매듭이론
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knot theory
1. 개요
매듭이론은 매듭을 수학적으로 연구하는 위상수학의 한 분야이다. 여기서 매듭이란 일상 생활용어가 아니라 수학 용어로, 얽혀 있고 양 끝이 붙어 있는 끈을 말한다. 즉 충격적이게도 운동화 끈은 수학적으로 매듭이 아니다. 이 끈은 굵기가 없다고 생각하며, 끈의 단면은 점이 된다. 따라서 매듭은 공간상의 스스로 만나지 않는 폐곡선이 된다.
하나의 매듭이 있을 때, 이 매듭을 스스로 만나게 하지 않으면서 공간상에서 연속적으로 변형하여 만든 새로운 매듭은 원래의 매듭과 다르지 않다고 생각한다. 쉽게 말해 한 매듭을 적절히 변형시켜 다른 매듭의 모양으로 만들 수 있다면 두 매듭은 같다고 한다.
또한 이렇게 만들어지는 매듭들을 교차점의 개수로 분류한다. 위의 사진을 참고하자. $$3_1$$ 은 교차점이 3개인 매듭 중 첫번째 매듭이라는 뜻이다. 여기서 교차점의 개수가 같아도 다른 종류의 매듭이 나올 수 있다는 것을 알 수 있다.
이해를 돕기위해 아래 그림을 예시로 들어보겠다. 아래와 같이 매듭을 2차원적 그림으로 나타낸 것을 '매듭의 사영'이라 한다.
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위의 두 끈은 양 끝이 붙어있는 폐곡선이므로 수학적으로 매듭이라 볼 수 있다. 그리고 직관적으로 두번째 매듭을 적절히 변형하면 첫번째 매듭으로 바뀜을 알 수 있으므로 두 매듭은 같다.[1]참고로 위의 두 매듭은 교차점이 존재하지 않는다.[2] 이러한 매듭을 ‘영매듭’ 또는 '풀린매듭', '자명한매듭' 이라 하고 특별히 다룬다.
2. 매듭이론의 역사
매듭이론의 초기 관심은 화학으로부터 시작되었다. 1880년대에는 에테르#s-1.1란 물질이 우주공간을 꽉 채우고 있다고 믿었고 켈빈#s-1(William Thomson Kelvin, 1824-1907)[3]은 원자는 단지 에테르 구조가 가지는 매듭들이라고 가정하였다. 즉 매듭이 다르면 다른 원소에 대응한다는 것이다. [4]
이 가정에 따라 몇몇 수학자와 물리학자들은 원소표를 만들기 위한 목적으로 매듭목록을 작성하기 위해 노력한 것이 매듭이론의 시초이다. 후에 마이컬슨-몰리 실험에 의해 에테르의 존재가 부정되고 보다 정확한 원자구조 모델이 19세기에 등장하면서 켈빈의 가설은 틀렸음이 입증되었지만 그러던 중 수학자들은 매듭에 호기심을 가지게 되었고 매듭이론은 지금까지 100년이상 지속적으로 연구되고 있다.
또 매듭이론은 위상수학의 분야로 분류되었는데, 이는 위상수학이 기하적 대상들의 변형에 의해 보존되는 성질을 연구하는 분야임을 상기하면 쉽게 이해할 수 있다. 매듭의 동등성에 대한 내용을 생각해 보자.
3. 매듭의 합성
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매듭들의 사영 두 개가 있을 때, [그림 1.10]에서와 같이 각 사영의 작은 곡선 부분을 제거하고, 이때 생긴 네 끝을 두 곡선으로 연결하여 새로운 매듭을 얻을 수 있다. 이렇게 얻는 매듭을 두 매듭의 합성(composition)[5]이라고 한다. 두 매듭을 기호로 J와 K라고 한다면 이들의 합성을 J#K로 나타낸다. 이 때 두 사영은 서로 겹치지 않고, 합성을 위해 작은 곡선부분을 선택할 때에는 사영의 바깥 부분을 선택하여, 엇갈림을 포함하지 않도록 한다. 또한 네 끝을 두 곡선으로 연결할 때에는 두 곡선이 원래 사영과 만나지 않으면서, 두 곡선도 서로 만나지 않도록 선택한다.
합성매듭(composite knot)이란 자명한매듭[6]이 아닌 두 매듭의 합성으로 표현될 수 있는 매듭이다. 이것은 자연수에서 합성수의 개념과 비슷한데, 합성수는 1이 아닌 두 자연수의 곱으로 표현될 수 있는 수를 말한다. 합성매듭을 만드는 매듭들은 인자매듭(factor knots)이라고 한다.
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매듭K와 풀린매듭을 합성하면 그 결과는 다시 K가 되는데 이는 정수에 1을 곱하면 원래의 정수가 되는 것과 같다. 자명하지 않은 두 매듭의 합성으로 표현할 수 없는 매듭을 기약매듭(prime knot)이라고 한다. 세잎매듭과 8자 매듭이 기약매듭이지만 쉽게 증명할 수 있는 것은 아니다.
풀린매듭은 합성매듭인가? 그림을 보면 합성매듭이 아닌 것처럼 보인다. 하지만 풀린매듭을 적당히 꼬아 합성매듭의 사영을 얻을지도 모른다. 즉, 두 개의 비자명 매듭을 합성하여 풀린매듭의 사영을 얻을 수 있을지도 모른다. 아마 오른쪽에 있는 매듭의 사영이 왼쪽에 있는 매듭의 사영을 적당하게 풀어, 전체적으로 풀린매듭의 사영이 되게 할 수도 있다.
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만약 풀린매듭이 합성매듭이라면 모든 매듭이 합성매듭이 되는 다소 당황스러운 결론을 얻게 된다. 매듭은 풀린매듭과의 합성을 하면 다시 자기 자신이 되기 때문에 모든 매듭은 풀린매듭의 비자명 인자 매듭과 자기 자신과의 합성이 되기 때문이다.
사실 풀린매듭은 합성매듭이 아니다. 즉 풀린매듭을 두 비자명 매듭의 합성으로 표현할 수 없다. 이는 자연수 1이 1보다 큰 어떤 두 자연수들의 곱이 되지 않는다는 것과 비슷하다. 아울러 자연수의 소인수 분해가 유일한 것과 같이 합성매듭을 구성하는 기약매듭들은 유일하게 정해진다.
하지만 자연수의 연산과 매듭의 합성의 다른점도 존재한다. 자연수의 곱과는 달리 두 매듭을 합성하는 방법은 한 가지 이상이다. 이는 합성을 할 때, 각 사영의 작은 곡선 부분을 선택해야 하기 때문이다. 이러한 선택의 방법에 따라 합성의 결과가 달라질 수 있을까? 놀랍게도 선택에 따라 합성 결과가 달라질 수 있다. 즉 매듭 J와 K로부터 서로다른 두 합성매듭을 만들 수 있다.
이를 살펴보기 위해 먼저 매듭에 방향을 정하자. 방향(orientation)이란 매듭을 따라 움직이는 방향을 선택하는 것을 말한다. 선택한 움직임의 방향에 따라 매듭의 사영 위에 화살표를 그려 매듭의 방향을 표시한다. 방향이 있는 매듭을 유향(oriented)매듭이라고 한다. 여기서 방향이 자기 자신과 반대인 매듭을 거울상매듭(Chiral knot)이라고 한다.
두 유향매듭 J와 K를 합성하는 방법에는 두 가지가 있을 수 있다. J#K에서 J의 방향과 K의 방향이 일치하여 J#K의 방향이 각 매듭의 방향으로부터 결정되는 경우와, J#K에서 J의 방향과 K의 방향이 일치하지 않는 경우이다. 두 유향매듭의 방향이 일치하도록 합성하는 경우 합성하면 그 결과는 항상 같다. 두 매듭의 방향이 일치하지 않도록 합성하면 그 결과는 항상 같지만 방향이 일치하도록 합성한 것과는 다를 수 있다. 먼저 아래에서는 합성의 결과가 유일한 경우를 살펴보겠다.[7]
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그림 1.17의 처음 두 합성 매듭이 같은 매듭이라는 것은 그림 1.18을 보면 알 수 있는데 먼저 (가)에서 J를 작게 만들어 K를 따라 이동하면 (나)를 얻을 수 있기 때문이다. 또한 일반적인 경우가 아닌 특별한 경우로, 그림 1.17의 (다) 역시 앞의 두 합성매듭과 같은 매듭이 된다. 이 사실은 인자매듭 중 하나가 가역(invertible)이기 때문이다. 매듭이 가역이라는 것은 매듭을 연속적으로 변형하여 매듭의 주어진 방향과 반대의 방향을 가진 매듭을 얻을 수 있는 경우를 말한다. 두 유향매듭 J와 K중 하나인 J가 가역이면 J#K를 적당하게 변형하여 J#K에서의 K의 방향이 원래 K의 방향과 반대로 되게 할 수 있으므로 J와 K의 방향은 항상 일치하게 할 수 있다. 따라서 두 인자매듭 중 하나가 가역인 경우 합성의 결과는 유일하다.
이번에는 합성의 결과가 두 가지 이상인 경우를 살펴보자. 즉 두 매듭이 둘 다 가역이 아닌 경우이다. 하지만 사실 우리가 다루는 매듭가운데에서 가역이 아닌 매듭을 찾기는 쉽지 않다. 실제로 매듭목록을 쭈우욱 펼쳤을 때 제일 처음으로 등장하는 가역이 아닌 매듭이$$8_{17}$$[8]이다. 아래에서는 두 개의$$8_{17}$$을 합성한 경우를 예시로 들어보겠다.
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언뜻 두 매듭은 같아 보이지만 꼼꼼히 따져보면 두 매듭이 다른 것이란 것을 충분히 알 수 있다.
이와 같이 가역이 아닌 두 매듭을 합성하면 다른 결과가 나올 수 있다는 것을 알았다. 이말을 바꿔말하면 매듭의 합성의 결과가 유일함을 알려면 두매듭 중 한 매듭이 가역임을 알아야 한다는 것이다. 많은 매듭들이 가역인 매듭과 가역이 아닌 매듭으로 분류되었지만 아직까지 그 누구도 매듭이 가역인지 아닌지 알 수 있는 '일반적인 방법'은 제시하지 못하고있다.
4. 다중 매듭
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여러 개의 매듭이 결합[9]된 것을 말한다. 연환(連環)이라고도 한다. 보통 오른쪽 위에 단위매듭의 총 개수를 적는다.
예컨대 두 개의 영매듭이 연결된 매듭을 보면 교차점이 2개인 호프 사슬(Hopf link, $$2^2_1$$), 교차점이 4개인 솔로몬 매듭(Solomon's knot, $$4^2_1$$), 교차점이 5개인 화이트헤드 사슬(Whitehead link, $$5^2_1$$) 등 꽤 다양한 조합이 있으며, 영매듭이 아닌 매듭을 이용해 더 복잡한 구조의 매듭도 만들 수 있다.
5. 라이데마이스터 변환
라이데마이스터 변환이란 쉽게 설명하자면 같은 매듭인지 알아보기 위해 매듭을 가능한 최대로 간단하게 만드는 도구라 할 수 있다. 가장 쉽게 예를 들자면 원매듭을 한번 꼰다고 해서 이 매듭이 원매듭이 다른 매듭이 되는 것이 아니고, 이렇게 꼬인 매듭을 풀거나 원래 매듭을 꼬는 방법이 라이데마이스터 변환 중 하나이다. 라이데마이스터 변환은 크게 3가지로 분류 할 수 있다. 아래 그림을 보고 이해하도록 하자.
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그림-1을 보면 매듭의 한 선을 꼬아 새로운 교점을 만드는 것을 볼 수 있다. 이 변환은 가장 기본적인 변환으로 매듭의 변환과정 중 가장 발견하기 쉬운 변환법이다. 두 번째로 그림-2를 보면 매듭의 두 선을 교차하여 두 개의 새로운 교점을 만들어 매듭을 다르게 보이게 하는 변환법이다. 세 번째 변환법은 교차점의 개수는 변하지 않지만 한 점에 대한 위치를 다르게 하여 매듭을 다르게 보이게 하는 변환법이다. 이 변환법을 사용 할 때는 주의해야할 점이 있다. 그림-3의 경우처럼 하나의 선이 두 개의 교차선에 대해 3차원적 상하관계가 변하지 않는지 잘 확인하며 변환법을 적용시켜야 한다.
재미있는 예시를 하나 들어 라이데마이스터 변환을 설명해 보겠다. 아래 그림을 참고하자.[10]
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이제부터 이 매듭을 라이데마이스터 변환을 이용해 최대한 간단히 변환시킬 것이다. 위의 라이더마이스테 변환법 1 2 3을 보며 천천히 따라가 보자.
2번 변형 1회 사용
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2번 변형 2회 사용
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2번 변형 1회 사용
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2번 변형 1회 사용
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1번 변형 1회 사용
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놀랍게도 위의 복잡무쌍해 보이는 매듭은 영매듭이었다! 이렇듯 라이데마이스터 변환을 적절히 실행시켜 주면 매듭을 가장 간단한 형태로 만들 수 있다. 다만 라이데마이스터 변환을 아무리 해도 안되다가 어쩌다 한 번 해서 가장 간단한 매듭으로 변환될 수도 있다. 즉 라이데마이스터 변환을 몇 번 해야된다는 횟수는 정해져 있지 않다는 것이다.
이 법칙은 의외로 실생활에도 쓸만한 곳이 있는데, 다름아닌 현실의 엉킨 매듭을 풀 때이다. 엉켜진 형태를 보고 당황하지 않고 침착하게 라이데마이스터 변환을 하다 보면 어느 새 엉켜 있던 게 깔끔하게 풀려 있는 것을 볼 수 있다.
6. 매듭다항식
지금 소개할 내용은 제목대로 매듭을 다항식으로 표현하는 방법이다. 이 방법 또한 같은 매듭을 판별하기에 용이하다.[11][12] 이 다항식은 놀랍게도 매듭에 하나의 다항식만이 대응 되고 같은 매듭의 서로 다른 두 사영의 다항식은 항상 같게 나온다. 다시 말해 매듭의 다항식이 다르면 두 매듭은 다르다. 두 매듭의 다항식을 구하는 것 만으로도 두 매듭이 서로 다른지 아닌지 판별할 수 있다는 소리이다![13]
이 다항식을 설명하기 위해서는 실타래 관계, 다항식 불변량 등의 내용을 포함한 논문 몇 개를 꿰차고 있어야 하기에 매듭다항식 중 가장 보편적인 형태인 존스방정식의 간략한 예시만 제시하겠다.
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7. 매듭이론의 응용
매듭이론은 앞서 매듭이론의 역사부분에서 말했듯 순수히 수학자들의 호기심에 의해서만 연구되었다. 즉 어딘가에 써먹으려고 연구한 분야가 아니라는 소리이다. 그런데도 현재에 와 매듭이론은 여러분야에 유용하게 사용되고 있다. 이는 수학의 '수동적' 효용성을 보여주는 좋은 예이다.
아래에선 매듭이론이 응용된 분야 중 대표적인 DNA와 초끈이론에 대해 다룬다.[14]
그리고 명색이 매듭을 다루는 이론인 만큼 현실의 매듭과도 엮어볼 수도 있는데, 예컨대 $$3_1$$은 흔히 생각하는 옭매듭이고, $$4_1$$의 경우 8자매듭 그 자체이다. $$6_1$$의 경우 부둣가에서 널리 쓰는 매듭으로 잘 알려져 있다. $$7_4$$의 경우 특유의 간지(?)로 티베트 불교의 문양이나 켈트 십자가 등 장식 용도로 상당히 널리 쓰이는 매듭이다. $$8_{18}$$은 아예 방석을 만들 수 있다. 또한 뜨개질은 이런 '매듭'의 연속으로 이뤄진다.
7.1. DNA와 매듭이론
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DNA가 RNA를 합성하는 과정에서 이중나선 일부가 풀리고 두 가닥의 사슬 중 하나만 복제를 위한 주형이 된다. RNA 합성이 끝나면 DNA가 다시 나선 모양으로 감긴다. 그러나 복제나 전사는 간단한 과정이 아니다. DNA는 유전정보를 압축시켜 저장하기 위해 아주 단단하게 얽히고설킨 채 감겨 있기 때문이다. 따라서 압축을 푸는 과정이 일어나지 않고는 이런 과정이 순조롭게 일어날 수 없다. 게다가 복제 과정이 종료되기 위해서는 자손 DNA분자는 풀려 있어야만 하는 동시에 부모 DNA 분자는 결국 원래의 구조로 복원되어야만 한다.
꼬이고 얽힌 DNA사슬을 푸는 일은 효소가 한다. 효소는 이 DNA가닥에서 저 DNA가닥으로 옮겨다니며 일시적으로 사슬을 끊기도 하고 다시 이어붙이기도 한다. 여기서 우리는 매듭이론을 떠올릴 수 있다.
매듭이론이라는 수학자들의 난제는 DNA의 위상 변화를 관찰하여 효소의 작용 메커니즘을 알아내는 데 이용된다. 일종의 부산물처럼, DNA매듭의 교차점 수의 변화로 생물학자들은 효소의 반응속도, 곧 주어진 농도의 효소가 1분당 얼마나 많은 교차점에 영향을 미치는지 측정할 수 있다.
7.2. 초끈이론과 매듭이론
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끈이론의 기본개념은 무척 단순하다. 끈이론에서는 전자나 쿼크 같은 기본적인 아원자 입자가 점 같은 형태가 아니라 진동하는 끈의 형태로 되어 있다고 말한다. 우주에는 고무 밴드 같은 작고 유연한 고리로 가득 채워져 있는데, 이 고리를 이루는 끈이 어떻게 진동하느냐에 따라 물질의 입지가 달라진다는 것이다. 바이올린의 현을 어떻게 연주하느냐에 따라 다른 소리가 나는 것과 비슷하다고 말할 수 있겠다.
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여러 끈들이 상호작용을 하면 이 끈들은 위와 같이 도넛 껍질이 얽히고설킨 모양으로 서로 연결되어 복잡한 망상구조를 형성한다.
끈이론을 연구하는 이론물리학자인 오구리 히로시와 쿰룬바파는 이런 복잡한 위상기하학적 구조를 살피다가 매듭 고유의 기하학적 특성을 지니는 도넛 껍질의 개수와 존스 다항식 사이에서 놀라운 상관관계를 발견했다. 그보다 앞서, 중요한 끈 이론 연구자 가운데 한 사람인 에드워드 위튼은 존스 다항식과 알려진 끈이론의 토대사이에서 예기치 못한 연관성을 찾아냈다.
끈이론은 가장 기본적인 물질의 구성 성분을 규명하기 위한 탐색을 했지만, 좀 더 넓은 시각에서 보면 그 방식은 원래 캘빈이 원자의 구조를 탐구했던 방식과 아주 흡사하다. 캘빈은 매듭이 그 해답이 될 수 있을 거라고 생각했다. 마침내 이 사건은 놀라운 반전을 맞아, 끈이론을 연구하는 학자들은 매듭에서 정말 조금이나마 그 해답을 찾은것이다.[15]
8. 여담
- 추상적 대상이 넘쳐나는 위상수학 분야 중에서 몇 안되는 '현실적인 대상'을 다루는 하위 학문이다. 물론 '거리'라는 개념을 배제하는 위상수학적 관념은 그대로이기는 하지만.
- 이 문서에 있는 정보들은 정말 매듭이론의 빙산의 일각에 지나지 않는다. 정말 매듭이론에 관해 깊이 공부하고 싶다면 콜린 아담스의 '매듭이론'을 구입하길 추천한다. 한국 내에서 이보다 매듭이론에 관해 깊이 탐구한 책은 찾기 어려울 것이다. 또는 본인이 영어실력이 일정 수준 이상이라면 영문위키피디아의 'knot theory'문서를 참고하는 것도 좋다.
- 매듭이론에 대한 연구가 활발하다고는 하지만 한국에서는 별로 알려지지 않은 분야이다. 우리 모두 매듭이론에 많은 관심을 가져주자.
- 추상성이 얕고 실생활에서 많이 응용되는 '매듭'을 다루는 내용임에도 놀랍게도 한국의 중등교육과정에서 한 번도 다뤄본 적이 없는 교과이다.
9. 관련 문서
[1] 여기서 변형시킨다는 절대 추상적인 개념이 아니다. 아래의 라이데마이스터 변환을 참고하자.[2] 두 번째 그림의 경우 교차점이 존재한다고 생각 할 수도 있지만 교차점의 개수는 매듭을 가장 간단한 형태로 변형시켰을 때에만 의미를 가지므로 교차점이 존재하지 않는다고 표현하는 것이 옳다.[3] 절대온도의 단위로 쓰는 그 켈빈이 이 사람의 이름에서 따왔다.[4] 지금 보면 캘빈의 추측이 터무니없는 소리처럼 들릴 수 있지만, 그것은 우리가 실험을 통해 검증된 올바른 원자 모형에 익숙해 있기 때문일 것이다.[5] 연결합(Connect sum)이라고도 한다.[6] 합성매듭에 관한 내용을 다룰 때에는 영매듭이라는 이름보다는 자명한매듭이나 풀린매듭이라는 이름을 많이 쓴다[7] 아래에서 설명하겠지만 두 인자매듭 중 하나 이상이 가역인경우이다.[8] 위에서 언급했듯이 이는 교차점이 8개인 매듭 중 17번째 매듭을 뜻한다.[9] 정확히는 한 매듭의 내부 공간에 다른 매듭의 폐곡선이 들어가 있고 서로 분리할 수 없는 형태[10] 참고로 아래 매듭의 이름은 '못된매듭'이다.[11] 다만 이는 학문적 가치로서는 충분한 역할을 하지만 단순히 같은 매듭인지를 판별하기 위해 이 방정식을 공부하는 것은 어지간히 비효율적인 일이 아닐 수 없다.[12] 또한 매듭다항식이 같은 것으로 두 매듭다항식이 같다는 것을 보일 수는 없다.[13] 하지만 이는 완벽한 방법은 아니다. 왜냐하면 매듭에는 다항식이 오직 하나만 대응되지만 다항식에 매듭이 오직 하나만 대응된다는 것은 아직 증명되지 않았기 때문이다. 보다 자세한 내용을 알고싶으면 관련서적을 찾아보거나 외국논문을 뒤져보는 것을 추천한다.[14] 통계역학에서의 응용도 가능하다고 한다.[15] 하지만 초끈이론은 현재와서 거의 받아들여지지 않고 있다.