반초입방체

2차원:'''정이각형(선분)'''	3차원:'''정사면체'''	4차원:'''정십육포체'''

1. 개요

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半超立方體 / Demihypercube
반초입방체는 기하학에 등장하는 도형의 일종으로, n차원 직교좌표계에서 '''n차원 초입방체의 꼭짓점들 중에서 서로 이웃하지 않은 절반의 꼭짓점들을 서로 이어서 만든''' 다포체, 또는 그와 닮음인 도형을 의미한다. 2차원의 경우 1차원 도형인 선분으로 축퇴되고, 3차원의 경우 정사면체, 4차원의 경우 정십육포체이다.
5차원부터 정다포체인 반초입방체는 존재하지 않는다. 이는 n-반초입방체의 n-1포가 2n개의 (n-1)-반초입방체와 2^n-1개의 (n-1)-단체로 구성되어 있기 때문이다. 3차원의 경우 2-반초입방체는 1차원으로 축퇴된 도형인 선분이고, 2-단체는 정삼각형이기 때문에 6개의 선분과 4개의 정삼각형으로 이루어진 도형인 정사면체가 되며, 4차원의 경우 3-반초입방체는 정사면체이고 3-단체 또한 정사면체이기 때문에, 2×4개의 정사면체 + 2³개의 정사면체 = 정십육포체가 된다. 그러나 5차원부터는 4-반초입방체는 정십육포체, 4-단체는 정오포체로 포의 형태가 서로 다르기 때문에 정다포체가 아니게 된다.

2. 정보

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n차원 반초입방체가 있을 때, 각각의 n에 대해 다음과 같다.
(단, $$n>m$$)

n	명칭	꼭짓점의 개수	선분의 개수	면의 개수	3차원 도형의 개수	m차원 다포체의 개수	포의 개수	쌍대 도형	이포각
1	점	1						점
2	정이각형(선분)[1]	2	1				1	선분	0º
3	정사면체	4	6	4	1		4	정사면체	약 109.47º
4	정십육포체	8	24	32	16		16	정팔포체	120º
n	n-반초입방체	$$2^{n-1}$$	$$\dfrac{2^n n(n-1)}{8}$$	$$\dfrac{2^n n(n-1)(n-2)}{12}$$	$$\dfrac{2n(n-1)(n-2)(n-3)}{3}$$	$${2^{m+1}}_{n}\mathrm{C}_{m+1}$$	2n+2n-1[2]		$$\cos^{-1}\left(\dfrac{2-n}{n}\right)$$

[1] 유일하게 1차원 도형으로 축퇴된다.

[2] 포의 구성은 2n개의 (n-1)-반초입방체 + 2^n-1개의 (n-1)단체이다.