항등함수

1. 개요

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identity function · 恒等函數
항등함수란 함수의 한 종류로, '''항등'''적으로 자기 자신과 같은 값을 대응시키는 '''함수'''를 의미한다.

2. 정의

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'''[ 정의 ]''' 항등함수(Ideneity function) 함수 $$\text{id}_X: X \to X$$가 다음 성질을 만족할 때 '''항등함수(Identity function)'''이라고 한다. * $$\forall x \in X, \ \ \text{id}_X(x) = x$$

3. 성질

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항등함수는 정의역 $$X$$가 주어져 있기만 하면 자연스럽게 정의될 수 있는 함수로, 표기법은 $$\text{id}_X$$, $$i_X$$, $$I_X$$, $$\mathbb 1_X$$[1], $$i$$등 다양하다. 정의상, 항등함수와 다른 함수 $$f: Y \to X$$, $$g: X \to Z$$를 합성하면, $$\text{id}_X \circ f = f$$ 및 $$g \circ \text{id}_X = g$$임을 알 수 있다.
군론에서, 항등함수는 이름에 걸맞게 항등원으로서의 역할을 한다. 실제로, $$\text{id}_X: X \to X$$는 함수의 합성을 연산으로 하는 군의 항등원이다. 즉,

$$f \circ \text{id}_X = f = \text{id}_X \circ f$$

[1] 단, 이 쪽은 집합 판별 함수와의 혼동 때문에 쓰는 분야에서만 쓴다.

이 성립한다. 비슷한 이야기로, 군 $$G$$의 자기동형사상을 모은 군 $$(\mathrm{Aut}(G), \circ)$$에서 항등함수 $$\text{id}_G$$는 항등원이 된다.
정의역 $$X$$에 위상이 주어져 있다면 항등함수 $$\text{id}_X$$는 항상 연속함수이고, 미분이 가능할 경우 그 결과는 상수함수가 된다.[2]

4. 관련 함수들

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4.1. 포함함수(Inclusion map)

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'''[ 정의 ]''' 포함함수(Inclusion map) 함수 $$\iota : X \to Y$$가 다음 성질을 만족할 때 '''포함함수(Inclusion map)'''이라고 한다. * $$X \subset Y$$ * $$\forall x \in X, \ \ \iota (x) = x \in Y$$

항등함수에서 정의역과 공역이 완전히 같은 것이 아닌, 공역이 정의역을 포함하는 형태로 확장시킨 함수이다. 주로 대수적 위상수학에서 변형수축(Deformation retract)를 다룰 때 쌍으로 같이 등장하는 함수이다.

4.2. 일차함수

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정의역 $$X$$가 곱셈, 덧셈이 잘 정의되어 있는 환 구조를 가지고 있다면, 항등함수 $$\text{id}_X$$는 일차함수 중 하나로 생각할 수 있다.

4.3. 특정 정의역에서의 항등함수

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• 실수에서의 켤레복소수[3]
• 음이 아닌 실수에서의 절댓값

[2] $$\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dx} = 1$$

[3] 이 성질 때문에 반쌍형 연산인 내적이 실벡터에서는 쌍선형 연산으로 바뀐다.