버츠와 스위너톤-다이어 추측
1. 개요
Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture[1]
추측의 대략적 내용은 아래와 같다.[2]
위 추측에 대한 증명은 밀레니엄 문제 중 하나다. 현재까지 미해결인 상태며, 이 문제를 푼 사람에게 상금 100만 달러가 수여된다.
2. 배경지식 및 해설
2.1. 디오판토스 방정식
정수론의 가장 중요한 문제 중 하나는 방정식의 정수해 또는 유리수해를 찾는 것이다.
간단한 예로 다음 문제를 생각해 보자. 세 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형은 어떤 것이 있을까?
다시 말해서, 이는 피타고라스 정리의 방정식 $$a^2 + b^2 = c^2$$ 을 만족하는 자연수 $$\left(a,b,c\right)$$를 찾는 것이다. 이를 만족하는 $$\left(3,4,5\right), \left(5,12,13\right), \left(7,24,25\right), \left(8,15,17\right), \left(6,8,10\right), \cdots$$ 같은 무한히 많은 쌍들은, 모두 $$\left(a, b, c\right) = k\left(m^2 - n^2 , 2mn, m^2 + n^2\right)$$ 또는 $$k\left(2mn, m^2 - n^2 , m^2 + n^2\right)$$의 형태로 나타낼 수 있다. 이런 식으로 변수가 정수인 다항방정식을 디오판토스 방정식(Diophantine equation)이라 부른다.
유명한 페르마의 마지막 정리 $$x^n + y^n = z^n$$도 디오판토스 방정식의 예라고 볼 수 있다. 하지만 페르마의 마지막 정리 문서를 보면 알겠지만, 이 경우의 정수해는 xyz가 0인 것을 제외하고는 존재하지 않는다. 이 문제는 대다수의 디오판토스 방정식은 보기와는 다르게 매우 어렵다는 것을 시사하기도 한다. 사실 실수의 방정식이라면 (차수나 양음의 조건만 만족시키면) 해가 존재하는 건 당연하지만, 이 경우에는 '정수가 되어야 한다'는 훨씬 까다로운 조건을 만족해야 하니...[3]
방정식의 유리수해를 찾는 것은 정수해를 찾는 것과 꽤 비슷하다. 예로 위의 피타고라스 정리 방정식의 경우 양변을 $$c^2$$ 로 나누고 $${a \over c} = x$$, $$ {b \over c} = y $$라 하면, 이는 원 $$x^2 + y^2 = 1$$ 위의 점 중 $$\left(x,y\right)$$가 유리수인 점을 찾는 문제가 된다.
2.2. 타원곡선
우선 타원곡선이 뭔지 알아야 한다. 타원곡선은 수학과 대학원의 대수기하학 수업에서 다루는 것 중 하나이다.
타원곡선(elliptic curve)은 일반적으로
$$E: y^2 = x^3 + Ax + B$$
꼴의 도형의 방정식을 나타낸다. 정수론에서 관심을 두는 것은 $$\left(x,y\right)$$가 유리수인 해, 즉 유리수점의 집합 $$E\left(Q\right)$$를 찾는 것이다.아래 두 단락은 대수학 중 군론, 특히 그 중에서도 유한생성 아벨군의 기본 정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)를 모르면 이해할 수 없는 내용이다.
타원곡선의 유리수점들은 해들을 '더할 수 있는' 특이한 구조를 가지고 있다. 곡선 위의 두 점 $$P$$와 $$Q$$를 더하는 방법은 대략 다음과 같다. $$P$$와 $$Q$$를 잇는 직선 $$l$$을 생각하고, $$l$$과 $$E$$의 다른 교점 $$R$$을 생각한다. 이제 $$R$$의 $$y$$좌표를 $$-$$로 바꾼 점 $$R'$$은 $$P+Q$$가 된다. 이 덧셈에 대해서 유리수점들은 가환군을 이룬다. 다시 말해 이 덧셈에 대해 교환법칙과 결합법칙이 성립하고, 0에 해당하는 점에 대해[4] 점들을 빼는 것도 가능하다는 것이다. 이 $$E\left(Q\right)$$의 군을 모델-베유 군(Mordell-Weil group)이라 하자.
이제 자연스럽게 떠오르는 질문은 $$E\left(Q\right)$$의 군의 구조에 대한 것이다. 모델-베유 정리(Mordell-Weil theorem)에 따르면 이 군은 유한생성(finitely generated)된다. 다시 말해 유한 개의 유리수점 $$P_1,P_2,\cdots,P_k$$ 가 있어서, 이들의 합으로 모든 점을 나타낼 수 있다. 이를 만족하는 최소개수의 점들 중, 반복해서 더해서 0이 되지 않는 점들의 개수를 타원곡선의 계수(rank)라고 한다. 이 계수를 $$r$$이라 한다면, 타원곡선의 모든 유리수점은 다음의 꼴로 (단 $$n_i\in\mathbb{Z}, P_{\text{torsion}}$$ 은 반복해서 더해서 0이 되는 점)
$$P = {n_1}P_1 + {n_2}P_2 + ... + {n_r}P_r + P_{\text{torsion}} $$
유일하게 나타낼 수 있다.분모, 분자가 모두 $$N$$ 이하인 유리수점의 개수가 증가하는 개형을 $$r$$로 표현할 수 있다.
지금까지의 내용을 이해할 수 없는 위키러들은 대신, 타원곡선의 계수에 대해서 다음처럼 간략화시켜서 기억하고 넘어가도록 하자:
'''계수는 타원곡선의 유리수점이 얼마나 많은지 나타나는 지표이다.'''
2.3. L-함수
본 단락을 이해하는 데에는 정수론 배경 지식이 필요하다.
디오판토스 방정식을 푸는 데에 중요한 접근 중 하나는, 방정식을 특정 정수로 나눈 나머지로 생각하는 것이다. 예를 들면 $$x^2 - 3y^2 = 2$$같은 방정식은 정수해가 존재하지 않는데, 이는 정수 $$x$$에 대해 $$x^2$$ 를 3으로 나눈 나머지는 0과 1밖에 없기 때문이다. 비슷하게 $$x^2 + y^2 = 103$$같은 경우도, $$x^2 + y^2$$을 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2밖에 가능하지 않으므로 정수해가 없다.
일반적으로 ($$x$$와 $$y$$에 대한 식) = 0 꼴의 디오판토스 방정식에 대해, ($$x$$와 $$y$$에 대한 식)이 정수 $$N$$으로 나누어 떨어지는 해가 있는지[5]의 조건을 국소적 조건이라 한다. 디오판토스 방정식이 해가 존재하려면 당연히 국소적 조건을 만족시켜야 하지만, 그 역이 성립하지는 않는다.
이제 하세-베유 $$L$$-함수(Hasse-Weil L-function), 간단히 L-함수라는 대상은, 임의의 방정식에 대해 국소적 조건의 조각들을 모두 모음으로 만들어진다. 즉 소수 $$p$$에 대해서 합동방정식
$$E_p : y^2 \equiv x^3 + Ax + B \left(\text{mod}\,p\right)$$ [6]
의 해의 개수[7]에 대한 적절한 식[8] 으로 정의하는데, 타원곡선의 경우 이 함수는$$L\left(E,s\right) = \prod_p \left(1- a_p p^{1-s} + p^{1-2s} \right)^{-1}$$
로 나타난다. 여기서 $$a_p$$ 는 $$p+1-\left(E_p\right.$$의 해의 개수$$\left.\right)$$.어찌 보면 이는 리만 가설에 나오는 리만 제타함수의 아날로그라 생각할 수 있다. 제타함수의 오일러곱을 생각하면 이는 소수 $$p$$에 대한 국소적 함수 $$\left(1 - p^{-s}\right)$$들의 모음이니까. 다만 소인수분해의 일의성에 의해 소수의 개수와 리만 제타함수가 바로 연결되는 상황과는 다르게, 타원곡선의 $$L$$-함수는 유리수점 $$E\left(Q\right)$$의 개수에 대한 정보를 줄 이유가 선험적으로는(a priori) 전혀 없다.
2.4. 문제의 내용
이제까지 나왔던 개념들을 정리해 보자. 타원곡선 E의 계수 r은 타원곡선의 유리수점의 군에 대응되는 양으로, 유리수점이 얼마나 많은지를 나타내는 지표이다. 한편 하세-베유 $$L$$-함수는 $$E$$의 국소적 조건들을 모두 모아 합친 양이다. 앞서 말하진 않았지만, 복소해석학의 이론에 따르면 $$L$$-함수에서 $$s = 1$$에서의 근의 차수는 특별한 의미를 가진다. 중간과정을 모두 생략하면, 이 근의 차수는 국소적 조건으로 유리수점이 얼마나 많은지를 어림하는 '추정치'라고 생각될 수 있다. 즉 버치와 스위너톤-다이어 추측은 결국
'''실제 유리수점이 얼마나 많은지는 국소적 조건의 정보로 계산한 추정치와 사실 일치한다.'''
라는 것을 말한다.
2.5. 수학자들이 생각하는 의미
버치와 스위너톤-다이어 추측의 의미는 디오판토스 방정식의 핵심적인 문제 중 하나인 해가 얼마나 있는지의 질문과 연관지을 수 있다. 만약 이 추측이 맞다면, 타원곡선의 해가 유한 개인지 무한 개인지 판정할 수 있다.[9] 왜 하필 타원곡선이 중요하냐 하면, 타원곡선의 해 판정이 곡선, 즉 $$f(x,y)=0$$꼴의 방정식 중에선 '''유일하게 풀리지 않은 문제'''이기 때문이다. 곡선의 차수가 1 또는 2인 경우에는[10] 풀이가 초등정수론에서 완벽히 해결되었고(1일때는 너무 쉽고, 2일때는 ax²-by²=c의 해집합이 펠 방정식 기법을 이용하면 찾아진다), 4차 이상의 곡선[11]의 경우에는 팔팅스의 정리에 의해 해가 유한 개밖에 없다는 사실이 증명되었다. 3차인 곡선들 중 해가 있는 것은 타원곡선과 대수적으로 동치이므로, 즉 해가 무한히 많은지 아닌지 유일하게 모르는 곡선이 타원곡선인 셈이다.
당장에 스위너톤-다이어가 본 추측을 생각한 동기도 $$E_p$$의 해의 개수인 $$N_p$$의 분포를 컴퓨터로 계산하며 나왔다고 하니,[12] 문제제기 자체가 비교적 실용적인 알고리즘 정수론 측면에서 이루어졌다고 볼 수도 있다. 물론 조금만 더 지나선 방정식에 대한 L-함수 이론이 체계화되면서 복잡한 이론이 끝없이 전개되어, 추측의 형태도 현재의 추상적인 형태에 이르게 된다. 하여튼 정수론 연구자들에겐 버치와 스위너톤-다이어 추측도 다른 밀레니엄 문제인 리만 가설만큼처럼 분야의 새 지평을 연 문제로 생각되곤 하지만...
이런 수학자들의 생각은 대부분 사람들에게는 와닿긴 힘들다. 비슷한 포지션의 문제인 리만 가설에 비해서 여기에 대해 다루는 교양서적들도 거의 없고 관심도 못 받고... 타원곡선 자체는 타원곡선 암호라던가 실용적인 역할이 조금씩 생겨나고 있긴 하지만, 본 추측 자체가 타원곡선 암호에 영향을 미치는 영향에 대해서는 현재로는 리만 가설의 경우보다도 훨씬 근거가 빈약하다. 물론 역사적으로 순수 수학에서의 발견은 많은 실용적 결과를 낳았으므로 미래는 모른다.
3. 기타
이 문제를 밀레니엄 문제로 선정한 사람은 '''페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드루 와일스 교수'''이다. 앤드루 와일스가 타원곡선을 전공했으니 그럴 만도 하다. 실제로 페르마의 마지막 정리 증명을 보면 첫 줄부터 '타원 곡선'과 '하세-베유 제타 함수' 같은 게 마구 튀어나온다.[13]
[1] Bryan '''Birch'''와 Peter '''Swinnerton-Dyer''' 두 사람이다. 하이픈(-)이 빠지면 안 되는 이유.[2] 실제 버치와 스위너톤-다이어 추측은 본문에 서술한 약한 추측과 강한 추측 두 파트로 구성되어 있다. 강한 추측은 약한 추측에서 더 나아가서 $$L(E,s)$$에서 $$s=1$$에서의 첫 번째 로랑 계수를 계산하는 식인데, 이 식을 쓰는데만 해도 대학원 이상 수준의 타원곡선의 온갖 개념이 필요하므로 여기서는 생략한다.[3] 한마디로 복소수, 실수로 가득 차 있는 해의 바다에서 그 수가 훨씬이라고 말하기도 부족한 숫자의 정수해를 찾아낸다는 것이 얼마나 어려운지 감이 안 잡힐 것이다.[4] 여기서는 (무한대, 무한대)의 가상의 점으로 생각.[5] 즉 방정식을 법 $$N$$에 대한 합동방정식으로 보았을 때 해가 있는지.[6] '$$\equiv$$'의 왼쪽과 오른쪽 식을 $$p$$로 나누었을 때 나머지가 같다는 소리이다. [7] 여기서 '해의 개수'라 함은 $$x$$나 $$y$$를 $$p$$로 나눈 나머지만을 생각하는 개념이다. $$x$$나 $$y$$가 모두 0에서 $$p-1$$ 일 때까지만 생각한다고 봐도 무방하다.[8] 보통은 모든 유한체(finite field) 위에서의 해의 개수를 모두 생각하고, 타원곡선의 경우에는 $$F_p$$ 의 경우를 계산하는 것만으로도 $$L$$-함수를 구하기 충분한 상황이다.[9] 만약 타원곡선의 해가 유한 개라면 타원곡선의 계수는 0이다. 추측이 맞다면 이는 $$L(E,1) \neq 0$$을 의미하므로, L-함수를 계산해서 0이 아님을 보이면 된다. 만약 무한 개라면 유한 번 더해서 0이 아닌 해를 찾을 수 있다는 소리이므로, 조사하면 언젠가 해가 나올 것이다.[10] 정확히 말하면 종수 0[11] 종수 2 이상[12] 극도로 단순화시켜 얘기하자면, 해가 많을수록 $$N_p$$가 커지는 경향이 있다. 위의 L-함수와 연관지어 생각한다면 $$N_p$$가 커지면 $$a_p=p+1-N_p$$가 작아지므로 $$L(E,1)=0$$이 될 가능성이 좀더 높아진다고 억지로 끌어다 얘기할 수도 있다.[13] 덧붙이자면, 타원곡선이나 하세-베유 제타함수는 이 논문 내에서 '''그나마 알아먹기 쉬운 수준''' 에 속한다...