도박사의 오류
1. 개요
賭博師의 誤謬, (영어) Gambler's Fallacy; Monte Carlo Fallacy
서로 영향을 끼치지 않는 일련의 확률적 사건들[1] 에서 상관관계를 찾아내려 하는 사고의 오류를 이야기한다. 즉,
- 확률적 결과값을 갖는 어떠한 사건이
- 동일한 실행 조건 하에 ( = 확률은 매번 같은 분포를 따른다.)
- 두 번 이상 일어나며 ( = 반복 시행이다.)
- 사건의 발생이 다른 사건에 미치는 영향이 없다. ( = 반복 시행의 확률은 서로 독립이다.)
쉽게 얘기하자면,
- 동전을 던질 경우 (똑바로 서지 않는 한) 앞과 뒤 중 하나만 나올 수 있다.
- 즉, 동전을 던질 때의 확률은 1/2이다.
- 위에서 정의된 확률에 영향을 끼칠 수 있는 다른 외부 요인이 없는 한, 동전을 던지는 사건의 결과값은 언제나 1/2이다.
또 유명한 것으론 '주사위를 던져 6이 나왔는데 또 던졌을때 6이 나올 확률'이 있으며 확률은 언제나 1/6이다. 세 번째로 던져도, 네 번째로 던져도 마찬가지. 첫 번째 결과와 두 번째 결과에 상관관계가 있다고 생각해서 1/12나 1/36 등의 결과를 말한다면 도박사의 오류에 빠진 것이다.[2]
2. 상세
'''조작이 없는 한 어떤 회차도 '확률은 언제나 똑같다.''''
자칭 로또연구가가 로또 당첨번호의 수열을 분석해 다음 당첨번호를 예측하는 영상.
역대 로또 당첨 번호 목록에서 숫자가 한두 개는 이월되는 것을 보고 일정한 규칙을 발견했다고 주장한다. 이를 이용해 다음 회차의 당첨 확률을 높이겠다는 논리를 전개한다
1:40부터 본격적인 도박사의 오류가 펼쳐진다. 당첨 번호의 이월 여부를 분석해서 데이터를 추출, '황금 번호' 를 지정해 다음 번호에 적용한다는 것. 그러나 로또 기계가 지난 번호를 기억하지 않는 한 그저 숫자놀음일 뿐이다. 기계는 생각 없이 돌아가며, 지난 추첨 결과는 이번 추첨 결과에 티끌만큼의 영향도 주지 않는다. 지난 번에 나온 번호와 완전히 똑같은 번호가 나올 확률, 혹은 다른 번호가 나올 확률은 완전히 동일하다. 번호의 연결은 무의미하다. 번호 데이터가 500개, 1,000개, 2,000개, 1만 개가 모여서 규칙을 분석하고 평균 값을 내고 예측을 하더라도 로또 기계의 공에 문제가 있지 않은 한 다음 결과와는 '''완벽하게''' 무관하다.여기 보시면, 번호가 이어집니다.
참고로 실제로 번호가 이월된 횟수는 프로그램이 밝힌 바보다 100회 이상 적었다. 프로그램의 주인공이 로또에 당첨된 횟수는 나왔으나 얼마나 돈을 부었는지는 나오지 않았다. 흥미를 위한 조작 방송인 셈. 더불어 로또의 기대값은 겨우 반절. 그런데 주인공은 2, 3등 당첨을 여러 번 했다며 자신하고 있다. 당첨 횟수가 사실이라면 어지간히 운이 좋지 않은 이상 당첨금의 두 배는 투자한 것이 된다. 로또를 꾸준히 연구하지 않았더라면 더 유복하게 생활할 수 있었을 것이다.[3]
이 오류는 "모든 독립사건은 앞에서 일어난 사건과 독립적으로 일어난다"라는 확률 이론의 가정을 받아들이지 않는 데서 발생한다. 이전 판의 결과가 다음 판에 영향을 끼칠 거라 생각하는, 일종의 보상 심리라고도 할 수 있다. '이만큼 잃었으니 다음 판에는 운이 좋겠지'라고. 결국 독립사건을 종속사건이라고 해석한 것에 따른 오류가 된다.'''우연은 기억도 양심도 없다.''' 부부가 여섯번째 딸을 가질 확률은 여전히 1/2이다.[4]
룰렛에서 붉은색이 나올 확률도 여전히 1/2이며, 주사위에서 2가 나올 확률은 언제나 1/6이다. 바꿔말하자면, 동전을 던져서 앞뒤를 알아맞히는 게임에서 앞면이 계속해서 다섯 번이 나왔다고 할 때 여섯번째 시도에서도 앞면이 나올 확률은 그전과 다름없이 역시 1/2이다. 동전은 '''앞에 던진 결과를 기억하지 않는 것이다.'''
— 마틴 가드너 , '이야기 파라독스' 제5장 확률의 파라독스 - '도박사의 궤변'.
혹은 결합 확률(joint probability)와 조건부 확률(conditional probability)를 혼동하는 데서 기인한다고 볼 수도 있다.
각 확률에 해당하는 문제를 제시하면 다음과 같다.
결합 확률: 동전을 3번 던졌을 때, 세번 모두 앞면이 나올 확률은?
P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C) = 0.5^3 = 0.125
조건부 확률: 동전을 3번 던지는데, 첫번째에서 앞면, 두번째에서 앞면이 나왔다. 그러면 세번째에서 앞면이 나올 확률은?
P(A|B,C) = P(A) = 1/2
(독립사건이므로, 조건부 확률은 A의 확률과 동일하다.)
즉, 사람들이 혼동하는 지점은 이미 동전을 던져서 결과를 알고 있음에도, 동전을 한 번도 던지지 않았을 때, 나오는 확률로 착각해서 계산하기 때문이다. 다시 말하면, 동전을 한 번도 던지지 않았다면, 각 100번을 던졌을 때 무엇이 나올 것인가가 불확실하고, 따라서 100번을 던졌을 때, 발생할 온갖 가능한 경우의 수가 존재한다. 결국, 100번이 전부 앞면인 경우는 전체 가능한 경우 중 매우 드문 경우며, 다시 말하면 확률이 낮다.
하지만 우리는 이미 99번째까지 시행 결과를 까보았다. 따라서, 앞면이 80번 나오고 뒷면이 19번 나오거나, 뒷면이 99번 나오는 등의 결과들은 평행 세계에서나 고려 가능한 경우이고,[5] 현재 카운트 가능한 경우의 수에 포함되지 않는 것이다. 즉, 현재 구하려는 사건에서 99번이 앞면이 나오는 것은 정해져 있고, 불확실한 것은 100번째 동전에서 무엇이 나오느냐 뿐이다. 따라서 던졌을 때 가능한 경우는, 100번째 동전이 앞면이 나온 경우와 100번째 동전이 뒷면이 나온 경우 뿐이며, 각각 1/2의 확률을 갖는다.
룰렛에도 똑같이 적용되는데 나온 숫자를 체크하고 분석한 뒤 '이 쪽 숫자가 안 나온지 한참 됐으니 다음에는 이 숫자가 나오겠군!' 하는 행위를 의외로 심심찮게 볼 수 있지만 ''''주사위(동전, 룰렛)'에 기억력 따위는 없다.''' 동전이 계속 앞면이 나왔다고 동전이 이것을 기억해서 "계속 앞면만 나왔으니 이번에는 뒷면이 나오게 해야지!" 이럴리 없다는 것이다. 육면체 주사위에서 어떤 눈이 나올 확률은 1/6이므로 이 확률에 의해 계산하면 육면체 주사위를 30번 던지면 각 눈이 5번씩 나온다는 계산이 나오지만, 진짜로 30번 던져보면 모든 눈이 5번씩 딱 맞춰서 골고루 나온다는 보장이 없다. 주사위를 계속 던져 3이 가장 적게 나왔다고 주사위가 이것을 기억해서 "3이 가장 적게 나왔으니 이번에는 3이 나오게 해야지!" 이럴리 없기 때문이다. 이는 수많은 인간들의 돈을 빨아내 카지노의 배를 채워준 인간 심리의 오류이자 카지노의 은인이다.
다만 블랙잭의 경우 한정적으로 이게 오류가 아닌 경우가 있다.[6] 이에 관련된 이야기는 영화 21의 원작 'MIT 천재들의 라스베가스 습격'이라는 책에 잘 나오고 픽션이 조금 가미되긴 했지만 굵직한 사건들은 전부 논픽션. 하지만 이 경우는 이들이 카지노 상대로 돈을 딴 수법은 단순하지만 확실하고 정교한 확률이론에 바탕하고 있으므로 도박사의 오류 따위와 비교할 순 없다.[7]
단, 이론상으로는 자신이 블랙잭을 반복하면서 나온 카드만을 기억하고 이 방식을 적용하는 것도 가능하지만, 현실적으로는 다른 플레이어들의 카드란 변수가 존재하기 때문에 성공 확률이 그리 높지 않다. 때문에 앞서 언급된 블랙잭 플레이어들은 성공 확률을 높이기 위해 팀을 짜서 카지노를 공략, 다른 팀원들이 게임판에 달라붙어 카드 돌아가는 모양새를 미리 파악하고, 승산이 높다고 판단되면 그제서야 "크게 왕창 걸어줄" 핵심 인물을 끌어들이는[8] 수법을 주로 구사했다. 즉 다른 플레이어들의 게임 정보를 이용한다는 시점에서 사기 도박이라 할 여지가 남아있는 셈.
물론 딜러가 수작을 부리면 적용되지 않겠지만, 그러면 플레이어가 이전 기록을 참조해서 확률을 논하는 것이 무의미해진다는 점에서 도박사의 오류와 마찬가지인 것이다.
재미있게도 이 도박사의 오류는 이기는 사람은 계속 이기고, 지는 사람은 계속 지는 결과를 낳기도 한다. 이기는 사람은 '이번엔 이겼으니 다음판은 좀 불안해'라며 안전한 선택지를 고르는 경향을 보이고, 지는 사람은 반대로 '이번엔 졌으니 다음엔 분명히 뜬다!' 내지 '이번엔 이겼으니 다음에도 분명히 이긴다!'며 좀 더 위험하고 과감한 선택지를 고르는 심리를 보인다고.
또한 게이머들도 이러한 도박사의 오류를 쉽게 저지르는 모습을 보이곤 하는데, 예를 들면 어떤 게이머가 실패의 위험이 높은 강화를 하다 날려먹고 전체 챗창에 'ㅇㅇㅇ유저가 +15강화에 실패하였습니다.'라는 말이 뜨면 '이번엔 내 차례다!!'라며 강화를 지르는 모습을 보이는 경우가 있다.말 할것도 없이 게임제작사가 확률장난을 치지 않는 이상 강화의 확률은 게임 전체의 수량을 조절하는게 아니라 개별 확률이다.
강원랜드에 가보면 바카라라는 게임의 결과를 일일이 기록하며 대박을 노리는 사람들이 굉장히 많은데, 상술했듯 게임 결과를 아무리 열심히 기록해봐야 다음 판도 100% 랜덤이므로 이런 행동은 전부 무용지물이다. 그 모습을 보면 '''이 간단한 오류가 얼마나 많은 사람의 인생을 망칠 수 있는지''' 알게 되고 섬뜩해진다.[9] 바카라도 보통 6~8덱을 써서 그것들을 상당수 쓰기전까지 덱을 교체를 안 하는 경우 카드카운팅을 통해 승률을 올릴 수 있겠으나 그 확률이 매우매우 미미하여(아무리 높게 잡아줘도 0.05%) 의미가 없는 것이다.
같은 맥락에서 로또 등 여러 복권의 당첨 확률을 분석한다는 사람들도 많지만 이 역시 무익한 행위다. 물론 그런 커뮤니티에 가보면 정말로 당첨되었다는 사례가 많지만... 조금 더 생각해보면 알 수 있는 것이 보통 이런 '로또 당첨 확률을 높인다!'고 홍보하는 커뮤니티는 으레 사람이 몰리게 되어있으니 정비례해서 당첨되는 사람 수도 늘어나게 되어있다. 즉, 커뮤니티가 대단해서 당첨되는 사람이 많이 나오는 게 아니라 단지 사람이 많이 모이니 당첨되는 사람이 많이 나오는 거다. 복권 당첨 확률은 추첨기계를 조작하지 않는 한 매번이 전부 동일하니 의미없는 뻘짓은 자제하도록 하자. 같은 자금으로 당첨률을 높이고 싶다면 꾸준히 사는 것보단 돈을 모아뒀다가 한번에 여러장을 사는 것을 추천한다.물론 어지간히 많이 사는게 아닌 이상에야 유의미한 수준의 증가는 아니다.
이러한 도박사의 오류에 빠져있는 사람들의 대부분은 자기의 예상이 틀려도 자기가 잘못 생각한다고 인정하지 않는다.
예를 들어 룰렛의 경우
- 적색 숫자가 5연속 나왔으니 다음엔 흑색 숫자가 나올거야
- 홀이 5연속 나왔으니 다음엔 짝이 나올거야
- 이번에 '0(제로)'가 나왔으니 다음엔 나오지 않을거야
- 오늘 하루종일 '21'이 나오지 않았으니 이제 나올때가 됐어
- 하필이면 '00'가 터지는바람에 흐름이 바뀌어버렸어
- 마지막에 구슬이 튕겨서 들어갈데에 안들어가고 딴데에 들어갔어
- 딜러가 바뀌어서 판세가 달라졌어
- '34'도 가능성이 높은 거였는데 이걸 생각 못했네
- 이번에도 짝이 나왔으니 이젠 홀이 나올 가능성이 더 높아졌어.
3. 적용상의 주의
이러한 예시에는 여러가지 가정이 전제되었기 때문에 가능하며, 현실에서는 100% 적용되지 않는다. 어디까지나 하나의 예시로만 받아들이자.
- 반복되는 사건이 독립 사건이다.
덱에서 첫번째 카드가 조커일 확률과, 첫번째가 틀렸을 때 두번째가 조커일 확률은 같지 않다. 첫번째는 2/54, 두번째는 2/53.[10] 굉장히 복잡해서 어떤 과정인지 이해하기 힘든 게임이거나, 어떤 과정으로 뽑는지 공개되어 있지 않다면, 각각의 시행이 독립시행인지 아닌지 주의 깊게 살펴볼 필요가 있다. 몬티 홀 문제가 도박사의 오류를 적용받지 않는 이유도 여기서 기인한다.
- 주사위를 처음 던질 때 각 눈이 나올 확률은 1/6이다.
제조상의 이유나 마모, 던지는 이의 습관이나 손의 형태 등등 수치화 하기 힘들 정도로 미미한 부분 때문에 1/6에서 극히 미미하게 +-된다. 물리적으로 완벽한 1/6 확률의 주사위 던지기는 세상에 존재할 수가 없다. 다만 매번 제조사가 다른 새 주사위를 개봉해서, 던지는 사람을 바꿔가며 던지면 결과가 편향될 가능성이 줄어든다. 물론 각 눈이 나올 확률이 1/6이 아니더라도, 이것에 대해 문제 풀이자가 알고 있기만 있다면 전제 조건을 만족한다. 다만, 위와 같은 이유로 편향이 생겼을 때, 그 수치를 아무도 알 수 없기 때문에, 정확한 답을 도출할 수가 없다.
- 주사위와 테이블은 절대로 마모되지 아니한다.
위의 가정만 있다해도 1회 던질 때마다 주사위와 테이블이 아주 미미하게 마모되기 때문에 1/6에서 극히 미미한 가감이 발생한다. 게다가 몇번 정도가 아니라 무한히 반복하게 되면 그것이 가시화 된다. 따라서 도박사의 문제처럼, n번의 시행에서 동일한 결과가 나왔으면 한쪽만 쓸려서 마모될 것이므로, 그 마모도가 n+1번째의 결과에 영향을 미치게 된다. 따라서 n+1번째의 사건은 더이상 독립사건이 아닌 앞 사건(들)의 종속 사건이 되어버린다.
- 딜러는 속임수나 기타 기술을 사용하지 아니한다.
주사위에 특수한 가공을 했다거나, 딜러에게 주사위 눈을 조작하는 기술이 있다면 1/6이란 것 자체가 성립하지 않는다. 그러나, 딜러의 속임수로 가기 시작하면 이건 도박에 대한 문제가 아니라 사기가 돼버리므로 문제를 풀고 자시고 할 상황이 아니다.
다만 우리가 다루는 것은 이상적인 상황을 다루는 것이므로 이런 가정이 틀리기 시작하면, 말할 것도 없고, 위와 같이 마모 등 문제가 있다해도 랜덤하게 일어나지 어느 수를 선호해서 발생할 리가 없으므로, 가정을 만족한다고 보고 확률을 계산하면 된다.또한 많은 사람들이 오해하는 부분이 있다. 도박사의 오류는 서로의 사건이 독립일때 이전의 사건이 이후의 사건에 미치지 않는다는 것이다. 게임에서 뽑을 확률이 10%인 카드를 뽑으려고 했는데 9번 연속으로 꽝이 나왔을때 다음은 10번째고 10%는 10번 중에 1번이니 그 다음에 원하는 카드가 반드시 나와야 하는게 아닌 10번째에서 카드가 나올 확률은 그대로 10%라는 뜻이다.
그런데 원하는 카드를 뽑기 위해 100번을 뽑았는데 10%인 카드가 1장밖에 나오지 않았다는 결과가 나왔을때 그 확률에 대해 의심하는건 도박사의 오류와는 별개이다. 큰 수의 법칙에 따라 뽑는 횟수가 늘어난다면 당연히 확률은 원래 정해져있는 확률에 비례하게 되고 이게 만약 맞지 않는다면 이 확률이 맞는지 의심하는건 자연스러운 것이다. 도박사의 오류는 이전에 시행한 결과가 이후의 결과에 영향을 미치지 않는다는것 뿐이다. 3%라는 확률로 나오는 카드가 100번을 뽑아도 안나와서 확률에 대한 의심을 제기할때 도박사의 오류를 언급하는 것은 잘못된 것이다.[11] 비슷한 예로 동전을 100번을 던졌는데 100번 다 뒷면만 나올경우, 도박사는 동전 자체가 공정하지 않아 던져지는 동전이 뒷면만 나올 경향이 더 큰 동전이 아닌가라고 의심할수 있다. 우연일 확률보다 사기일 확률이 훨씬 크기 때문이다. 이러한 의심은 오류가 아닌 합리적인 의심이며, 통계학적으로는 이같은 의심을 '''베이지안 통계에 의한 결론 (Baysian conclusion)'''이라고 한다.
4. 기타
인간이 무의식 중에 저지르는 도박사의 오류를 역으로 이용하여 인간이 "임의로" 생성한 수열을 예측하는 것이 가능하다. 위 영상을 보면 동전의 앞면(H)과 뒷면(T)을 무작위로 나열하라고 지시받았을 때, H, T를 좀 더 번갈아가며 사용하고 연속된 패턴을 피하려는 편향성이 나타난다. 비슷한 원리로 인간과의 연속된 가위바위보를 50% 이상의 확률로 이기는 통계기반의 AI를 만들 수 있다.
간혹 학자들(주로 경제학자)의 뒤떨어지는 현실감각을 비판할 때 '도박사의 오류'에 대한 믿음을 예로 드는 사람도 있다. 블랙 스완에서 저자 나심 탈레브는 "똑똑하신 학자들은 100번 던져 앞면이 100번 나온 동전을 다시 한 번 던질 때 또 앞면이 나올 확률을 자신 있게 2 분의 1 이라 하겠지만 '''현실 감각 있는 사람들은 동전에 무슨 장난을 쳤다는 것을 곧바로 눈치챌 것이다'''"라는 말을 남겼다. 위의 얘기는 탁상공론에 대한 위트있는 비판일 수 있지만, 잘못된 이야기다.
먼저, 학자들이라면 100번 던져서 앞면이 100번 나왔다는 것을 안다면 당연히 의심을 할 것이며(가설검정의 원리), 101번째 던졌을 때의 확률을 1/2라고 자신있게 말할 리도 없다. 101번 째 확률이 1/2이라고 결론 내리는 것의 전제는 개별 동전 던지기의 확률이 1/2임을 전제해야 하는데, 그 확률이 이미 의심받고 있기 때문이다. 동전 던지기 항목 참고,
두번째로, 100번 던져 100번 앞면이 나와도 나심 탈레브가 하는 말처럼 "장난'''쳤'''다는 것을 눈치챘다"고 단정하는 것은 불가능하다. [12] 낮은 확률의 사건이라도 발생 불가능한 것은 아니므로, 운이 나빴을 가능성을 배제할 수 없기 때문이다. 해당 동전이 장난친 동전인지 여부는 동전을 뜯어보는 등의 검증이 이루어진 이후에야 확정이 가능할 것이다. 확률만으로 단정이 가능하다면, 낮은 확률의 슬롯 머신에서 잭팟이 터진 경우 운이 좋다고 할 게 아니라 "'''기계가 망가졌다"'''고 단언할 수 있어야 한다.
특정 MMORPG 유저 일부가 철석같이 믿으면서 경험을 통한 통계라며 옹호하는 '강화제물' 또한 대표적인 도박사의 오류라고 할 수있다. 단, 강화와 관련한 프로그래밍에서 변수가 존재하지 않는 단순사이클을 채택한 일부 게임의 경우 강화제물이 진짜로 필요한 경우가 있다. SD건담 캡슐파이터 온라인이 대표적.[13]
참고로 요즘 대부분의 온라인 게임은 게임내 경제조절을 강화로 조절하는 경우가 많다. 그래서 수많은 대한민국의 온라인 게임은 강화 실패 시 장비가 파괴되거나 강화 수치를 떨어뜨려 가치를 낮춘다. 당연히 이 확률은 서버상에서 실시간으로 조절이 가능하고 게임내 화폐를 관리하는 경제팀은 데이터를 토대로 강화률을 올리거나 낮춘다. 다만 사람이 일일히 계산할 순 없으므로 당연히 프로그램이 계산하고 그때그때마다 조절한다. 때문에 확률도 있지만 이러한 점도 고려해야 한다. 그러므로 재물은 몇몇 게임에선 동일한 가치를 가진 물건의 강화 확률이 수시로 변한다는 점도 알고 있어야 한다.
또 다른 예로 게임에 사용되는 확률보정 매커니즘이 있다. 주로 크리티컬 확률, 회피 확률 같은 데에 사용되는데, 도박사의 오류가 어느 정도는 오류가 아니게 해주는 역할을 한다. 예를 들어 어떤 영웅의 치명타율이 20%로 설정되어 있다고 하면, 처음에는 확률이 20%보다 훨씬 낮게, 예를 들어 6% 정도로 계산되다가 치명타가 안 뜰수록 확률이 올라가고, 치명타가 터지면 다시 6%로 리셋되게 만드는 식으로 구현된다. 이런 알고리즘을 통해 100대를 때리면 실제로 그 중 20대 정도가 치명타가 터지고 99대를 때렸는데 치명타가 15번 밖에 안 나왔다면 100번째 공격은 치명타일 가능성이 매우 높아지는 것이다. 이것도 어디까지나 확률을 사용해 어느 정도 기대값에 맞춰주는 것이라 절대적인 건 아니지만, 어쨌든 이 알고리즘 하에서는 도박사의 오류가 완전히 틀리지는 않는다. 이런 게 사용되는 이유는 확률을 사용하되 확률의 영향이 실력의 영향을 압도해 실력싸움이 아니라 누가누가 다이스 갓의 가호를 더 받느냐 게임이 되어버리는 것을 막기 위함이다. 예를 들어 공격이 치명타로 터질 확률이 10%인 영웅이 있는데, 이 치명타가 순수 랜덤함수로 계산된다고 가정해 보자. 이 영웅이 적을 3번 때렸는데 3대가 연속 치명타로 터져서 자기보다 훨씬 실력이 높은 상대를 순식간에 운빨로 처치해버릴 확률은 0.1%로 전혀 높지 않은 확률이다. 이것만 보면 별 문제가 없어 보이지만, 문제는 한 판에만 플레이어는 수백 번의 평타를 칠 것이고, 이것을 수십 수백 판 반복하다 보면 그런 일이 벌어지는 횟수의 기대값은 작다고 하기 힘들어질 것이다. 그리고 플레이어 한 명만 놓고 봐도 이 정도인데 메이저 AOS게임의 동시접속자는 수백만이나 되기에 플레이어들 전원을 기준으로 놓고 보면 그 기대값은 무시 못 할 만큼 커져버린다.[14] 이렇게 게임이 운에 지나치게 좌우되는 것을 막기 위해 도박사의 오류를 현실로 만들어서 운이 불합리적인 결과로 이어질 확률을 줄이는 것이 확률 보정의 역할인 것이다. 그리고 이런 구성 때문에 미니언 몇 타당 딜교환 한 번 등의 제물시행으로 실질 크리티컬 확률을 높이려는 플레이를 하기도 한다. 순수 랜덤함수를 피함으로써 운의 영향이 줄어들고 실력이 개입할 여지가 새로 만들어지는 것.
참고로 2015년 11월에 실시한 고2 전국연합평가 영어 지문에서 이 내용이 빈칸문제로 나왔다. 2018년 수능특강 영어 지문으로 이 내용이 수록되었다.
누구나 일상에서 써먹을 수 있도록 실용적인 측면에서 접근해보자. 수학이랑 친하지 않으면서, 실제로 게임이나 도박을 하는 플레이어들의 입장에서 말이다. 도박(뽑기)이란 '많이 시도하면 한 번 시도한 사람보다는 뽑힐 가능성이 높다'고 하는데 상식적으로 이는 분명 옳다. 그리고 1%의 뽑기를 100번 하더라도 뽑힐 가능성이 1에 가까워질 뿐 절대 1이 못 된다는 것도 모두가 안다. 하지만 한 번 시도하나 100번 시도하나 '시도한 순간'의 확률은 같다는 도박사의 오류를 잘못 이해하게 되면, 1번 뽑은 사람이나 100번 뽑은 사람이나 1번이라도 뽑힐 가능성은 동일하다고 착각하게 될 수 있다.
1/100의 당첨률을 가진 뽑기를 100번 뽑는다면 1 - (99/100)^100 = 0.63396765873이 되므로 대략 63.3%의 확률로 1번은 뽑힐 거라 기대할 수 있다. 즉 도박사의 오류 이야기는 도박을 시도할 때, 각 시도의 확률이 이전의 결과와 무관하다는 의미일 뿐, 시도 횟수가 전체 도박의 결과에 영향을 미치지 않는다는 의미는 아니다. 도박사의 오류에서는 "100번째 뽑기", 즉 1회 시행의 확률을 묻는 것이고, 위의 질문은 100번을 뽑을 때, 그 결과의 확률을 묻는 것이다. 다시 말하자면 '''언젠가 한 번은 나온다'''와 '''다음에는 나온다.'''의 차이라고 할 수 있다.
5. 예문
이하 예문들은 도박사의 오류를 비꼬기 위한 문장들, 즉 "이걸 믿어라"가 아닌, 이러한 말들이 모두 오류를 가지고 있다는 뜻이므로 혹여나 문서가 이해가 되지 않는사람들은 착각하지 말자.
- 한 환자가 영 좋지 않은 곳에 총알을 맞고 의사양반을 찾아갔다. 의사양반 왈, "이 수술의 성공률은 약 1/10입니다." 환자는 한숨을 쉬면서 "아니 그러면 저도…" 의사양반 또 왈, "하지만 걱정하지 마십시오. 당신은 틀림없이 완치됩니다." 환자는 생기를 띠면서 "아니 그건 어째섭니까?" "이제까지 내 손에서 9명이 고자가 됐거든요"라고 의사양반이 대답했다.[15]
- 어느 프로 게이머는 지금까지 연속으로 준우승만 해왔다. 이번엔 분명 우승 할 때가 된 것 같다. 우승에 걸어보자!
- 지금까지 나는 단 한번도 로또 복권에 당첨되지 못했다. 그러므로 당첨될 기회가 점점 더 많아지고 있다고 볼 수 있다. 아마도 금년 내로 당첨될 수도 있을 것이다. 자. 대박의 희망을 갖자.
- 당첨이 많이나온 로또 판매점에서는 로또의 당첨 확률이 더 높을 것이다.[16]
- 이 윷놀이판에서 지금 모가 세 번 연속으로 나왔다. 이번에 던지면 분명히 모가 안 나오고 다른 게 나올 것이다.
- 도박묵시록 카이지에 나오는 지하 친치로에서 미요시란 캐릭터는 이 오류를 믿고 그 동안 나온 결과를 기록했다. 카이지는 이 오류를 믿진 않았지만, 그 기록에서 뭔가 수상한 점을 발견해서 속임수 주사위를 잡아낼 수 있었다.
- 어떤 게임의 어떤 무기의 치명타 확률은 10%다. 지금까지 9번 때렸는데 치명타가 터지지 않았으니 이다음에는 터질 것이다![17]
- 이 모바일 게임 랜덤박스에서 최고 등급이 나올 확률은 약 1%. 그러나 수도없이 계속 실패했다. 이제껏 쭉 꽝만 뽑았으니 그 다음은 분명 나올것이다. 더도말고 조금만 더 질러보자!!
- 1카 1카 7번이나 터트렸다. 제물은 충분하니 다음 강화는 붙겠지!
- [18]
6. 도박사의 오류가 아닌 것
- 시험 문제를 찍을 때
수능 및 모의고사 등등 국가시험의 경우, 정답이 한 번호에 몰려 있어 우연히 그 번호를 몰아서 찍은 수험자가 이득을 보는 상황을 막고자 모든 번호의 정답 비율을 거의 비슷하게 조정하므로 자신의 정답률이 80% 이상이라는 가정하에 모르는 문제는 별로 안 나온 번호를 찍는 게 더 유리하다. 실제로 모의고사나 수능에서(특히 난이도의 구별이 분명하고 문제 개수가 적은 수학영역에서) 최상위 난이도의 문제를 제외한 모든 문제를 완벽하게 풀 수 있다면, 그 문제들을(대부분 객관식 21번) 제외한 문제들의 답 분포를 분석하여 적게나온 번호로 찍으라는 것도 하나의 전략으로 언급된다. 물론 학교나 학원에서 교사들이 자체적으로 문제를 만들어서 내는 시험에는 이런 조정을 꼭 행한다는 보장이 없으므로 주의해야 한다. 장난스러운 교사는 일부러 같은 번호의 정답이 연달아 나오게 해서 학생들을 불안하게 만들기도 한다.
당신이 최초에 한 선택 뒤에 염소가 있든 승용차가 있든, 염소가 있는 문은 한 개 또는 두 개가 남아있을 것이다. 사회자는 그걸 열면 그만이고, 남은 문은 무조건 염소 아니면 승용차일 테니 바꾸나 바꾸지 않으나 똑같을 것이다. 즉, 바꿨을 때 이길 확률은 1/2........
이 아니라 2/3이다. 자세한 사항은 문서 참고. 간단히 설명해서 본 경우가 도박사의 오류와 다른 점은 다음과 같다.
이 아니라 2/3이다. 자세한 사항은 문서 참고. 간단히 설명해서 본 경우가 도박사의 오류와 다른 점은 다음과 같다.
도박사의 오류에서는, 첫번째 시행과 두번째 시행의 조건이 달라지지 않는다.
몬티 홀 문제에서는 조건이 달라진다. 확정적으로 염소가 있는 방 하나의 정체를 두번째 시행에서만 알 수 있기 때문이다.
- 포격 후 포탄은 동일한 곳에 떨어지지 않는다.
포탄이 떨어질 확률이 완전히 독립적이라고 본다면 도박사의 오류에 들어갈 것이다. 다만 실제로는 공격의 효율을 위해 같은 위치에 계속 떨어지지 않도록 조절하기도 하고, 포탄이 떨어진 곳은 움푹 파여 엄폐의 역할을 하기 때문에 평지보다는 피격 확률이 낮아진다.
7. 관련 문서
[1] 통계적으로 말하자면 i.i.d. (= Independent and identically distributed random variables) 조건이라 할 수 있다.[2] 1/36은 첫번째 던졌을때 6이 나오고 또 던졌을때 6이 나오는, 즉 (6,6)의 순서쌍이 나올 확률이다.[3] 위 영상의 주인공 조모 씨는 결국 사기죄로 2018년에 1년 8개월 형을 선고받고 감옥에 갔다. 거기에다 그가 방송에서 밝힌 당첨 이력들도 전부 검증되지 않았다. 중앙일보 MBN[4] 엄밀하게 말하자면 자연 상태의 출생 성비가 105:100 정도이므로 딸을 얻을 확률은 48.8% 쯤 되지만... 이 이야기의 요점은 딸만 여섯을 가진 가족이 될 가능성은 약 1.3% 정도지만 이미 다섯을 얻은 상태에서 2.7%에 당첨이 된 상태이므로 한 번 더 시행할 때의 확률은 여전히 1/2에 해당한다는 것이다.[5] 단, 여기서 독립사건이라는 것을 전제해야 하는데, 그런 점에서 앞에서 말했듯이 독립사건과 종속사건을 혼동하는 것이 근본적인 문제라고 볼 수 있다.[6] 플레잉 카드를 1덱(즉 카드 한 통)만 사용하는 경우.블랙잭 자체가 카드를 많이 쓰지 않기 때문에 몇 판을 연속으로 한 뒤에 셔플을 하는 식이라 앞 게임에서 쓴 카드가 나중에 안 나오는 식으로 영향을 주게 된다. 셔플할 때 까지를 한 판으로 보면 그 사이에 했던 몇 게임들이 독립사건이 아닌 종속사건이 된다.[7] [8] 별 쓰잘데기없는 잡담을 벌이면서 슬며시 신호를 보내는 식으로.[9] 카드 카운팅 자체는 무의미한 것이 아니라고 생각하는 사람들도 있지만, 카지노에서는 기본적으로 카드카운팅 방지 대책을 쓰기 때문에 유의미한 확률 증가라고 보긴 어렵다.[10] 다만 1번째가 성공이든 실패든 따지지 않는다면 두 번째도 2/54다.[11] 참고로 3%라는 매우 낮은 확률에도 불구하고 100번을 뽑으면 그 카드가 나올 확률은 95.2447%로 안 나올 확률은 5%조차 되지 않는다.[12] 가설 검정의 원리에서도 마찬가지로 우연히 100번 동안 앞면이 나왔음을 배제하는 것이 불가능하다.[13] 완전한 랜덤이란 프로그래밍에선 없으므로 영향을 주긴 줄 것이다. 그저 '''일반적으로는''' 계산할 수 없기에 확률은 변함이 없다는 것. 만약 난수를 확인하거나 인위적으로 '''쉽게''' 조정할 수 있다면 그 게임의 밸런스는 박살날 것이다(...). 그리고 이런 사태가 2021년 국내에서 '''거하게 한 건 터졌다'''.[14] 실제로 프로게이머 사이에 이런 일이 있었다. 워크래프트 3 프로게이머 박준의 블레이드 마스터의 공격에 15% 확률의 크리가 3번 연속 발생, 적 데스 나이트를 순식간에 죽여버려서 상대 선수가 GG를 친 것.[15] 이 이야기는 버전이 수두룩한데 오래전 어느 수학 교과서에서는 일반환자를 진료한 의사가 이 병은 생존률이 1/100이라고 하면서 당신은 완쾌될겁니다! 환자가 어째서요? 라고 하자 "그동안 이 병으로 나에게 진료받은 다른 99명 환자가 죽었으니까요."[16] 로또판매점은 기본적으로 시도 횟수가 넘사벽으로 많은 곳이기 때문에 당첨자가 많이 배출되는 것이다. 심지어 총 확률을 계산해보면 사람이 얼마 가지 않는 편의점에서 한명의 당첨자가 나온 경우보다 수십명의 당첨자가 나온 로또 판매점의 당첨확률이 낮을 수 있다. 만장 팔아서 우연히 당첨자가 나온 편의점의 당첨확률은 대충 0.001%지만, 수많은 사람들이 매주마다 십수장씩 사간 로또판매점의 당첨확률은 제시된 당첨확률 (약 814만분의 1 ≒ 0.00000001%)에 최대한 가까워지기 때문에, 거의 800배의 차이가 날정도. 즉, 당첨이 잘된다는 판타지를 믿으려면 차라리 편의점을 가는것이 맞다.[17] 게임에 따라 정말 10번째에 치명타가 터질 확률이 높아지기도 하는데, 리그 오브 레전드가 대표적이다. 2번 연속으로 치명타가 터질 확률은 10%보다 낮게 하되, 치명타가 터지지 않으면 확률을 계속 상향조정해서 평균적으로 10%에 근접하도록 만드는 식.[18] 바둑리그마냥 시즌 끝날때마다 전면 드래프트로 새로 팀을 구성하는게 아니고서야 이게 도박사의 오류의 사례라고 보기는 어렵다. 한 시즌에 전력을 잘 꾸려놓으면 줄부상이나 팀의 재정적 문제가 터진게 아니라면 다음 시즌에도 좋은 전력을 유지하는 것이 당연하므로 매 시즌의 성적은 독립시행이 아니다. 이 축구 클럽의 경우는 10년간이나 꾸준한 전력을 유지하는데 대한 찬사와 그러면서도 우승 한번을 못하는 데 대한 비아냥으로 하는 말이다.