삼각함수/관련 함수

 





1. 개요

삼각함수와 관련이 있거나 삼각함수로 유도되는 함수들의 목록이다.

2. 목록


2.1. 여삼각함수

$$\mathrm{ver}\,x = 1 - \cos x$$

$$\mathrm{vcs}\,x = 1 + \cos x$$

$$\mathrm{cvs}\,x = 1 - \sin x$$

$$\mathrm{cvc}\,x = 1 + \sin x$$

$$\mathrm{hvs}\,x = \dfrac{1 - \cos x}{2}$$

$$\mathrm{hvc}\,x = \dfrac{1 + \cos x}{2}$$

$$\mathrm{hcv}\,x = \dfrac{1 - \sin x}{2}$$

$$\mathrm{hcc}\,x = \dfrac{1 + \sin x}{2}$$

$$\mathrm{exs}\,x = \sec x - 1$$

$$\mathrm{exc}\,x = \csc x - 1$$

$$\mathrm{arcver}\,x = \arccos(1-x)$$

$$\mathrm{arcvcs}\,x = \arccos(x-1)$$

$$\mathrm{arccvs}\,x = \arcsin(1-x)$$

$$\mathrm{arccvc}\,x = \arcsin(x-1)$$

$$\mathrm{archvs}\,x = \arccos(1-2x)$$

$$\mathrm{archvc}\,x = \arccos(2x-1)$$

$$\mathrm{archcv}\,x = \arcsin(1-2x)$$

$$\mathrm{archcc}\,x = \arcsin(2x-1)$$

$$\mathrm{arcexs}\,x = \mathrm{arcsec}(x+1)$$

$$\mathrm{arcexc}\,x = \mathrm{arccsc}(x+1)$$

삼각함수를 정의하는 단위원과 직각삼각형에서 삼각함수를 제외한 나머지 부분에서 정의되는 함수들이다.

2.2. 현 함수

$$\mathrm{crd}\,x = \sqrt{\sin^2 x + \mathrm{ver}^2\,x} = 2 \sin \dfrac{x}{2}$$

$$\mathrm{acrd}\,x = 2 \arcsin \dfrac{x}{2}$$

원의 할선의 길이를 정의하는 함수이다.

2.3. 쌍곡선 함수



2.4. 야코비 타원 함수



2.5. 허수지수함수


오일러 공식을 함수꼴로 만든 것이다.

2.6. 코사인 사인 합 함수


$$\mathrm{cas}(x) = \cos x + \sin x$$

단순하게 사인값과 코사인값을 더한 것으로 정의되는 함수이다. 함수 이름자마저도 '''c'''osine '''a'''nd '''s'''ine이다(...).
위키러들은 '이런 거에까지 함수를 따로 정의해줘야 할까?' 하는 생각이 들 것이지만, 사실 이 함수의 주요 용도는 하틀리 변환이라는, 푸리에 변환과 유사한 변환식이다.

$$\displaystyle \{\mathcal{H}f\}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} f(t)\, \mathrm{cas}(\omega t)\, \mathrm{d}t$$


2.7. 싱크 함수(Sinc Function)

  • 비정규화 싱크함수(Unnormalized Sinc Function)
$$\mathrm{sinc}\left(x\right)=\dfrac{\sin x}x$$
  • 정규화 싱크함수(Normalized Sinc Function)
$$\mathrm{sinc}\left(x\right)=\dfrac{\sin\pi x}{\pi x}$$
사인함수의 변형으로, 원점에서 멀어질수록 진폭이 작아지는 특성 때문에 주로 디지털 음향학에서 자주 쓰인다. $$x=0$$일 경우 값을 정의할 수 없지만 이 문단에서 알 수 있듯이 $$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1$$이기 때문에 편의상 $$1$$로 잡는다.
어원은 Sinus Cardinalis(Cardinal Sine)이다.
사인 적분 함수는 이 싱크함수의 적분으로 정의된다.
구형파 함수를 푸리에 변환할 경우 얻을 수 있는 함수다.
  • $$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\mathrm{rect}(x)\, e^{-2\pi i \xi x}\mathrm{d}x=\frac{\sin(\pi \xi)}{\pi\xi}$$

2.8. 바이어슈트라스 함수

$$\displaystyle f\left(x\right) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x)$$
단, [math(0<a<1)], $$b$$는 $$7$$ 이상의 홀수
카를 바이어슈트라스가 '''모든 실수에서 연속함수이지만 모든 실수에서 미분이 불가능한 함수'''로 고안한 것이다. 최초의 프랙탈로도 알려져 있다.[1]

2.9. 셀레리에 함수

$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin( a^{k}x)}{ a^k}$$
위의 바이어슈트라스 함수와 비슷하게 연속이면서 미분이 불가능한 함수이다.

2.10. 위상수학자의 사인곡선

$$f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac 1x, & \mathsf{if} \ x \neq 0 \\ 0, & \mathsf{if} \ x = 0 \end{cases}$$
연결 공간의 반례로 자주 등장하는 함수이다.

2.11. 디리클레 함수

$$\displaystyle \bold1_{\mathbb Q}\left(x\right) = \lim_{m \to \infty} \left\{\lim_{n \to \infty} \cos^{2n}\left( m! \pi x \right)\right\}$$
삼각함수를 이용해서 유도되는 집합 판별 함수의 일종으로, 유리수일 때 1, 무리수일 때 0의 값을 띠는 '''완전 불연속 함수'''이다.

2.12. 에어리 함수



2.13. 클라우젠 함수

$$\displaystyle \mathrm{Cl}_2(x) = -\int_0^x \ln\left|2 \sin\frac x2\right| \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k^2}$$
로그함수와 사인함수의 합성함수를 적분한 특수함수이다.

2.14. 구데르만 함수



2.15. 볼테라 함수


[1] 물론 프랙탈이라는 개념이 이 함수보다 나중에 나왔다.


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