바이어슈트라스 타원 함수

카를 바이어슈트라스가 만든 특수함수의 하나로, $$\wp$$[1]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.

$$\displaystyle \wp(z) \equiv z^{-2} + \sum_{\ell \in \Lambda - \{0\} } ((z-\ell)^{-2} - \ell^{-2} )$$

[1] 흘려 쓴 소문자 P. 오로지 이 함수를 위해 만든 기호인지 다른 용도로는 쓰임이 없다. 참고로 이 기호를 출력하는 TeX 명령어는

\wp

다.

$$\ell$$은 격자점, $$\Lambda$$은 $$\ell$$의 집합이다.
복소수 위에서 매끄러운 함수다. 즉 해석함수이면서 무한번 미분이 가능하고, 연속이다.
이를 나타낸 그래프는 다음과 같다. 그래프를 보듯 모든 복소수에서 주기성을 띤다.

이름과는 달리 타원과는 별 상관없다. 이 함수는 타원곡선과 관련이 있는데, 복소공간에서 타원곡선 형태의 아래 식이 성립하기 때문.

$$[ \wp'(z) ]^2 = [ \wp(z) ]^3 + A \wp(z) + B$$

이 함수의 그래프는 원환체(일명 도넛 모양)임이 알려져 있다.
&와 비슷하게 저 $$\wp$$를 예쁘게 쓰기 어렵다. 그래서 귀찮으면 $$P$$로 쓰기도 하는 모양.