이차함수
1. 개요
quadratic function · 二次函數
이차함수는 최고차항의 차수가 2인 다항함수를 말하며, 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.
- 일반형: $$f(x)=ax^2+bx+c $$
- 표준형: $$f(x)=a(x-p)^2+q $$
2. 그래프
이차함수의 그래프는 포물선이다. 아래의 표는 이차함수의 표준형 및 일반형에 대한 정보를 요약한 것이다.
2.1. 표준형
모든 이차함수는
$$f(x)=a(x-p)^2+q \qquad$$(단, $$a$$는 0이 아닌 상수, $$p$$, $$q$$는 상수)
$$y=ax^2$$의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다.
- $$a>0$$이면 아래로 볼록한 포물선이 되고, $$a<0$$이면 위로 볼록한 포물선이 된다.
- 최솟값 혹은 최댓값이 되는 점(접선의 기울기가 [math(0)])인 점을 꼭짓점이라 하며, 꼭짓점은 원점이다.
- $$|a|$$가 커질수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 그래프의 폭은 증가한다.
- $$y$$축에 대하여 대칭이며, 이때 이 $$y$$축을 대칭축이라 한다.
따라서 표준형 $$f(x)=a(x-p)^2+q$$의 그래프는 다음과 같은 성질을 갖는다.
- $$a>0$$이면 아래로 볼록하며, $$a<0$$이면 위로 볼록하다.
- 꼭짓점은 $$(p,\,q)$$이다.
- 대칭축은 $$x=p$$이다.
- $$|a|$$가 클수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 폭은 증가한다.
- $$y$$절편은 $$ap^2+q$$, $$x$$절편은 $$p \pm \sqrt{-\dfrac{q}{a}}$$(단, $$aq \leq 0$$)이거나 존재하지 않는다.
2.2. 일반형
한편, 일반형 $$f(x)=ax^2+bx+c$$는 표준형으로 나타내면
$$\displaystyle f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} $$
- $$a>0$$일 때, 아래로 볼록한 모양의 포물선을 가지며, $$a<0$$일 때, 위로 볼록한 모양의 포물선을 갖는다.
- $$|a|$$가 커질수록 그래프의 폭은 감소하며, 작을수록 그래프의 폭은 증가한다.
- 꼭짓점은 $$\left( -\dfrac{b}{2a}, \, \dfrac{4ac-b^2}{4a} \right) $$이다.
- 대칭축은 $$x=-\dfrac{b}{2a}$$이다.
- $$y$$절편은 $$c$$, $$x$$절편은 $$ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$(단, $$b^2 \geq 4ac$$)이거나 존재하지 않는다.
2.3. 최댓값과 최솟값
실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 $$f(x)=ax^2+bx+c$$의 도함수는 $$f'(x)=2ax+b$$이다. 이때, $$f'(x)=0$$이 되도록 하는 $$x$$값을 '''극값'''이라 하며, 이차함수는 실수 전체의 집합에 대하여 오직 $$\displaystyle x=-{b}/{2a}$$만을 극값으로 갖는다. 이는 앞서 설명한 꼭짓점의 $$x$$좌표이다. 따라서 이차함수의 그래프의 극점은 꼭짓점이다.
이에 따라, 극값 $$-{b}/{2a}$$를 기준으로 도함수의 함숫값이 양에서 음 혹은 음에서 양으로 바뀐다. 즉, 꼭짓점을 기준으로 함숫값이 증가하다 감소하거나, 감소하다 증가하는 두 가지의 경우가 있다.
이 결과로부터 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수의 최댓값과 최솟값을 알 수 있는데, 이차함수가 아래로 볼록하다면 최솟값은 꼭짓점의 $$y$$좌표이며 최댓값은 없다. 위로 볼록하다면 최댓값은 꼭짓점의 $$y$$좌표이며 최솟값은 없다.
그런데 실수 전체의 집합이 아닌 다른 집합에서 정의된 이차함수라면 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수 있다. 다만, 그 구간 내에 꼭짓점이 포함된다면 그래프가 아래로 볼록할 경우 최솟값이, 그래프가 위로 볼록할 경우 최댓값이 꼭짓점의 $$y$$좌표임은 변치 않는다.
2.4. 대칭축
기본적으로 이차함수는 대칭축에 대칭인 함수이기 때문에 이차함수 $$f(x)$$에 대하여
$$f(k-x)=f(k+x) $$
[image]
위 그림과 같이, 대칭축으로부터 거리가 같은 점들의 $$y$$좌표는 모두 같으며, 역으로 $$y$$좌표가 같은 이차함수 위의 두 점 $$\rm A$$, $$\rm B$$가 있을 때, 선분 $$\overline{\rm AB}$$의 중점 $$\rm M$$은 대칭축 위에 있다. 또한, 대칭축과 이차함수의 그래프의 교점은 꼭짓점이다. 이 성질은 이차함수와 관련한 기하학적 문제를 풀 때 자주 사용한다.
2.5. 이차함수의 그래프와 닮음
모든 이차함수의 그래프는 평행이동을 통하여 $$y=ax^2$$의 그래프로 둘 수 있으므로 $$y=ax^2$$을 고려해 보자. 다음과 같은 $$k$$배만큼의 닮음 변환을 통해 $$y=ax^2$$의 위의 점 $$(x,\,y) \to (x',\,y')$$로 옮겨진다고 하면
$$\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k &0 \\ 0& k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \; &\to \; x'=kx,\;y'=ky\\ \; &\to \; y'=\frac{a}{k}x'^{2} \end{aligned} $$
$$y=ax^2$$을 닮음변환하여 $$y=bx^2$$를 얻었다고 하자. 이때, 두 포물선의 닮음비는 다음과 같다.
$$\displaystyle 1:\left| \frac{a}{b} \right|=|b|:|a| \quad \left(\because\displaystyle \frac{a}{k}=b \to k=\frac{a}{b}\right)$$
$$\displaystyle 1:\left| \frac{a}{b} \right|=|b|:|a| $$
2.6. 이차함수의 그래프와 이차방정식
이차함수의 $$x$$절편은 $$f(x)=0$$을 만족시키는 $$x$$로서, 결국 이차방정식 $$f(x)=0$$의 해이다.
따라서 이차함수 $$y=f(x)$$에 대하여 실수 범위 내에서
$$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$$
[image]
$$f(x)=a(x-\alpha)^2$$
[image]
$$f(x)$$가 실수 범위 내로 인수분해되지 않는다면, $$x$$절편은 존재하지 않는다.
[image]
위 성질과 포물선의 볼록 유형(상수 $$a$$의 부호로 판단)만 파악하면 이차함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.
반대로 이 성질을 이용하여 이차함수의 그래프와 $$x$$축의 교점이 몇 개인지를 알아볼 수 있는데, 이는 앞서 말했듯 이차함수의 그래프의 $$x$$절편이 곧 해당 함수에 대한 방정식의 해이기 때문이다. 방정식 $$f(x)=ax^2+bx+c=0$$은 판별식 $$D=b^2-4ac$$에 대하여 $$D>0$$이면 두 실근, $$D=0$$이면 중근, $$D<0$$이면 두 허근을 갖기 떄문에 이차함수의 그래프와 꼭짓점의 개수가 각 경우에 대하여 2, 1, 0이다.
2.7. 이차함수의 그래프와 포물선
이미 포물선 문서를 통하여 이차함수 $$x^2=4py$$는 준선이 $$x$$축과 평행한 $$y=-p$$이고, 초점의 좌표가 $$(0,\,p)$$인 포물선임을 논했다. 따라서 이차함수 $$y=ax^2$$을 고려한다면, 그 그래프는
- 초점: $$\displaystyle \left( 0, \, \frac{1}{4a} \right) $$
- 준선: $$\displaystyle y=-\frac{1}{4a} $$
$$\displaystyle \overline{\rm PF}=\overline{\rm PH} $$
$$y=a(x-p)^2+q$$의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 $$y=ax^2$$의 그래프를 아래와 같이
- $$x$$축 방향으로 $$p$$만큼
- $$y$$축 방향으로 $$q$$만큼
- 초점: $$\displaystyle \left( p, \, q+\frac{1}{4a} \right) $$
- 준선: $$\displaystyle y=q-\frac{1}{4a} $$
$$y=ax^2+bx+c$$의 그래프를 고려한다면, 이 함수는 $$y=ax^2$$의 그래프를 아래와 같이
- $$x$$축 방향으로 $$-\dfrac{b}{2a}$$만큼
- $$y$$축 방향으로 $$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$만큼
- 초점: $$\displaystyle \left( -\dfrac{b}{2a}, \, \frac{4ac-b^2+1}{4a} \right) $$
- 준선: $$\displaystyle y=\frac{4ac-b^2-1}{4a} $$
위 식에 따라 초점과 꼭짓점, 꼭짓점과 준선 간의 거리는 $$({4|a|})^{-1}$$으로 일정하며, 최고차항의 계수 $$a$$의 절댓값에 반비례한다. 즉, $$|a|$$가 커지면 초점과 준선이 꼭짓점에 가까워지고, 작아지면 멀어진다.
2.8. 임의의 점에서 그을 수 있는 접선의 개수
임의의 점에서 이차함수의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 다음과 같다. 단, '''그래프보다 위'''라는 말은 해당 점의 $$y$$좌표가, 해당 점의 $$x$$좌표에서의 이차함수의 함숫값보다 크다는 뜻이다. 반면, '''그래프 위'''라는 말은, 이차함수의 그래프가 해당 점을 지난다는 뜻이다.
- 아래로 볼록한 경우(최고차항의 계수가 양수)
- 그래프보다 위에 있는 점에서 0
- 그래프 위에 있는 점에서 1
- 그래프보다 아래에 있는 점에서 2
- 위로 볼록한 경우(최고차항의 계수가 음수)
- 그래프보다 아래에 있는 점에서 0
- 그래프 위에 있는 점에서 1
- 그래프보다 위에 있는 점에서 2
이러한 특성 때문에, 이차함수의 그래프의 접선의 방정식은 굳이 미분을 하지 않고서도 구할 수 있다. 이차함수의 그래프 $$y=f(x)$$와 그 접선 $$y=g(x)$$는 접점 $$(a,\,f(a))$$[1]에서만 만나기 때문에, 이차방정식 $$|f(x)-g(x)|=0$$은 중근 $$x=a$$를 가지고 판별식은 0이라는 점을 이용하면 미분 없이도 접선의 방정식을 구할 수 있다.
3. 역함수
이차함수의 역함수는 하나의 양함수로 표현할 수 없다. 이차함수 자체가 일대일대응이 아니기 때문이다. 따라서 이차함수의 역함수는 대칭축을 기준으로 두 부분으로 나누어지며, 각 부분에 대한 역함수는 무리함수가 된다.
이차함수 $$f(x)=ax^2+bx+c$$의 역함수를 구하자. $$x$$와 $$y$$의 자리를 바꾸고 표준형으로 바꾼다.
$$\displaystyle \begin{aligned} x&=ay^2+by+c \\ &=a\left( y+\frac{b}{2a} \right)^2+\frac{4ac-b^2}{a} \end{aligned} $$
[1] 혹은 $$(a,\,g(a))$$
따라서 각 함수는 무리함수
$$\displaystyle \begin{aligned} y=\pm \sqrt{\frac{x}{a}} \end{aligned} $$
- $$x$$축 방향으로 $$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$ 만큼 평행이동.
- $$y$$축 방향으로 $$-\dfrac{b}{2a}$$ 만큼 평행이동.
$$\displaystyle {\rm P'}\left( \dfrac{4ac-b^2}{4a},\, -\dfrac{b}{2a} \right) $$
한편, 무리함수의 특성상 함수의 정의역은
$$\displaystyle x \geq \frac{4ac-b^2}{4a} $$
으로 쓸 수 있다.
아래의 그림은 $$a>0$$일 때 이 문단의 내용을 요약한 것이다.
[image]
한편, 표준형 $$f(x)=a(x-p)^2+q$$의 경우
$$\displaystyle \begin{aligned} ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}+\frac{4ac-b^2}{4a} \\ &\to \; p=-\frac{b}{2a},\; q=\frac{4ac-b^2}{4a} \end{aligned} $$
$$ \begin{cases}\begin{aligned}&\sqrt{\dfrac1a(x-q)}+p\quad(y\geq p)\\-&\sqrt{\dfrac1a(x-q)}+p\quad(y \leq p)\end{aligned}\end{cases}$$
4. 도함수
이차함수 $$f(x)=ax^2+bx+c$$의 도함수는 다음과 같은 일차함수이다.
$$\displaystyle f'(x)=2ax+b$$
5. 역도함수
이차함수 $$f(x)=ax^2+bx+c$$의 역도함수는 다음과 같은 삼차함수이다. $$\textsf{const.}$$는 적분 상수이다.[2]
$$\displaystyle \int f(x)\,{\rm d}x=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx+\textsf{const.}$$
[2] 고등학교에서는 $$C$$로 쓰는데, $$\textsf{const.}$$나 $$C$$나 상수를 뜻하는 영단어 constant에서 온 것이다.
6. 복소평면
복소평면에서는 포물선이 아닌 선분이 된다. $$b^2 - 4ac \geq 0$$일 경우 $$\Im(x) = 0$$이므로 선분이 실수축 위에 있으며, $$b^2 - 4ac < 0$$일 경우 선분이 실수축과 수직이다.
7. 다변수
변수가 둘 이상인 경우에도 이차식으로 정의되는 함수를 생각할 수 있다.
$$\displaystyle \begin{aligned} y &= \sum_{ij} a_{ij} x_i x_j + \sum_i b_i x_i + c \\&= {{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} x} + {{\bf b}^t x }+c \quad ({\boldsymbol{\mathsf{A}} ^t} {\boldsymbol{\mathsf{A}} } \neq 0) \end{aligned}$$
$$|\boldsymbol{\mathsf{A}} | \neq 0$$, 즉 비퇴화(nondegenerate)이면 평행이동으로 $$y={{\bf x}^t \boldsymbol{\mathsf{A}} x}$$의 '기본형'으로 바꾸어 줄 수 있지만, 자주 쓰이는 개념은 아니다.
이차형식이 이차함수와 가장 다른 점은 단순히 볼록하거나 오목한 것뿐만이 아니라, 어디선 볼록하고 어디선 오목한 형태가 임계점에서 나올 수 있다는 것이다. 예를 들어 $$ y = x_1^2 - x_2^2 $$ 등의 그래프를 그려보면 안장 같은 모양이 나온다. 선형대수학에서 대칭 행렬을 직교대각화하면 이런 이차형식의 그래프 개형을 완벽히 분류할 수 있다.
곡면의 곡률을 설명할 때는 곡률을 이차형식으로 변환하여 계산한다.
8. 각종 공식
어떤 함수가 이차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 이차함수의 그래프의 거리, 이차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 다항함수/추론 및 공식 참고.
9. 기타
- 대한민국 수학 교육과정상 중학교 3학년 1학기 때 처음 배우게 된다.
- 사인함수 및 코사인함수를 취하고 적분하면, 프레넬 적분 함수를 얻을 수 있다.