헤비사이드 계단함수

1. 개요

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Heaviside Step Function
영국의 천재 전기공학자 올리버 헤비사이드가 연구한 함수라 하여 명명되었으며, 특수함수의 일종이다. 단위 계단함수(Unit Step Function, 單位 階段函數)라고도 하며 정의는 다음과 같다.

$$\displaystyle u(x)\equiv\int_{-\infty}^{x}\delta(t)\,\mathrm{d}t$$

위에서 $$\delta(x)$$는 디랙 델타 함수이다. 중요성에 비해 표기가 통일되어 있지 않아 $$H(x)$$, $$\theta(x)$$로 표기하기도 한다.[1]
구체적인 함숫값은 아래와 같다. 단, $$x=0$$일 때는 대부분 $$1/2$$로 정의하나 아래 항목에서와 같이 여러 의견이 있다.

[math(\displaystyle u(x) = \begin{cases}
1 & (x>0)\\
1/2 & (x=0)\\
0 & (x<0)
\end{cases} )]

[1] 울프럼 알파와 같은 울프럼 언어에서는 $$\theta(x)$$를 쓴다.

적분 기호 없이 간단하게 정의하자면 다음과 같다.

$$u(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{sgn}\,x+1\right)$$

위에서 $$\mathrm{sgn}\,x$$는 부호 함수이다. 형태에서 보듯 부호 함수를 절반으로 줄여 놓고 $$x$$축 위쪽으로 올려 놓은 모양새라 부호 없는 부호 함수라고 이해해도 무리가 없을 정도.
아래는 헤비사이드 계단함수의 그래프를 나타낸 것이다. 이때, $$u(0)=1/2$$로 택하였다.

2. u(0)의 값

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수학자마다 $$u(0)$$의 함숫값 정의가 달라 논란이 많다.[2]

• $$\boldsymbol{u(0)={1}/{2}}$$ 설
  • 다수설로, 위의 부호 함수로 쉽게 정의할 수 있고 $${\mathrm{d}}(\mathrm{sgn}\,x)/\mathrm{d}x=2\delta(x)$$가 성립한다는 근거를 들어 설명한다.
• $$\boldsymbol{u(0)=0}$$ 설
  • 자연수 판별 함수를 이용해 $$u(x)=\bold{1}_{\mathbb N}(\mathrm{sgn}\,x)$$로 깔끔하게 정의할 수 있기 때문에 선호하는 경우가 있다.
• $$\boldsymbol{u(0)=1}$$ 설
  • 위와 비슷하나[3], 0으로 나누기 같은 골칫거리가 생기지 않아서 선호하는 경우가 있다.

한편 이 함수로 유도되는 발판 함수(ramp function) $$R(x) = x u(x)$$[4]는 정의상 '''어차피 0으로 곱해져버리기 때문'''에 이런 논란은 없다.

[2] 사실 크게 유의미한 논란은 아닌 것이 다수론인 $$1/2$$을 따르되 굳이 정수로 만들고 싶으면 거기에 바닥함수나 천장함수만 씌우면 되기 때문이다.

[3] 이 경우 정의가 범자연수 집합을 쓴 $$u(x)=\bold{1}_{\mathbb N_{0}}(\mathrm{sgn}\,x)$$로 바뀐다.

[4] 헤비사이드 계단함수의 원시함수이기도 하다.