가비의 이
1. 개요
아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 일종의 항등식이다.
$${\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; b+d\neq 0)$$
$$\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}} \\ \; \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})\neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} a_{k} \neq 0 \right) $$
2. 증명
$$\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K$$
$$ \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k} }=K $$
$$\therefore\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}} $$
한편 수열의 합 $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}$$은 선형 변환을 통해$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k} = {\rm tr} \begin{bmatrix} a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} = {\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})$$
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다:$$\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\sf I}\otimes{\bold a})}$$
3. 심화
나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.
$${\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{xa+yc}{xb+yd}} \; (b\neq 0,\;d\neq 0,\; xb+yd\neq 0) $$
$$\displaystyle \dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}= \frac{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} \\ \left(a_{k} \neq 0,\,b_{k} \neq 0 ,\, {\rm tr}({\overline\bold x} \otimes {\bold a}) \neq 0 ,\, \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} \neq 0 \right) $$
3.1. 증명
$$\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=K$$
$$ \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=\frac{\displaystyle K \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k} }=K $$
$$\therefore\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}b_{k}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} x_{k}a_{k}} $$
위 문단과 마찬가지로 수열의 합 $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k a_{k}$$은 선형 변환을 통해$$\displaystyle\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} x_k a_{k} &= {\rm tr} \begin{bmatrix} x_1 a_{1} & x_2 a_{1} & \cdots & x_n a_{1} \\ x_1 a_{2} & x_2 a_{2} & \cdots & x_n a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_{n} & x_2 a_{n} & \cdots & x_n a_{n} \end{bmatrix} \\ &= {\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})\end{aligned}$$
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과 동치가 된다:$$\dfrac{b_{1}}{a_{1}}=\dfrac{b_{2}}{a_{2}}= \cdots =\dfrac{b_{n}}{a_{n}}=\dfrac{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold b})}{{\rm tr}({\overline\bold x}\otimes{\bold a})}$$
4. 활용
수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.
4.1. 피타고라스 정리
[image]
각 $$\rm C$$를 직각으로 하는 삼각형 $$\rm ABC$$가 있다. 점 $$\rm C$$에서 빗변 $$\rm AB$$에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$라고 하면 직각삼각형 $$\rm ABC$$, $$\rm ACH$$, $$\rm CBH$$는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 빗변의 제곱에 비례하므로
$$\dfrac{\overline {\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}=\dfrac{\overline {\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH}=\dfrac{\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH}$$
$$\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC}=\dfrac{\overline {\rm AC}^2+\overline {\rm BC}^2}{\triangle\rm ACH+\triangle\rm CBH}$$
$$\triangle\rm ACH+\triangle\rm CBH=\triangle\rm ABC$$
$$\therefore\overline{\rm AB}^2=\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm BC}^2$$
5. 예제
[풀이 보기]
가비의 이는 '''분모가 0이 되지 않는 한에서''' 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 $$k$$의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.}}}
6. 언어별 명칭
- 한국어: 가비의 이(리), 합비의 이(리)
- 영어: componendo
- 일본어:
加比 の理 ,合比 の理 - 중국어: 合比定理(hé bǐ dìng lǐ)
합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰지 않는다. 한편, 중국에서는 '합비정리(合比定理)'라고 한다.
이 비직관적인 이름 때문에 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[2] 가비도 사람 이름[3] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다는 것.
'가비의 리'를 잘못 듣고 '가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "이치"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리(칼륨)[4]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽고, 또 가리비라는 유사한 이름의 조개가 있기 때문으로 보인다.
자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '유리식의 덧셈법칙' 같은 이름이 될 것이다.
7. 기타
- 가비의 이는 고1 때 배운다.