무리함수
1. 개요
irrational function · 無理函數
중등 교육과정 전용 용어로, $$y=\sqrt{x+4}$$, $$y=\sqrt[3]{x^2+2x}+5$$와 같이 무리식이 포함된 함수를 말한다. 이 문서에서는 중등 교육과정에서 다루는 다음과 같은 꼴을 주로 설명한다.
$$f(x)=\pm \sqrt{ax+b}+c\;$$ (단, $$a \neq 0$$인 상수, $$b$$, $$c$$는 상수)
2. 정의역과 치역
무리함수에는 근호가 포함되어 있고, 근호 안에는 음수가 올 수 없기 때문에 $$f(x)=\sqrt{ax+b}+c$$ (단, $$a>0$$)에 대하여 정의역은
$$ \displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \geq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \} $$
$$ \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq c,\,f(x) \in \mathbb{R} \} $$
- 정의역은 $$ \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} $$이다.
- 치역은 $$ \displaystyle \{ f(x)|f(x) \geq 0,\,f(x) \in \mathbb{R} \} $$이다.
3. 그래프
무리함수 $$y=\pm \sqrt{ax+b}+c$$의 그래프의 성질은 다음과 같다.
- 위 문단에서 무리함수의 역함수가 이차함수임을 밝혔으므로 포물선의 일부이다.
- 그래프의 시작점은 $$\left( -\dfrac{b}{a},\,c \right)$$이다.
- $$|a|$$값이 작을수록 그래프는 직선 $$y=c$$에서 가까워진다.
[image]
무리함수 $$y=\pm \sqrt{ax+b}+c$$의 그래프는 $$y=\pm \sqrt{ax}$$를 평행이동하면 된다. 예시로 $$y=\sqrt{-2x-4}+3$$은 $$y=\sqrt{2x}$$를 $$y$$축에 대하여 대칭이동 한 후 $$x$$축 방향으로 $$-2$$만큼, $$y$$축 방향으로 $$3$$만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 아래와 같다.
[image]
3.1. 대칭이동
무리함수 $$f(x)=\sqrt{ax+b}+c$$ (단, $$a>0$$)는
$$ \displaystyle f(x)=\sqrt{a\left(x+\frac{b}{a} \right)}+c $$
- $$y=\sqrt{-ax}$$
- $$y=\sqrt{ax}$$를 $$y$$축에 대하여 대칭이동
- 정의역은 $$ \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} $$
- 치역은 $$ \displaystyle \{ y|y \geq 0,\,y \in \mathbb{R} \} $$
- $$y=-\sqrt{ax}$$
- $$y=\sqrt{ax}$$를 $$x$$축에 대하여 대칭이동
- 정의역은 $$ \displaystyle \{ x|x \geq 0,\,x \in \mathbb{R} \} $$
- 치역은 $$ \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} $$
- $$y=-\sqrt{-ax}$$
- $$y=\sqrt{ax}$$를 원점에 대하여 대칭이동
- 정의역은 $$ \displaystyle \{ x|x \leq 0,\,x \in \mathbb{R} \} $$
- 치역은 $$ \displaystyle \{ y|y \leq 0,\,y \in \mathbb{R} \} $$
4. 역함수
무리함수 $$y=\pm \sqrt{ax+b}+c$$의 역함수를 구하기 위해 $$x$$와 $$y$$의 자리를 바꾸면
$$ \displaystyle x=\pm\sqrt{ay+b}+c \quad \to \quad \pm\sqrt{ay+b}=x-c $$
$$ \displaystyle ay+b=(x-c)^{2} \quad \to \quad y=\frac{1}{a}\{(x-c)^{2}-b\} $$
5. 무한에 대한 극한값
모든 무리함수의 그래프는 무리함수 $$y=\sqrt{ax} \;(a>0)$$의 그래프를 평행이동 혹은 대칭이동하여 만들 수 있다. 따라서 $$y=\sqrt{ax} \;(a>0)$$만 논해도 무방하다.
$$y=\sqrt{ax} \;(a>0)$$의 극한값은
$$ \displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty $$
$$ \displaystyle x>K \Rightarrow \sqrt{ax} >M $$
$$ \displaystyle \begin{aligned} \sqrt{ax} >M &\to \sqrt{x}>\frac{M}{\sqrt{a}} \\& \to x>\frac{M^{2}}{a} \end{aligned}$$
$$ \displaystyle \begin{aligned} x>\frac{M^{2}}{a} \Rightarrow \sqrt{ax}>M \end{aligned} $$
고등학교 수준에서는 '$$x$$가 무한히 커지면 $$\sqrt{ax}$$도 무한히 커지므로 $$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sqrt{ax}=\infty$$'로 알면 충분하다.
6. 도함수
무리함수 $$f(x)=\sqrt[n]{x}$$의 도함수는 다음과 같다.
$$ \displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt[n]{x}}{nx} $$
7. 역도함수
무리함수 $$f(x)=\sqrt[n]{x}$$의 역도함수는
$$ \displaystyle \int f(x)\, {\rm d}x=\frac{nx\sqrt[n]{x}}{n+1}+\textsf{const.} $$
7.1. 특수한 적분법
7.1.1. 일차식의 거듭제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 $$\sqrt[n]{ax+b}$$ (단, $$a$$, $$b$$는 상수)를 포함할 때는 $$ \displaystyle \sqrt[n]{ax+b}=t $$로 치환하면 피적분함수가 $$t$$에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.
7.1.2. 유리식의 거듭제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 $$ \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)} $$ (단, $$a\sim d$$는 상수)를 포함할 때는 $$ \displaystyle \sqrt[n]{(ax+b)/(cx+d)}=t $$로 치환하면 피적분함수가 $$t$$에 대한 유리식이 되어 적분할 수 있다.
7.1.3. 삼각치환법
피적분함수가 $$\sqrt{a^2-x^2}$$, $$\sqrt{a^2+x^2}$$ (단, $$a$$는 상수) 형태일 때 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.
7.1.4. 이차식의 제곱근이 포함된 경우
피적분함수가 $$\sqrt{ax^2+bx+c} $$ (단, $$a$$, $$b$$, $$c \neq 0$$)을 포함할 때, $$a$$의 부호에 따라 적분한다.
'''[1] $$\boldsymbol{a>0}$$'''
$$\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$$
'''[2] $$\boldsymbol{a<0}$$'''
이차식 $$ax^2+bx+c$$를 $$a(x-\alpha)(x-\beta)$$로 인수분해하여
$$ \sqrt{\dfrac{x-\alpha}{\beta-x}}=t $$
$$ x=\dfrac{\alpha+\beta t^2}{t^2+1} \quad \to \quad {\rm d}x=\dfrac{2t(\beta-\alpha)}{(1+t^2)^2}\,{\rm d}t $$
$$ \sqrt{ax^2+bx+c}=\dfrac{\sqrt{-a} |\alpha-\beta| }{1+t^2} $$
7.1.5. 타원 적분
무리함수의 적분으로 정의되는 특수함수다.
8. 기타
- 무리함수는 고1 때 배운다.
- 무리함수는 도함수를 구하는 것이 비교적 쉬우나 역도함수는 여러 적분법을 써야 간신히 구해지는 경우가 많다.