독립시행
1. 정의
독립시행은 '''매 시행마다 특정 결과가 나올 확률이 변하지 않는 것'''으로, 이전 시행이 다음 시행의 확률에 영향을 주지 않는 시행이다. 확률을 배울 때 꼭 거쳐가는 도박사의 오류가 바로 이 독립시행에 대한 잘못된 해석이다.
조작이 없는 완벽한 주사위가 있다고 할때, 이전에 던진 값이 1이든 6이든 상관없이 다음번 던질때 각면이 나올 확률은 1/6 로 변치 않는다. 이것이 독립시행이다.
독립시행의 중요한 점은 주사위에서 1이 나올 확률이 1/6 이라고 해서, 6번 던지면 그중에 1번이 1이라는 보장은 전혀 없다는 것이다. 오히려 6번 던졌는데 1이 한번도 안나올 확률이 (5/6)^6 = 약 0.33 으로 33%나 된다. 즉, 주사위를 100번을 던지든 1000번을 던지든 1이 단 한번도 나오지 않을 수도 있고, 1이 나올 확률은 여전히 1/6이라는 것이다.
단, 주사위를 6번 던졌을 때 1이 한번은 나온다는 '''보장'''이 없다는 것이지, 6번 중 1번의 '''빈도'''로 1이 나온다는 것은 참으로, 독립시행과 확률적 기댓값의 개념은 서로 별개로 구분된다. 가끔 기댓값을 논할 때 독립시행을 들어 기댓값을 부정하는 오용 사례도 인터넷상에서 찾을 수 있다.
반대로 이전의 시행 결과가 현재의 확률에 영향을 준다면, 그것은 '''종속시행'''이다.
2. 확률
1번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 k라고 하자.
그럴 경우 v회 시행시 사건 A가 x번 일어날 가능성은...
$$\displaystyle \binom{v}{x}{k}^{x}{\left ( 1-k \right )}^{v-x}$$이다.
여기서 $$\displaystyle \binom{v}{x}=_{v}C_{x}$$이다.
3. 예시
3.1. 독립시행인 경우
- 주사위
- 동전 던지기
- 대부분의 가챠 게임 - 실제 가샤폰과는 달리 원칙적으로 독립시행이 적용된다. 다만, 대부분의 게임이 불운 보정 시스템, 마일리지 시스템, VIP 시스템, 10연차 뽑기 시 고레벨 템/스킨/캐릭 확정 제공 같은 것을 채택하기 때문에 수학적으로 완벽한 독립시행인 것은 아니다.
- 로또
- 보통의 복권과 달리 여러 사람이 같은 구슬(번호)를 중복해서 선택할 수 있다. 그래서 일부러 같은 번호로만 여러 장 사는 경우를 제외하고는 로또를 여러 장 사면 그만큼 당첨 확률은 오르지만, 그렇다고 구슬 주머니의 구슬이 줄어드는 것은 아니기에 독립시행이다.
- 또한, 이번 주 당첨 결과(다음 시행)와 과거의 당첨 결과(이전 시행)는 확률 상관 관계가 0이므로, 각 시행(매주 로또 당첨 결과)은 독립 시행이다. 이걸 가지고 통계를 내서 숫자 예측을 하고, 잘못된 정보에 돈을 주고 받는 사람들은 도박사의 오류에 빠진 것이다.
3.2. 독립시행이 아닌 경우 (종속시행)
간단히 생각하면 푸른 구슬 99개, 붉은 구슬 1개가 든 주머니에서 구슬을 하나 꺼내는 것과 같다. 붉은 구슬이 나올 확률은 1% 이다. 그런데, 만약 내 앞에 사람이 푸른 구슬을 뽑았고, 그 구슬은 폐기했다(혹은 주머니에 다시 넣지 못하게 했다)고 치면, 남은 푸른 구슬은 98개가 된다. 즉, 붉은 구슬이 나올 확률은 1.010101...% 로 증가하게 된다.