 말이 꽤나 많이 쓰이는 것을 알 수 있다. 중학교에서는 두 직선의 교점 정도가 문제로 자주 출제된다. 푸는 방법은 두 함수의 함숫값이 같다고 등식을 세우면 된다.
반직선의 교점에 대해서는 반직선 문서 참고.
교점은 두 선 또는 면이 만나는 형태에 따라 접하는 유형과 교차하는 유형으로 구분할 수 있다.
평면에서의 두 직선의 위치 관계에 따른 교점의 유형은 다음과 같다.
공간에서의 한 직선과 한 평면에 의한 교점의 유형은 다음과 같다.
4차원의 초공간을 가정한다면, 입체와 입체의 교점을 가정할 수도 있을 것이다. 이 경우에도 두 입체가 서로 평행하면 교점이 존재하지 않을 것이다. 그 이상의 n차원 초공간을 가정할 때 두 (n-1)차원 도형의 교점도 마찬가지이다.
두 원의 교점의 개수는 두 원의 반지름 및 중심 사이의 거리에 따라 달라진다. 반지름을 각각 R, r(단, R≥r), 중심 사이의 거리를 s라 하면 다음과 같이 s와 R, r의 관계에 따라서 교점의 개수가 달라진다.
직선이 곡선에 접하고, 접점 외에서는 만나지 않을 경우 교점은 1개이다. 평면이 구 등의 곡면과 접하고 그 외의 점에서 만나지 않을 경우도 역시 1개이다. 구체적인 도형에서의 예를 들면 다음과 같다.
더 이상 풀 수 없는 매듭에서 선이 겹치는 점 수를 뜻한다. 보통 매듭의 이름은 교점의 개수로 나타내어 $$n_m$$[2] 꼴이다.
직선이나 평면 등을 좌표평면이나 좌표공간상에서의 방정식으로 나타낼 수 있는데, 이 경우 직선이나 평면의 방정식을 보고 교점이 몇 개인지 구할 수 있다. 그 방정식 2개를 연립하여 만들어지는 연립방정식의 해의 개수가 바로 교점의 개수이며, 그 해가 바로 교점의 좌표이다. 예를 들어 n차 다항함수의 그래프와 직선의 교점의 개수는 최대 n개인데, 이는 (n차 다항함수식) = (직선의 식)의 해의 개수가 n개임을 의미한다.
두 직선의 방정식을 각각 ax + by + c = 0, px + qy + r = 0이라고 하면 다음과 같다.
두 직선의 방정식을 각각 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c[3], (x - P)/p = (y - Q)/q = (z - R)/r이라고 하면 다음과 같다.
직선의 방정식을 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c[4], 평면의 방정식을 px + qy + rz + s = 0이라고 하자. 이때는 상술한 방향벡터 위에 법선벡터[5]라는 개념을 이용해야 하는데, 평면 px + qy + rz + s = 0의 법선벡터는 <p, q, r>이다.
두 평면의 방정식은 ax + by + cz + d의 꼴로 나타나기 때문에 연립하면 보통 직선의 방정식이 나오는데, 이 직선이 바로 두 평면의 교선이다. 두 평면의 방정식을 각각 ax + by + cz + d = 0, px + qy + rz + s = 0이라고 하자.
이차방정식의 근의 개수를 구하는 판별식 D = b2 - 4ac를 이용하여 직선과 이차곡선, 두 이차함수의 그래프 등의 교점의 개수를 구할 수 있다. 판별식을 이용하여 교점의 개수를 구하는 과정은 다음과 같다. 단, x와 y에 관한 이차 이하의 식으로 나타내어지지 않는 곡선의 경우 이 방법으로 교점의 개수를 구할 수 없다는 점에 유의하자.
좌표평면에서 교점을 갖는 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y) = 0, g(x, y) = 0이라 하면, 두 도형의 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y) + k·g(x, y) = 0의 꼴로 k의 값에 따라 무한히 많이 존재한다. 두 도형의 교점은 각 도형의 방정식을 만족시키는 '공통부분'에 해당하므로 교점의 좌표 (x, y)는 f(x, y) = 0, g(x, y) = 0을 모두 만족시키고, 따라서 f(x, y) + k·g(x, y) = 0도 만족시킨다.
마찬가지로 좌표공간에서 교점을 갖는 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0이라 하면, 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y, z) + k·g(x, y, z) = 0의 꼴이다.
예를 들어 직선 y = x + 1과 원 x2 + y2 = 1의 교점은 (-1, 0), (0, 1)인데, 이 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y) = x - y + 1 = 0, g(x, y) = x2 + y2 - 1 = 0이라고 하면 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y) + k·g(x, y) = (x - y + 1) + k(x2 + y2 - 1) = 0이다. 여기에 교점의 좌표 (-1, 0), (0, 1)을 대입하면 k의 값에 관계없이 성립함을 알 수 있다.
고등학교 교과 과정에서 등장할 수 있는 문제 유형으로 두 원의 교점을 지나는 도형의 방정식과 관련된 것이 있는데, 두 원의 방정식을 각각 x2 + y2 + Ax + By + C = 0, x2 + y2 + A'x + B'y + C' = 0으로 놓으면 교점을 지나는 도형의 방정식은 (x2 + y2 + Ax + By + C) + k(x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0이라고 할 수 있다. 참고로 이것을 변형하면 (k + 1)x2 + (k + 1)y2 + (A + A')x + (B + B')y + (C + C') = 0이 되어 원의 방정식의 꼴이 된다.
경우의 수와 같은 대수학 이외의 수학적 개념을 이용하여 교점의 개수 등을 구하는 문제가 각종 시험이나 문제집 등에 출제될 수 있다.
경우의 수를 이용하는 문제 중의 한 유형으로 직선이 몇 개 있을 때, 그 직선들로 만들어질 수 있는 교점이 최대 몇 개인지를 묻는 것이 있다. 3개 이상의 직선이 지나는 공통 교점이 있거나, 서로 평행한 직선이 있을 수 있으므로 최대 개수보다 적은 수의 교점을 만들 수 있다. 참고로 교점의 최소 개수는 1개(그 직선들이 모두 한 점에서 만나는 경우)이다. 다음과 같은 방법으로 해결할 수 있다.
위 문제와 같이 교점의 개수가 최대가 되도록 대각선들이 모두 서로 평행하지 않고 3개 이상의 대각선이 한 점을 지나지도 않는다고 가정하고 아래의 방법으로 해결하면 된다. 단, 이 방법은 육각형 이상에서는 서로 만나지 않는 대각선이 반드시 생기기 때문에 '''대각선을 연장하여 생기는 교점도 인정하는 경우'''에만 가능하다. 참고로 정다각형의 경우는 정사각형, 정오각형을 제외하고는 3개 이상의 대각선이 지나는 공통 교점이 만들어지거나(정 2n각형), 대각선이 서로 평행한 경우(정 2n+1각형)가 반드시 생긴다.
node, nodal point / 交點
두 개의 구면좌표계에서의 기준면 교차점을 뜻하는 용어로, 구면 위에 있는, 구의 중심을 중심으로 하는 두 원의 교차점이기 때문에 총 2개가 생긴다. 예를 들어 적도 좌표계와 황도 좌표계에서 적도면과 황도면이 교차하는 분점, 달의 궤도와 천구의 적도면 또는 황도면과 만나는 점, 인공위성의 궤도가 적도면과 만나는 점 등을 말한다.
남에서 북으로 통과하는 교점을 승교점(昇交點), 그 반대의 교점을 강교점(降交點)이라고 한다.
일상 생활에서 가로줄과 세로줄이 만나는 것과 같은 교점을 흔히 찾아볼 수 있다.
1. 개요
어떤 평면이나 공간에서 서로 다른 선, 혹은 면과 선이 만나서 생기는 공통 부분인 점을 일컫는 말이다. 공간 $$X$$의 두 부분 집합 $$A, B$$에 대하여 $$A\cap B$$의 원소를 $$A, B$$의 교점이라 할 수도 있는데, 교점을 이렇게 정의할 때는 단순히 하나의 점이 아니라 여러 개의 점, 혹은 교선이나 교면, 심지어는 공간까지도 교점이 될 수 있다.
2. 상세
서로 다른 선끼리, 혹은 면과 선이 만나게 되었을 때 생기는 교점과는 달리, 면과 면이 만나게 되면 보통은 공통 부분으로 선이 생기기 때문에 교선이라고 하며, 두 면이 서로 일치하면 교면이 생긴다. 교선이나 교면이 생기는 경우 그 안에 무수히 많은 점이 있기 때문에 교점이 무한히 많다고 할 수 있다.
기하학의 기본적이고도 중요한 개념이다. 당장 수학Ⅰ만 펼쳐봐도 교점이란 말이 꽤나 많이 쓰이는 것을 알 수 있다. 중학교에서는 두 직선의 교점 정도가 문제로 자주 출제된다. 푸는 방법은 두 함수의 함숫값이 같다고 등식을 세우면 된다.
반직선의 교점에 대해서는 반직선 문서 참고.
3. 교점의 유형
교점은 두 선 또는 면이 만나는 형태에 따라 접하는 유형과 교차하는 유형으로 구분할 수 있다.
4. 도형의 위치 관계에 따른 교점
평면에서의 두 직선의 위치 관계에 따른 교점의 유형은 다음과 같다.
- 교점이 없음: 두 직선이 서로 평행할 때
- 교점이 1개임(일반적인 경우): 두 직선이 평행하지도 일치하지도 않을 때
- 교선을 이룸(교점이 무한히 많음): 두 직선이 서로 일치할 때
공간에서의 한 직선과 한 평면에 의한 교점의 유형은 다음과 같다.
- 교점이 없음: 직선과 평면이 서로 평행할 때
- 교점이 1개임(일반적인 경우): 직선과 평면이 서로 평행하지도, 직선이 평면에 포함되지도 않을 때
- 교선을 이룸(교점이 무한히 많음): 직선이 평면에 포함될 때
- 교점이 없음: 두 평면이 서로 평행할 때
- 교선을 이룸(일반적인 경우, 교점이 무한히 많음): 두 평면이 서로 평행하지도 일치하지도 않을 때
- 교면을 이룸(교점이 무한히 많음): 두 평면이 서로 일치할 때
4차원의 초공간을 가정한다면, 입체와 입체의 교점을 가정할 수도 있을 것이다. 이 경우에도 두 입체가 서로 평행하면 교점이 존재하지 않을 것이다. 그 이상의 n차원 초공간을 가정할 때 두 (n-1)차원 도형의 교점도 마찬가지이다.
4.1. 원과 구의 교점
두 원의 교점의 개수는 두 원의 반지름 및 중심 사이의 거리에 따라 달라진다. 반지름을 각각 R, r(단, R≥r), 중심 사이의 거리를 s라 하면 다음과 같이 s와 R, r의 관계에 따라서 교점의 개수가 달라진다.
- s < R - r → 없음(한 원의 내부에 다른 원이 들어간다.)
- s = R - r → 1개(두 원이 내접한다. R = r인 경우 s = 0이므로 중심과 반지름이 서로 같고, 따라서 원 모양의 교선이 생기며 교점의 개수는 무한히 많다.)
- R - r < s < R + r → 2개
- s = R + r → 1개(두 원이 외접한다.)
- s > R + r → 없음
4.2. 다양한 도형의 교점의 개수
직선이 곡선에 접하고, 접점 외에서는 만나지 않을 경우 교점은 1개이다. 평면이 구 등의 곡면과 접하고 그 외의 점에서 만나지 않을 경우도 역시 1개이다. 구체적인 도형에서의 예를 들면 다음과 같다.
- 직선과 볼록 도형의 교점: 최대 2개이다. 예를 들어 직선이 정삼각형, 정사각형 등 정다각형이나 원 또는 타원의 내부를 통과하면 2개의 교점이 생긴다.
- 직선과 오목 도형의 교점: (오목한 부분의 개수 x 2 + 2)개만큼의 교점이 생길 수 있다. 오목 도형의 가장자리에서 2개의 교점이 생기고, 오목한 부분 하나를 통과할 때마다 2개의 교점이 생기기 때문이다. 단, 도형의 형태에 따라 직선의 위치에 따른 최대 교점의 개수가 이 미만일 수 있다.
- 직선과 포물선의 교점: 직선이 포물선의 안쪽을 통과하면 2개의 교점이 생긴다.
- 직선과 쌍곡선의 교점: 쌍곡선의 한쪽 부분의 안쪽을 통과하거나 양쪽 부분을 통과하는 경우 2개의 교점이 생긴다. 쌍곡선의 중심을 지나는 직선의 경우 쌍곡선과 접하는 경우가 없기 때문에 교점의 개수는 항상 0개 또는 2개이다. 좌표평면에서 주축이 x축과 평행하거나 일치하는 쌍곡선의 점근선의 기울기를 ±m이라 할 때, 그 쌍곡선의 중심을 지나는 직선의 경우 기울기의 절댓값이 m보다 크거나 같으면 교점이 없고, 작으면 교점이 2개이다.
- 직선과 구 또는 타원체의 교점: 직선이 구 또는 타원체의 내부를 통과하면 2개, 접하면 1개, 그렇지 않으면 0개이다.
- 평면과 구 또는 타원체의 교점: 평면이 구 또는 타원체의 내부를 통과하는 경우, 원형 또는 타원형의 교선이 생기므로 교점은 무한히 많다.
- 평면과 포물면의 교점: 평면이 포물면의 안쪽을 통과하는 경우, 원형 또는 타원형의 교선이 생기므로 교점은 무한히 많다.
4.3. 매듭이론에서
더 이상 풀 수 없는 매듭에서 선이 겹치는 점 수를 뜻한다. 보통 매듭의 이름은 교점의 개수로 나타내어 $$n_m$$[2] 꼴이다.
5. 도형의 방정식과 교점
직선이나 평면 등을 좌표평면이나 좌표공간상에서의 방정식으로 나타낼 수 있는데, 이 경우 직선이나 평면의 방정식을 보고 교점이 몇 개인지 구할 수 있다. 그 방정식 2개를 연립하여 만들어지는 연립방정식의 해의 개수가 바로 교점의 개수이며, 그 해가 바로 교점의 좌표이다. 예를 들어 n차 다항함수의 그래프와 직선의 교점의 개수는 최대 n개인데, 이는 (n차 다항함수식) = (직선의 식)의 해의 개수가 n개임을 의미한다.
5.1. 좌표평면에서의 두 직선의 방정식과 교점
두 직선의 방정식을 각각 ax + by + c = 0, px + qy + r = 0이라고 하면 다음과 같다.
- 교점이 없음(평행): a : b = p : q의 관계가 성립하지만 서로 같은 방정식이 아니면, 즉 aq - bp = 0이고 a : b : c = p : q : r의 관계가 성립하지 않으면 두 직선이 평행하므로 교점이 존재하지 않는다. 두 직선의 기울기가 같을 때 평행하다는 것을 생각해 보자. 직선 ax + by + c = 0의 기울기는 by = -(ax + c) 에서 y = -$$\frac{ax + c}{b}$$이므로 -$$\frac{a}{b}$$가 된다. 마찬가지로 직선 px + qy + r = 0의 기울기는 -$$\frac{p}{q}$$가 된다. 기울기가 서로 같으려면 -$$\frac{a}{b}$$ = -$$\frac{p}{q}$$가 되어야 하고, aq = bp 가 성립해야 한다.
- 교점이 무한히 많음(일치): 요약하자면 두 직선의 방정식이 서로 같은 경우이다. 이 경우 a : b : c = p : q : r의 관계가 성립해야 한다.
- 교점이 1개임: 위 2가지에 해당하지 않는 경우이다. 즉 a : b = p : q의 관계가 성립하지 않을 때이다.
- 두 직선의 방정식이 각각 3x + 4y + 5 = 0, 6x + 8y - 3 = 0이라고 하자. 이때 3 : 4 = 6 : 8의 관계가 성립하지만 3 : 4 : 5 = 6 : 8 : -3의 관계는 성립하지 않으므로 두 직선은 서로 평행하고 교점이 없다.
- 두 직선의 방정식이 각각 2x + 3y + 4 = 0, 4x + 6y + 8 = 0이라고 하자. 이때 2 : 3 : 4 = 4 : 6 : 8의 관계가 성립하므로 두 직선은 서로 일치한다. 실제로 2x + 3y + 4 = 0의 각 상수에 모두 2를 곱하면 4x + 6y + 8 = 0이므로, 두 방정식은 서로 일치하고, 교선이 생기므로 교점은 무한히 많다.
- 두 직선의 방정식이 각각 x + 2y + 3 = 0, 4x + 5y + 6 = 0이라고 하자. 이때 1 : 2 = 4 : 5의 관계가 성립하지 않으므로 두 직선은 한 점에서 만난다.
5.2. 좌표공간에서의 두 직선의 방정식과 교점
두 직선의 방정식을 각각 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c[3], (x - P)/p = (y - Q)/q = (z - R)/r이라고 하면 다음과 같다.
- 교점이 없는 경우
- 평행: a : b : c = p : q : r이지만 A, B, C가 서로 달라서 직선의 방정식이 서로 같지 않은 경우이다. 방향벡터의 개념을 이용하면 두 직선의 방향벡터가 가리키는 '방향'이 서로 일치할 때 두 직선이 서로 평행하거나 일치하는데, 두 직선의 방향벡터는 각각
- 꼬인 위치: 두 직선의 방정식을 연립할 때 해 (x, y, z)가 존재하지 않으면서 평행이 아닌 경우이다.
- 평행: a : b : c = p : q : r이지만 A, B, C가 서로 달라서 직선의 방정식이 서로 같지 않은 경우이다. 방향벡터의 개념을 이용하면 두 직선의 방향벡터가 가리키는 '방향'이 서로 일치할 때 두 직선이 서로 평행하거나 일치하는데, 두 직선의 방향벡터는 각각
- 교점이 1개인 경우: 두 직선의 방정식을 연립할 때 1개의 해가 존재하는 일반적인 경우이다.
- 교선을 이루어 교점이 무한히 많은 경우: 두 직선의 방정식이 서로 일치할 때이다. a : b : c = p : q : r이면서 A, B, C가 서로 같을 때를 예로 들 수 있다.
- 직선 (x - 1)/2 = (y - 1)/3 = (z - 1)/4와 (x - 2)/4 = (y - 2)/6 = (z - 2)/8의 경우, 2 : 3 : 4 = 4 : 6 : 8이므로 두 직선은 서로 평행하거나 일치한다. 두 직선이 일치하는지 알아보기 위하여 x = y = z = 2를 대입하면, 전자는 1/2 = 1/3 = 1/4라는 틀린 식이 도출되지만 후자는 0 = 0 = 0이라는 맞는 식이 도출되므로 점 (2, 2, 2)는 후자만 지남을 알 수 있다. 따라서 서로 일치하지 않으므로 두 직선은 서로 평행하다. 따라서 교점이 존재하지 않는다.
- 직선 x/2 = y = z/2와 (x - 1)/2 = y = z를 보자. 두 직선의 방정식을 연립하면 y = z/2이고 y = z이므로 y = z = 0이므로 x/2 = 0, (x - 1)/2 = 0이다. 이를 만족시키는 x는 존재하지 않으므로 해 (x, y, z)는 존재하지 않고, 2 : 1 : 2 ≠ 2 : 1 : 1이므로 교점이 존재하지 않는 꼬인 위치이다.
- 직선 x/3 = y = z/2와 x/4 = y = z를 보자. 해 (x, y, z) = (0, 0, 0)이므로 교점은 원점이고, 3 : 1 : 2 ≠ 4 : 1 : 1이므로 평행하지 않다. 따라서 교점은 오직 원점 하나뿐이다.
- 직선 x/3 = y = z/2와 x/6 = y/2 = z/4를 보자. 3 : 1 : 2 = 6 : 2 : 4이므로 서로 평행하거나 일치한다. 둘 모두 원점을 지나므로 두 직선은 서로 일치하며, 교점은 (3a, a, 2a) 꼴로 무한히 많이 존재한다.
5.3. 좌표공간에서의 한 직선과 한 평면의 방정식과 교점
직선의 방정식을 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c[4], 평면의 방정식을 px + qy + rz + s = 0이라고 하자. 이때는 상술한 방향벡터 위에 법선벡터[5]라는 개념을 이용해야 하는데, 평면 px + qy + rz + s = 0의 법선벡터는 <p, q, r>이다.
- 직선과 평면이 서로 평행하여 교점이 없는 경우: 직선의 방향벡터
- 직선의 방정식이 (x - A)/a = (y - B)/b, z = c와 같이 특정한 좌표가 상수일 경우 그 직선과 평행한 평면은 해당 좌표의 값이 일정한 평면이다. 예를 들어 (x - 1)/2 = (y - 1)/4, z = 3으로 나타내어지는 직선과 평행한 평면은 z = k(k는 상수) 꼴로 나타내어지는 평면이다. 단, 여기서 z = 3인 경우 평면이 직선을 포함하므로 교점은 무한히 많다.
- 직선이 평면에 포함되어 교점이 무한히 많은 경우: 직선의 방정식을 만족시키는 모든 점 (x, y, z)가 평면의 방정식을 만족시켜야 한다. 직선 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c에서 (x - A)/a = (y - B)/b = (z - C)/c = t라 하면 x = at + A, y = bt + B, z = ct + C가 되고, 이를 평면의 방정식 px + qy + rz + s = 0에 대입할 때 이것이 t에 대한 항등식이 되어야 한다. 즉 p(at + A) + q(bt + B) + r(ct + C) + s = (ap + bq + cr)t + Ap + Bq + Cr + s = 0이 t에 대한 항등식이 되어야 하므로, ap + bq + cr = 0, Ap + Bq + Cr + s = 0이 되어야 한다. 여기서 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터의 내적이 0임을 알 수 있다.
- 이를 검토하는 방법도 있는데, 직선 위의 2개의 점이 평면에 포함되는지의 여부를 알아보는 것이다. 직선 위의 2개의 점이 모두 평면에 포함되면 직선 전체가 평면에 포함된다. 직선 위의 두 점을 각각 (A, B, C), (A + a, B + b, C + c)라 하고 이를 평면의 방정식에 대입하면 각각 ① Ap + Bq + Cr + s = 0, ② (A + a)p + (B + b)q + (C + c)r + s = 0이 되는데, ②에서 ①을 빼면 ③ ap + bq + cr = 0이 된다. 여기서 ①과 ③은 상술한 't에 대한 항등식이 될 조건'과 같다.
- 교점이 1개인 경우: 위 2가지에 해당되지 않는 경우이다. 즉 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터의 내적이 0이 아니기 때문에, 서로 수직이 아닌 경우이다.
- 직선 (x - 1)/2 = (y - 1)/3 = (z - 1)/5와 평면 x + y - z + 1 = 0이 있다고 하자. 직선의 방향벡터 <2, 3, 5>와 평면의 법선벡터 <1, 1, -1>의 내적은 0이므로 직선과 평면은 평행하거나 직선이 평면에 포함된다. 이때 (x - 1)/2 + (y - 1)/3 + (z - 1)/5 = t라 하면 x = 2t + 1, y = 3t + 1, z = 5t + 1이고 이를 x + y - z + 1 = 0에 대입하면 (2t + 1) + (3t + 1) - (5t + 1) + 1 = 2 ≠ 0이므로 직선이 평면에 포함되지 않는다. 따라서 직선과 평면은 평행하므로 교점이 존재하지 않는다.
- 직선 (x - 3)/3 = (y - 1)/2 = z - 1과 평면 x - y - z - 1 = 0이 있다고 하자. (x - 3)/3 = (y - 1)/2 = z - 1 = t이면 x = 3t + 3, y = 2t + 1, z = t + 1이고, 이를 x - y - z + 1 = 0에 대입하면 (3t + 3) - (2t + 1) - (t + 1) - 1 = 0이 되고, 이를 계산하면 0 = 0이므로 항등식이 된다. 따라서 직선이 평면에 포함되므로 교점은 무한히 많다. 실제로 직선 위의 점 (3, 1, 1)과 (6, 3, 2)를 평면의 방정식에 대입하면 모두 0 = 0이 나온다.
- 직선 x = y = z와 평면 x + y + z = 0의 경우, 직선의 방향벡터 <1, 1, 1>과 평면의 법선벡터 <1, 1, 1>의 내적은 1 + 1 + 1 = 3 ≠ 0이므로 교점이 1개이다. 실제로 교점을 구해 보면 원점 하나뿐이다.
5.4. 좌표공간에서의 두 평면의 방정식과 교점
두 평면의 방정식은 ax + by + cz + d의 꼴로 나타나기 때문에 연립하면 보통 직선의 방정식이 나오는데, 이 직선이 바로 두 평면의 교선이다. 두 평면의 방정식을 각각 ax + by + cz + d = 0, px + qy + rz + s = 0이라고 하자.
- 교점이 없음(평행): a : b : c = p : q : r이 성립하지만 a : b : c : d = p : q : r : s가 성립하지 않아서 두 방정식이 서로 일치하지 않는 경우이다. 상술한 법선벡터의 개념을 이용하면 두 법선벡터가 가리키는 '방향'이 서로 같지만 두 방정식이 일치하지 않는 경우라고 할 수 있다.
- 교점이 무한히 많은 경우
- 일치(교면을 이룸): 두 평면의 방정식이 서로 일치하는 경우이다.
- 교선을 이룸: 위 2가지 경우가 아닌 경우이다. 즉 a : b : c ≠ p : q : r인 경우이다.
- 두 평면 3x + 2y + z = 0, 6x + 4y + 2z + 1 = 0의 경우, 3 : 2 : 1 = 6 : 4 : 2이지만 3 : 2 : 1 : 0 ≠ 6 : 4 : 2 : 1이므로 방정식이 서로 일치하지 않는다. 따라서 평행하고, 교점은 존재하지 않는다.
- 두 평면 x + y + z + 4 = 0, 2x + y - z + 1 = 0의 경우, 1 : 1 : 1 ≠ 2 : 1 : -1이므로 교선을 이루며, 교점은 무한히 많다.
- 두 평면 x + y + 2z + 2 = 0, 2x + 2y + 4z + 4 = 0의 경우, 왼쪽의 방정식의 각 항에 2를 곱하면 오른쪽의 방정식과 같아지므로 두 방정식은 서로 일치한다. 따라서 두 평면은 서로 일치하므로 교면을 이루기 때문에 교점이 무한히 많다.
5.5. 좌표축, 좌표평면과 교점
- 좌표평면에서 x축과 y축은 원점이라는 하나의 교점만을 갖는다. 좌표공간의 x축, y축, z축이나 xy, yz, zx평면도 마찬가지이다.
- 좌표공간에서 xy평면, yz평면, zx평면 중 2개를 선택하면 이 두 평면은 좌표축을 교선으로 한다.
- 좌표공간에서 xy평면과 z축, yz평면과 x축, zx평면과 y축은 모두 원점이라는 하나의 교점만을 갖는다.
- 좌표평면에서 원점을 중심으로 한 원은 x축, y축과 각각 2개의 교점을 갖는다.
- 좌표공간에서 원점을 중심으로 한 구는 x축, y축, z축과 각각 2개의 교점을 갖는다.
5.6. 판별식을 이용한 교점의 개수 구하기
이차방정식의 근의 개수를 구하는 판별식 D = b2 - 4ac를 이용하여 직선과 이차곡선, 두 이차함수의 그래프 등의 교점의 개수를 구할 수 있다. 판별식을 이용하여 교점의 개수를 구하는 과정은 다음과 같다. 단, x와 y에 관한 이차 이하의 식으로 나타내어지지 않는 곡선의 경우 이 방법으로 교점의 개수를 구할 수 없다는 점에 유의하자.
- 직선을 y = ax + b 꼴로 나타낸다.
- y = ax + b를 이차곡선의 방정식의 y에 대입하여 x에 관한 이차방정식을 만든다.
- 그 이차방정식의 실근의 개수를 판별식을 이용하여 판별한다. 실근의 개수가 교점의 개수와 같으며, D > 0이면 2개, D = 0이면 1개이고, D < 0이면 존재하지 않는다.
- 직선을 y = ax + b 꼴로 변형하면 y = -2x + 2가 된다.
- 이것을 x2 + 4y2 = 1에 대입하면 x2 + 4(-2x + 2)2 = 1이고, 전개하면 17x2 - 32x + 15 = 0이 된다.
- D = b2 - 4ac를 이용하면 D = 322 - (4 x 17 x 15) = 1024 - 1020 = 4 > 0이므로 교점은 2개이다. 실제로 교점을 구하면 ($$\frac{15}{17}$$, $$\frac{4}{17}$$), (1, 0)이다.
5.7. 두 도형의 교점을 지나는 도형의 방정식
좌표평면에서 교점을 갖는 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y) = 0, g(x, y) = 0이라 하면, 두 도형의 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y) + k·g(x, y) = 0의 꼴로 k의 값에 따라 무한히 많이 존재한다. 두 도형의 교점은 각 도형의 방정식을 만족시키는 '공통부분'에 해당하므로 교점의 좌표 (x, y)는 f(x, y) = 0, g(x, y) = 0을 모두 만족시키고, 따라서 f(x, y) + k·g(x, y) = 0도 만족시킨다.
마찬가지로 좌표공간에서 교점을 갖는 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0이라 하면, 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y, z) + k·g(x, y, z) = 0의 꼴이다.
예를 들어 직선 y = x + 1과 원 x2 + y2 = 1의 교점은 (-1, 0), (0, 1)인데, 이 두 도형의 방정식을 각각 f(x, y) = x - y + 1 = 0, g(x, y) = x2 + y2 - 1 = 0이라고 하면 교점을 지나는 도형의 방정식은 f(x, y) + k·g(x, y) = (x - y + 1) + k(x2 + y2 - 1) = 0이다. 여기에 교점의 좌표 (-1, 0), (0, 1)을 대입하면 k의 값에 관계없이 성립함을 알 수 있다.
고등학교 교과 과정에서 등장할 수 있는 문제 유형으로 두 원의 교점을 지나는 도형의 방정식과 관련된 것이 있는데, 두 원의 방정식을 각각 x2 + y2 + Ax + By + C = 0, x2 + y2 + A'x + B'y + C' = 0으로 놓으면 교점을 지나는 도형의 방정식은 (x2 + y2 + Ax + By + C) + k(x2 + y2 + A'x + B'y + C') = 0이라고 할 수 있다. 참고로 이것을 변형하면 (k + 1)x2 + (k + 1)y2 + (A + A')x + (B + B')y + (C + C') = 0이 되어 원의 방정식의 꼴이 된다.
6. 교점과 관련된 수학 문제
경우의 수와 같은 대수학 이외의 수학적 개념을 이용하여 교점의 개수 등을 구하는 문제가 각종 시험이나 문제집 등에 출제될 수 있다.
6.1. 여러 개의 직선의 교점의 최대 개수
경우의 수를 이용하는 문제 중의 한 유형으로 직선이 몇 개 있을 때, 그 직선들로 만들어질 수 있는 교점이 최대 몇 개인지를 묻는 것이 있다. 3개 이상의 직선이 지나는 공통 교점이 있거나, 서로 평행한 직선이 있을 수 있으므로 최대 개수보다 적은 수의 교점을 만들 수 있다. 참고로 교점의 최소 개수는 1개(그 직선들이 모두 한 점에서 만나는 경우)이다. 다음과 같은 방법으로 해결할 수 있다.
- 문제 해결을 본격적으로 시작하기 전에 교점의 개수를 최대화하기 위해, 직선들은 모두 서로 평행하지 않고, 3개 이상의 직선이 지나는 공통 교점도 없다고 가정한다.
- 직선이 2개 있는 경우, 그 직선이 평행하지 않으면 교점이 1개 만들어진다.
- 직선이 n개 있을 때 여기서 1개의 직선을 추가한다고 하자. 기존의 n개의 직선과 모두 만난다고 할 때, 각 직선과의 교점의 수는 최대 1개이므로 교점이 n개 추가된다.
- 따라서 직선이 n(≥2)개 있는 경우, 직선이 (n-1)개 있을 때 1개의 직선을 추가하여 교점이 (n-1)개 추가되는 과정까지 진행되므로 교점의 개수는 최대 1 + 2 + ... + (n-1) =$$\frac{n(n-1)}{2}$$개이다. 예를 들어 직선이 4개 있는 경우, 교점은 최대 6개이다.
6.2. 볼록 n각형의 대각선의 교점의 최대 개수
위 문제와 같이 교점의 개수가 최대가 되도록 대각선들이 모두 서로 평행하지 않고 3개 이상의 대각선이 한 점을 지나지도 않는다고 가정하고 아래의 방법으로 해결하면 된다. 단, 이 방법은 육각형 이상에서는 서로 만나지 않는 대각선이 반드시 생기기 때문에 '''대각선을 연장하여 생기는 교점도 인정하는 경우'''에만 가능하다. 참고로 정다각형의 경우는 정사각형, 정오각형을 제외하고는 3개 이상의 대각선이 지나는 공통 교점이 만들어지거나(정 2n각형), 대각선이 서로 평행한 경우(정 2n+1각형)가 반드시 생긴다.
- 볼록 n각형의 대각선의 개수는 $$\frac{n(n-3)}{2}$$개이다. 이것을 N개라고 하자.
- 이들 대각선 중 2개를 선택하면 하나의 교점이 정해지므로, 구하는 교점의 수는 N개의 대각선 중 2개를 선택하는 경우의 수와 같으므로 조합을 이용하여 해결하면 된다.
7. 천문학에서
node, nodal point / 交點
두 개의 구면좌표계에서의 기준면 교차점을 뜻하는 용어로, 구면 위에 있는, 구의 중심을 중심으로 하는 두 원의 교차점이기 때문에 총 2개가 생긴다. 예를 들어 적도 좌표계와 황도 좌표계에서 적도면과 황도면이 교차하는 분점, 달의 궤도와 천구의 적도면 또는 황도면과 만나는 점, 인공위성의 궤도가 적도면과 만나는 점 등을 말한다.
남에서 북으로 통과하는 교점을 승교점(昇交點), 그 반대의 교점을 강교점(降交點)이라고 한다.
8. 일상 생활에서 볼 수 있는 교점
일상 생활에서 가로줄과 세로줄이 만나는 것과 같은 교점을 흔히 찾아볼 수 있다.
- 직사각형으로 구성된 각종 표에서 각 칸의 꼭짓점은 가로줄과 세로줄의 교점이라고 할 수 있다. Microsoft Excel 등의 스프레드시트 프로그램에서 각 셀의 꼭짓점도 이와 같다.
- 도로를 선으로 볼 때, 교차로는 그 선이 만나는 교점이라고 할 수 있다.
- 금지 등을 의미하는 X표는 두 대각선이 하나의 교점을 갖는 형태이다.
9. 기타
- 비유적 의미로, 어떤 두 대상이 서로 만나는 점 또는 토론 등에서의 합의점을 '교점'이라고 하기도 하며, 이 중 전자의 경우 '교집합'과 비슷한 의미를 가진다고 할 수 있다. 예를 들어 '수학과 과학의 교점은 물리학이다'라고 하는 식이다.
- 서로 일정한 거리 D만큼 떨어진 평행한 직선들 위에 길이가 d(≤D)인 선분 형태의 바늘을 던져서 그 선분과 직선 사이에 교점이 존재할 확률을 이용하여 원주율을 구하는 '뷔퐁의 바늘 문제'가 있다. 이것을 계속 반복한다면 그 확률 P의 값은 일정한 값에 가까워지는데, π = $$\frac{2d}{PD}$$라는 결과가 나온다. 특히 d = D일 때 π = $$\frac{2}{P}$$가 된다.
- 정2n각형(n≥2)에서 서로 정반대 방향에 있는 점끼리 연결한 n개의 대각선들은 그 도형의 중심에서 하나의 공통 교점을 갖는다. 예를 들어 정육각형은 서로 정반대 방향의 3쌍의 점을 연결한 3개의 대각선이 중심에서 모두 만난다.
- 상술한 것처럼 기하학의 주요 개념 중 하나이므로 수학 교육과정에서 교점을 활용하는 문제가 많이 출제된다.
- 대학수학능력시험의 수학 영역에서 함수의 그래프의 교점을 이용하는 문제가 출제되기도 한다. 예를 들어 2012학년도 대학수학능력시험 수리 영역 30번 문제는 두 곡선과 직선의 교점을 이용하는 문제였다. 이 외에 도형을 이용한 무한등비급수의 합을 구하는 유형의 문제에서도 교점을 이용해서 해결해야 하는 경우가 있다.
- 기하와 벡터 과목의 경우 I. 평면 곡선 단원에서 포물선, 타원, 쌍곡선과 직선의 교점, III. 공간도형과 공간벡터 단원에서 직선과 평면의 교점, 평면과 평면의 교선 등을 이용하는 문제가 출제될 수 있다.
- 두 원의 교점을 잇는 선분을 공통현이라고 하는데, 고등학교 1학년 수학 문제로 공통현의 길이를 구하는 문제가 많이 출제된다. 두 원의 중심에서 같은 거리만큼 떨어진 점들의 집합이 되는 직선의 일부가 공통현인데, 이 직선의 방정식을 구한 후 원의 중심과 공통현 사이의 거리, 원의 반지름을 이용하여 공통현의 길이를 구하면 된다.
- 바둑 용어로, 가로줄과 세로줄이 교차하는 지점을 말한다. 예를 들어 귀의 화점은 가로 제4선과 세로 제4선의 교점이다.
- 지구과학에서 지진파를 이용하여 진앙을 구할 때도 활용된다. 세 관측소에서 그 관측소의 위치를 중심으로 하고 진원까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그린 후, 두 원의 교점을 잇는 선분을 3개 그리면 그 선분이 하나의 공통 교점을 갖는데, 그 공통 교점이 바로 진앙이다.
- 폴라로그램에서 파고를 구하는 방법 중 교점법(intersecting point method, Schnittpunkt Methode / 交點法)이라는 것이 있다.
- 교점정리(intersection point theorem, 交點定理): 유클리드 기하학에서, 선분의 길이, 각의 크기 등의 기하학적 성질에 관한 정리이다.
- 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나는데, 이 교점을 외심이라 한다.
- 작도를 할 때, 두 원이나 원과 선분, 선분과 선분의 교점을 이용하는 경우가 많다.