대각선
1. 개요
[image]
對角線 / Diagonal
수학적 정의는 어떠한 다각형에서 서로 만나지 않은 두 점을 이은 선분을 뜻한다. 다면체에서는 같은 면 위에 있지 않는 두 꼭짓점을 잇는 선분을 의미한다. 따라서 다면체 내의 한 면에서의 대각선은 다면체에서의 대각선이 아니다! 순우리말로는 '맞모금', 우리말과 한자의 합성어로는 '맞모선'이라고 한다.
2. 일상적인 의미
일상적으로는 가로, 세로가 아니라 비스듬한 방향을 대각선 방향이라고 하며, 이 방향의 선분 또는 직선을 대각선이라고 하기도 한다. 예를 들어 상향 대각선, 하향 대각선 등. 사선(斜線)과 같은 의미이다.
MS 워드, 아래아 한글 등 워드프로세서 프로그램에서 직사각형으로 된 표를 만들 때 대각선은 이 의미에 해당하기도 하지만, 수학적 의미로 볼 때도 그 선분이 포함된 직사각형의 대각선이기도 하다.
3. 평면에서의 대각선
평면도형의 대각선의 개수는 n각형일 때 '''$$\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}$$'''개 이다. 또한 위 식에서 $$n=3$$을 대입하면 0이 나오므로 삼각형의 대각선은 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다.
$$n$$각형의 각 $$n$$개의 꼭짓점에서 자신과 이웃한 2개의 꼭짓점을 제외한 나머지 $$(n-3)$$개의 꼭짓점에 도달하도록 선분을 그릴 때, 이 선분이 대각선이 되며, 그 개수는 경우의 수의 곱의 법칙을 이용하면 $$n(n-3)$$개가 되는데, 대각선으로 연결된 두 꼭짓점에서 서로의 꼭짓점에 도달하는 두 선분은 서로 같기 때문에 중복을 제외하여 $$\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}$$개가 되는 것이다.
또 대각선의 개수는 $$n$$개의 점에서 2개를 뽑아 선분을 그리는 경우의 수에서 변을 형성하는 선분의 경우의 수를 빼주면 되므로 대각선의 개수는 $$ \displaystyle _n C _2 -n = \frac{n(n-3)}{2} $$ 가 됨을 확인할 수 있다.
3.1. 대각선의 길이
- 직사각형에서 2개의 대각선의 길이는 같기 때문에, 직각을 낀 두 변의 길이를 a,b라 하면 그 대각선의 길이는 피타고라스 정리에 의하여 $$ \sqrt{a^2+b^2}$$이 된다.
- 정사각형의 경우는 여기에서 a, b가 서로 같다고 하면 되므로 대각선의 길이는 $$ \sqrt {2}a$$가 된다.
- 한 변의 길이가 a인 정오각형의 대각선의 길이는 모두 서로 같은데, 이것의 길이는 $$\displaystyle \frac{1+ \sqrt {5}}{2}a$$이다. cos108°의 값이 $$\displaystyle \frac{1- \sqrt {5}}{4}$$라는 것을 이용하여 제2코사인 법칙을 활용하여 대각선의 길이(x)를 구하면 $$x^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(108^\circ) = 2a^2(1 - \frac{1- \sqrt {5}}{4}) = \frac{a^2(3+ \sqrt {5})}{2}$$이므로 x = $$\displaystyle \frac{1+ \sqrt {5}}{2}a$$가 된다.
- 정육각형의 경우 2가지 경우가 있다. 한 변의 길이를 a라고 하면,
- 정육각형을 삼각형과 오각형으로 나누는 대각선: 삼각형의 짧은 변의 길이가 a이고 그 사이각의 크기는 120°이므로 대각선의 길이를 x라 하면 제2 코사인 법칙에 의하여 $$x^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120^\circ) = 3a^2$$ 이므로 x = $$ \sqrt {3}a$$가 된다.
- 정육각형을 서로 합동인 사다리꼴 2개로 나누는 대각선: 그 대각선에 평행한 한 변의 끝에 해당하는 각각의 꼭짓점에서 수직으로 대각선에 내린 수선의 발(총 2개)을 이용하면, 대각선과 이와 이웃한 변 사이의 각은 60°가 되므로 대각선의 길이는 $$a \cos(60^\circ) + a + a \cos(60^\circ) = 2a$$가 된다. 더 간단히 생각해서 정육각형을 한 변의 길이가 a인 정삼각형 6개로 나눌 수 있다는 점을 이용하면 이 대각선은 정삼각형 2개의 변을 합친 것에 해당하므로 길이가 2a임을 쉽게 알 수 있다.
- 정팔각형의 경우 3가지 경우가 있다. 위 그림 참고. 한 변의 길이를 a라고 하면,
- 정팔각형을 삼각형과 칠각형으로 나누는 대각선(파랑) : 삼각형의 짧은 변의 길이가 a이고 그 사이각의 크기는 135°이므로 대각선의 길이가 b이면 마찬가지로 제이코사인법칙에 의하여 $$b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(135^\circ) = 2a^2 + \sqrt{2}a^2$$ 이므로 b = $$ \sqrt{2 + \sqrt{2}}a$$이다.
- 정팔각형을 마름모꼴과 육각형으로 나누는 대각선(빨강) : 삼각비를 이용하면 위 그림에서 $$a + a \cos(45^\circ) + a \cos(45^\circ) = (1 + \sqrt{2})a$$이다.
- 정팔각형을 합동인 두 오각형으로 나누는 대각선(녹색) : 빨간색 대각선과 그 대각선과 한 점을 공유하는 변이 서로 수직이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 $$ \sqrt{((1 + \sqrt{2})a)^2 + a^2}$$ = $$ \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}a$$ 이다. 또는 위 그림에서 서로 한 점을 공유하는 2개의 파란색 대각선이 서로 수직이라는 것을 이용할 수 있다. 이 2개의 파란색 대각선의 끝점의 합집합에 해당하는 3개의 점으로 직각이등변삼각형을 만들면 녹색 대각선이 빗변에 해당하므로 파란색 대각선의 길이의 $$ \sqrt{2}$$배라는 점을 이용하면 같은 식을 도출할 수 있다.
3.2. 정다각형의 대각선 길이의 가짓수
정n각형의 대각선 길이의 가짓수[1]는 다음 규칙을 따른다.
- n이 홀수일 때: $$\displaystyle \frac{n-3}{2}$$가지
- n이 짝수일 때: $$\displaystyle \frac{n-2}{2}$$가지
이 식은 정다각형에서 어떤 한 꼭짓점을 선택할 경우 이웃한 꼭짓점과 연결하면 대각선이 만들어지지 않고, 변을 따라갈 때 최소 '2칸' 떨어진 경우에만 만들어지는 것에 착안한 것이다. 이렇게 '''몇[2] 칸 떨어져 있는지의 가능한 경우의 수'''가 대각선의 가짓수라고 생각하면 된다.
- n이 홀수일 때 : 선택한 꼭짓점부터 시계 방향으로 이동하면서 각 꼭짓점이 선택한 꼭짓점으로부터 '몇 칸' 떨어져 있는지 세어 보면 각각 0, 1, 2, 3, ..., (n-1)/2, (n-1)/2, ..., 3, 2, 1칸 떨어져 있게 된다. 이때 2, 3, ..., (n-1)/2에서 가능한 경우의 개수는 (n-1)/2 - 1 = (n-3)/2이다.
- n이 짝수일 때 : 같은 방법으로 세어 보면 각각 0, 1, 2, 3, ..., (n-2)/2, n/2, (n-2)/2, ..., 3, 2, 1칸 떨어져 있게 된다. 이때 2, 3, ..., n/2에서 가능한 경우의 개수는 n/2 - 1 = (n-2)/2이다.
3.3. 특정한 도형에서의 대각선의 성질
- 직사각형에서 두 대각선을 합쳐 만든 X자 형태는 직사각형의 각 변을 가로, 세로와 일치시켰을 때 좌우, 상하 대칭성을 가지며, 정사각형이 아닌 경우 180° 회전시킬 때마다 같은 모양이 나온다. 각 대각선의 길이는 앞에서 서술한 것처럼 서로 같다.
- 마름모에서 두 대각선은 서로 수직이며, 두 대각선을 가로, 세로와 일치시킬 경우 좌우, 상하 대칭성을 가진다. 또한 정사각형이 아닌 경우 180° 회전시킬 때마다 같은 모양이 나온다.
- 정사각형은 마름모이면서 직사각형이므로 두 대각선이 서로 수직이며, 길이가 서로 같다. 또한 이 두 대각선을 합친 X자 모양은 90° 회전할 때마다 그 모양이 같아진다.
- 평행사변형의 두 대각선은 두 쌍의 맞꼭지각을 만든다. 직사각형, 마름모, 정사각형은 모두 평행사변형이므로 대각선에 의해 두 쌍의 맞꼭지각이 만들어진다.
- 정(2n)각형(n ≥ 2)에서 서로 마주보는 두 꼭짓점을 연결한 대각선은 해당 도형의 중심을 지나기 때문에, 서로 마주보는 두 꼭짓점을 모두 연결하면 그 대각선들은 중심에서 모두 만나면서 * 모양을 만든다. 이때 이 * 모양에서 나타나는 가장 작은 각은 (180° / n)이다. 예를 들어 정사각형의 경우 n=2이므로 90°, 정육각형의 경우 n=3이므로 60°이다.
- 반면 정(2n+1)각형(n ≥ 2)의 대각선 중에는 해당 도형의 중심을 지나는 것이 존재하지 않는다. 단 n이 클수록 중심과의 거리가 가장 가까운 대각선과 중심과의 거리는 짧아진다.
- 정(2n+1)각형에서 해당 도형의 둘레 선분을 따라 갈 때 같은 개수의 선분만큼 떨어진 꼭짓점들을 모두 연결하여 만든 대각선들은 해당 도형의 중심부에 작은 정(2n+1)각형을 만든다. 예를 들어 정오각형의 5개 대각선을 연결하면 별 모양이 만들어지는데, 이 별 모양의 중심부에 작은 정오각형이 존재한다. 이때 그 개수가 클수록 대각선과 도형의 중심 사이의 거리는 가까워지기 때문에 더 작은 도형이 된다.
- 정사각형을 제외한 정n각형에서 2개의 선분만큼 떨어진 꼭짓점들을 모두 연결하여 대각선을 그리면 그 대각선들은 별 모양을 이룬다.[3] 이 때, 별 모양의 중심부에 있는 정n각형의 크기는 n이 클수록 커지며, 그 모양은 원에 가까워진다. 특히 정육각형에서의 이 별 모양은 중심인 정육각형의 넓이가 가장자리 부분인 정삼각형 6개의 넓이의 합과 같다.
- 일반적인 사다리꼴은 대각선에 아무런 특징이 없으나 등변사다리꼴의 경우에는 사다리꼴의 밑변을 가로와 일치시키면 두 대각선을 합친 X자 모양은 좌우 대칭이 된다. 따라서 두 쌍의 맞꼭지각을 만든다. 하지만 일반적인 등변사다리꼴의 경우 이 두 대각선을 합친 모양을 360° 미만의 각으로 회전시켰을 때 같은 모양이 되지는 않는다.
4. 입체에서의 대각선
다면체에서도 대각선이 존재하는데, 이를 공간대각선이라고 한다. 사면체일 경우에는 대각선이 존재하지 않는다. 사면체의 경우 반드시 삼각뿔과 위상적으로 같은 모양이 되므로 아래 각뿔의 꼭짓점이 없는 이유를 통해 그 이유를 알 수 있다.
각뿔의 경우 밑면의 한 꼭짓점을 선택할 경우 나머지 꼭짓점 중 밑면의 꼭짓점과는 밑면을 공유하며, 밑면에 포함되지 않는 꼭짓점과는 2개의 면을 공유하므로 밑면의 꼭짓점을 포함하는 대각선을 만들 수 없다. 또한 각뿔의 모든 꼭짓점 중 밑면에 포함되지 않는 것은 단 1개이므로, 꼭짓점을 연결하여 선분을 만들 때는 밑면에 포함되는 꼭짓점을 적어도 1개 선택해야 하므로 각뿔에는 대각선이 없다.
각기둥의 경우 2개의 서로 다른 밑면이 존재하며 서로 같은 밑면의 꼭짓점을 선택하는 경우 해당 밑면을 공유하므로 대각선이 만들어지지 않는다. 그렇다면 서로 다른 밑면에서 각각 1개씩 선택해야 하는데, 서로 다른 밑면을 각각 A, B라 하자. n각기둥의 경우 A에서 1개의 꼭짓점을 선택하면 대각선을 만들기 위하여 B에서는 (n-3)개를 선택할 수 있다.[4] 따라서 n(n-3)개의 꼭짓점이 존재한다. 예를 들어 후술할 직육면체는 사각기둥으로 볼 수 있으므로 4×(4 - 3) = 4개의 꼭짓점을 갖는다.
정육면체를 포함한 직육면체에서는 한 꼭짓점을 선택할 경우 나머지 7개의 꼭짓점 중 그 꼭짓점과 같은 면에 있는 것이 6개이기 때문에, 나머지 단 1개의 꼭짓점을 선택하여 그 꼭짓점까지 잇는 선분이 대각선이 된다. 이렇게 연결하면 총 4(=전체 꼭짓점 8개 / 2)쌍의 선분이 만들어지므로, 직육면체의 대각선의 개수는 4개이다. 이때 직육면체의 각 변의 길이를 x, y, z라 하면 대각선의 길이는 $$ \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$로 모두 서로 같다.[5] 만약 한 변의 길이가 x인 정육면체라면 $$ \sqrt{3}x$$가 된다.
정팔면체에서는 한 꼭짓점을 선택할 경우 나머지 5개의 꼭짓점 중 4개와는 면을 공유하기 때문에 나머지 하나를 선택하여 연결하면 대각선이 된다. 정팔면체에는 총 6개의 꼭짓점이 있기 때문에 2개의 꼭짓점을 각각 쌍을 지어 대각선을 만든다고 생각하면 대각선의 개수는 3개가 된다. 이때 정팔면체의 한 변의 길이를 a라 하면 정팔면체의 각 꼭짓점은 정팔면체의 중심에서 각각 동서남북, 위 아래 수직 방향으로 $$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}a$$만큼 떨어져 있고,[6] 대각선의 길이는 정팔면체의 서로 마주보는 두 꼭짓점 사이의 거리와 같으므로 여기에 2배를 하면 된다. 즉 $$ \sqrt{2}a$$가 된다.
5. 일반화
초입방체 기반 도형의 대각선의 길이는 유클리드 노름(Euclidean Norm)으로 나타낼 수 있다.
6. 벡터와 대각선
- 원점 O에서 각각 A, B로 향하는 두 벡터의 합을 구할 때 평행사변형을 이용하기도 하는데, 이 평행사변형에서 벡터의 합은 O를 포함하는 대각선에 해당한다. 즉 이 대각선에서 O에서 출발하여 다른 꼭짓점에 도달하는 벡터이다.
- 마찬가지로, 공간상의 원점 O에서 서로 수직인 세 벡터의 합은 그 세 벡터의 길이를 각각의 변의 길이로 하는 직육면체의 원점 O를 포함하는 대각선에 해당한다. 역시 O에서 출발한다.
7. 관련 사례
7.1. 현실에서
[image]
이미지 출처
- 요즘 주차장에는 직선 주차장이 없어지고 대각선 주차장이 많아지고 있는 상황이다. 운전자 중심의 대각선 주차는 주차가 편리하고 안전 거리 확보도 잘 되기 때문이다. 그러나 예산이 없어 안 되는 곳도 있다고 한다. 또 대각선 형태는 필연적으로 직사각형 형태인 자동차를 배치할 때 공간 효율이 떨어지게 되는 문제가 있어, 주어진 면적에 주차공간을 최대한 확보해야 하는 아파트 주차장 등에는 잘 사용하지 않는다.
- 금지, 정지, 틀림과 기타 부정을 나타내는 기호로 원 안에 대각선이 있는 모양이나 대각선을 교차한 가위표가 많이 쓰인다.
- 갤럭시 노트7을 홍보하는 그림 중에는 스마트폰 화면의 검정색의 7자 모양 왼쪽 아래에 노트7의 상징이라고 할수있는 S펜 형태의 대각선이 여러 개 그려져 있는 것이 있다. 보기
- 차량용 신호등의 신호 중에는 직진, 좌회전뿐만 아니라 대각선 방향 신호도 있다. 주로 오거리나 육거리 등의 교차로에서 볼 수 있으며, 가끔씩 삼거리나 사거리에도 설치된 경우가 있다.
- 일부 교차로에는 직선 횡단보도뿐만 아니라 대각선 횡단보도가 있다.
- 핸드폰 등 전자제품의 크기는 대각선으로 잰다. 4인치 5인치 하는 게 바로 이거다. 가로와 세로 길이로 나타내려면 두 개의 수치가 필요하므로 하나만 있어도 되는 대각선을 사용하는 것이다. 그래서 4.8인치가 5인치보다 클 수 있다.
7.2. 게임 및 창작물에서
- 장기 계열의 보드 게임 중에 대각선으로 움직이는 말이 존재하는 것들이 많이 있다.
- 한국의 장기에는 대각선으로만 이동하는 말은 없으나, 마(馬)와 상(象)같은 경우는 직선과 대각선 이동을 병행한다. 마는 직선으로 1칸, 대각선으로 1칸 이동하며, 상은 직선으로 1칸, 대각선으로 2칸 이동한다. 둘 다 직선 이동 후의 대각선 이동은 이동경로의 반대방향으로는 갈 수 없다. 또, 장기판의 양쪽 끝에는 교차된 대각선이 그어진 곳이 있고 이를 궁성이라고 하는데, 그 안에 있으면 직선 이동하는 말들이 대각선으로 이동할 수 있다.
- 체스의 비숍은 장애물이 없을 때 대각선으로 몇 칸이든 이동할 수 있으며, 폰은 상대방의 기물을 잡을 때 대각선으로 한 칸 이동한다. 비숍과 룩의 기능을 합친 퀸도 대각선 이동이 가능하다. 다만 한국 장기에서도 궁성(장기말 양쪽 끝의 교차된 대각선이 그어진 곳) 안에 있으면 직선 이동하는 말들이 대각선으로 이동할 수 있다.
- 체커 말은 대각선 전방으로 움직이며, 판 끝에 다다라 킹으로 승급하면 대각선 후반으로도 움직일 수 있다.
- 태국의 전통 보드게임인 막룩에서도 대각선으로 움직일 수 있는 말들이 있으나, 체스의 비숍처럼 여러 칸씩 이동할 수 있는 건 없고 모두 한 칸씩만 이동한다. 체스의 폰에 대응되는 비아(เบี้ย)는 상대의 기물을 잡을 때만 대각선으로 진행하고, 콘(โคน)은 대각선 네 방향과 전진 방향으로 한 칸씩만 진행하며, 멧(เม็ด)은 대각선 방향으로만 한 칸씩 전진하고, 체스의 킹과 대응되는 쿤(ขุน)은 전후좌우와 대각선으로 한 칸씩 움직인다.
- 중국의 샹치에선 한국 장기와 달리 사(士)를 제외한 다른 말들은 궁성에서도 대각선 이동을 할 수가 없다. 그리고 사는 대각선 방향으로 1칸씩만 움직인다. 샹치의 상(象)은 대각선으로 2칸 움직인다.
- 일본의 쇼기에서는 왕장(전후좌우 + 대각선 1칸씩), 각행(체스의 비숍과 동일, 승급을 하면 전후좌우 한칸 씩이 추가됨), 금장(전후좌우 + 앞쪽 대각선 1칸씩), 은장(막룩의 콘과 동일)이 대각선 이동을 할 수 있다. 또한 승격을 한 말 중에서도 비차(장기의 차(車)와 동일)가 승격한 용왕(비차의 움직임에서 대각선 네 방향 1칸씩 이동이 추가됨)과, 은장, 계마, 향차, 보병이 승격한 성은, 성계, 성향, 토금(모두 금장과 움직임이 동일해져 앞쪽 대각선으로 1칸씩 이동이 가능해짐)은 대각선 이동을 할 수 있다.
- 소설, 게임, 만화 등에서 마법진을 표현할 때도 정다각형에 대각선이 있는 형태가 많이 등장한다. 예를 들어 오망성의 겉부분에 정오각형을 그려서 그 오각형의 대각선 5개로 이루어진 것으로 만들거나, 육망성의 겉부분에 정육각형을 그려서 마찬가지로 만드는 것이 있다.
- 보통 3차원 게임(fps 등) 에서는 앞, 뒤나 오른쪽, 왼쪽이 아닌 서로 다른 두 키를 누르면 대각선으로 이동한다.
- 틱택토, 오목에서는 가로, 세로, 대각선으로 각각 3개, 5개의 같은 색 말을 놓으면 승리하는데, 일반적으로 가로, 세로보다 대각선으로 놓을 수 있는 경우를 찾기가 어렵다.
- 사진 등 미술 작품의 구도 중에는 '대각선 구도' 가 있다.
8. 여담
- 2013년 여름 '강력한 티켓 파워를 가진 고3 수험생들이' 라는 대각선 착시 현상이 이슈가 된 적이 있었다. 한 줄의 길이가 반복되는 부분 2개의 길이보다 약간 짧고, 여기에다가 '강력한' 부분으로 인해 내용 전체를 볼 경우 대각선이 있는 듯한 착각을 불러일으키기 때문. 관련기사
- 우리민족끼리 테러 사건에서 어떤 용자가 북한 김부자 찬양글을 가장한 아 시발 김정일이란 희대의 명문을 대각선으로 써서 올린 적이 있다.
8.1. 대각선의 법칙
- AOS게임 리그 오브 레전드에서는 위쪽 공격로가 잘 풀리면 아래쪽 공격로가 망하고, 아래쪽 공격로가 잘 풀리면 위쪽 공격로가 망하는 식으로 양 팀의 균형이 맞게 되는 경우가 자주 있는데 이런 상황을 롤 유저들이 반 장난식으로 대각선의 법칙 이라 부르곤 한다. 상세하게 분석을 하자면, 탑라이너와 바텀라이너들의 각 전투력이 같은 상황에서 한 쪽이 무너지려면 정글러 내지 미드라이너의 개입이 필수인데, 이러한 개입으로 한 라인이 무너지면 다른 한 라인 쪽에 정글러가 있을 확률이 높기에 이 곳으로 다른 정글러의 개입이 있거나, 정글러가 오지 않더라도 한 쪽이 정글러의 위치를 완전히 알기 때문에 위협적으로 공격할 수 있기에 양 쪽 라인이 균형을 이룰 수 있다. 그러므로 정글러들의 소규모 한타에서는 어느 쪽에서 일어나도 크게 영향을 받지 않는 법칙이다. 물론 각자의 전투력이 같을 때의 가능하므로 항상 적용되는 법칙도 아니다.
9. 관련 문서
- 대각선 논법: 자연수의 집합과 실수의 집합의 원소의 개수가 서로 다르다는 것을 증명할때 사용했던 논법.
- 대각선 화살표 : 특수 기호 중 하나다.
- 슬래시 · 백슬래시 : 대각선 화살표와 마찬가지로 특수 기호 중 하나이다.
- 비숍(체스) : 체스에서 대각선으로만 이동할 수 있다.
- 최단거리#s-3
[1] 선분은 방향을 고려하지 않으면 길이로만 구분 가능하기 때문에 대각선의 길이로 구분해야 한다. 따라서 서로 같은 길이의 대각선들은 묶어서 1가지로 본다.[2] 2 이상[3] 중심부는 정n각형이고, 가장자리 부분은 모두 이등변삼각형이다.[4] A의 해당 꼭짓점에 대응되는 꼭짓점 또는 그 점의 이웃한 2개의 꼭짓점과는 면을 공유한다.[5] 공간좌표에서 x, y, z 좌표축이 각각 직육면체의 한 변을 포함하고 한 꼭짓점의 좌표를 (0, 0, 0), 즉 원점이라고 하면 대각선으로 연결된 다른 꼭짓점의 좌표는 (x, y, z)라고 할 수 있다. 기하와 벡터에 나오는 좌표공간에서의 거리 공식을 이용하여 길이를 구하면 이와 같이 나온다.[6] 정팔면체의 중심과 한 변을 이루는 두 꼭짓점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 그 변이 빗변에 해당하는 직각이등변삼각형이므로 피타고라스의 정리를 이용하여 알 수 있다.