유리함수

 



1. 개요
2.1. 일반형
2.2. 표준형
3. 그래프
3.1. 대칭이동·평행이동
5. 오개념: 연속성
7.1. 특수한 경우
7.2. 일반적인 경우
8. 기타


1. 개요

rational function · 有理函數
유리함수는 다항식을 다항식으로 나눈 유리식으로 정의되는 대수함수다. 상수만 있어도 다항식으로 볼 수 있으므로 다항식을 상수로 나눈 식으로 정의되는 다항함수도 유리함수에 속한다. 다항함수가 아닌 유리함수는 분수함수라고도 한다.

$$f(x)=\dfrac{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}}$$

분류

여기서 $$a_{k}$$, $$b_{k}$$는 상수이다.
유리함수의 분모가 0이 되는 $$x$$값이 존재할 수도 있는데, 그런 경우에 그 점은 정의역에서 빠진다. 그렇지 않으면 잘 정의되지 않아 함수가 아니게 되기 때문.
이 문서에서는 고등학교에서 다루는 (일차식)/(일차식)의 꼴을 주로 설명한다. 이 경우 다음과 같이 두 가지 꼴로 나타낼 수 있다.
  • 일반형: $$y=\dfrac{cx+d}{ax+b}$$ (단, $$a\neq 0,\;ax+b\neq 0,\;ad\neq bc$$)
  • 표준형: $$y=\dfrac{k}{x-p}+q$$ (단, $$k\neq 0,\;p\neq 0$$)
분모가 0이 될 수 없으므로 $$ax+b\neq 0,\;p\neq 0$$이어야 한다. 한편, $$k=0$$이면 $$y=q$$라는 상수함수가 되고, $$a=0$$이면 $$y={(cx+d)}/{b}$$라는 일차함수가 되고, $$ad=bc$$이면 분모와 분자가 약분되어 상수함수가 된다. 나아가, $$c=d=0$$인 경우 $$y=0$$이라는 상수함수가 되는데 이는 마침 $$ad=bc$$의 충분조건이므로 따로 기술할 필요가 없다.

2. 정의역과 치역


2.1. 일반형

유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 일반형의 경우 $$ax+b\neq 0$$이어야 하므로 정의역은

$$ \displaystyle \left\{\biggl. x \biggr|x \neq -\frac{b}{a},\,x \in \mathbb{R} \right \} $$

분류

를 만족시켜야 하고,

$$\begin{aligned} f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\cfrac {ad-\dfrac{bc}{a^2}}{x+\dfrac{b}{a}}+\dfrac{c}{a} \end{aligned}$$

분류

에서 $$ ad-(bc)/a^2\neq 0$$이므로 치역은 다음과 같다.

$$ \displaystyle \left\{ f(x) \biggl. \biggr|f(x) \neq \dfrac{c}{a},\,f(x) \in \mathbb{R} \right\} $$

분류


2.2. 표준형

유리함수의 분모는 0이 될 수 없으므로, 표준형의 경우 $$p\neq 0$$이어야 하므로 정의역은

$$ \displaystyle \{ x |x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \} $$

분류

를 만족시켜야 하고, $$k\neq 0$$이므로 치역은 다음과 같다.

$$ \displaystyle \{ f(x)|f(x) \neq q,\,f(x) \in \mathbb{R} \} $$

분류


3. 그래프

$$y=\dfrac{k}{x-p}+q$$ (단, $$k\neq 0,\;p\neq 0$$)

분류

의 그래프의 성질은 다음과 같다.
  • 한 쌍의 매끄러운 곡선[1]으로 그려진다.
    • $$k>0$$이면 우상단과 좌하단에 그려진다.
    • $$k<0$$이면 좌상단과 우하단에 그려진다.
  • 직선 $$x=p$$, $$y=q$$와 결코 만나지는 않으나 점점 가까워진다. 이 두 직선을 점근선이라 한다.
    • $$|k|$$가 작을수록 그래프가 점근선에 가까워진다.
  • 점 $$(p,\,q)$$에 대하여 대칭이다.
  • 직선 $$y=(x-p)+q$$에 대하여 대칭이다.
  • 직선 $$y=-(x-p)+q$$에 대하여 대칭이다.
[image]

3.1. 대칭이동·평행이동

$$y=\dfrac{k}{x-p}+q$$ (단, $$k\neq 0,\;p\neq 0$$)
[1] 실제로 회전변환을 통해 쌍곡선의 표준형 $$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\pm 1$$ 로 변형할 수 있다.

분류

의 그래프는 $$y={k}/{x}$$의 그래프를 $$x$$축 방향으로 $$p$$만큼, $$y$$축 방향으로 $$q$$만큼 평행이동한 것이므로 그 기본꼴 $$y={k}/{x}$$를 살펴볼 필요가 있다. 여기에서 다음 함수를 얻을 수 있다.
  • $$y=-\dfrac{k}{x}$$
    • $$y=\dfrac{k}{x}$$를 $$x$$축($$y$$축)에 대하여 대칭이동
    • 정의역은 $$ \displaystyle \{ x|x \neq 0,\,x \in \mathbb{R} \} $$
    • 치역은 $$ \displaystyle \{ y|y \neq 0,\,y \in \mathbb{R} \} $$
  • $$y=\dfrac{k}{x-p}+q$$
    • $$y=\dfrac{k}{x}$$를 $$x$$축 방향으로 $$p$$만큼, $$y$$축 방향으로 $$q$$만큼 평행이동
    • 정의역은 $$ \displaystyle \{ x|x \neq p,\,x \in \mathbb{R} \} $$
    • 치역은 $$ \displaystyle \{ y|y \neq q,\,y \in \mathbb{R} \} $$

3.1.1. 역함수

유리함수는 일대일대응이 아닌 경우가 대부분으로, 이 경우 역함수가 존재하지 않는다. 다만, (일차식)/(일차식) 형태에서는 역함수가 존재한다. 즉,

$$ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{cx+d}{ax+b} \quad \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{-bx+d}{ax-c} \quad (-bx+d\neq 0,\;ad\neq bc,\, a \neq 0) \\ f(x)&=\dfrac{k}{x-p}+q \quad \to \quad f^{-1}(x)=\dfrac{k}{x-q}+p \quad (x\neq q) \end{aligned} $$

분류

유리함수의 역함수와 원래 함수 사이에는, '''점근선의 교점이 직선 $$y=x$$에 대칭이라는 관계가 있다.''' 다시 말해서 원래 함수의 점근선이 $$x=p$$ 및 $$y=q$$이면, 역함수의 점근선은 $$x=q$$ 및 $$y=p$$이다. 이에 따라서 함수의 그래프 전체가 직선 $$y=x$$에 대하여 대칭이 된다.

3.2. 점근선

$$y=\dfrac{k}{x-p}+q$$ (단, $$k\neq 0,\;p\neq 0$$)

분류

의 점근선 $$x=p$$와 $$y=q$$의 보다 자세한 성질은 다음과 같다.
  • 두 점근선의 교점 $$(p,\,q)$$에 대하여
    • $$(p,\,q)$$를 지나면서 기울기의 절댓값이 1인 두 직선 중, $$k$$와 기울기의 부호가 같은 직선과 유리함수의 그래프의 교점에서의 접선의 기울기의 절댓값은 항상 1이다. $$k>0$$이면 -1이고 $$k<0$$이면 1이다.
    • 한 쌍의 곡선 중 하나의 곡선 위의 점 중 해당 직선에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점에서의 접선의 기울기의 곱은 1이다.
위의 유리함수와 이 함수의 그래프의 점근선의 교점을 지나면서 기울기가 1인 직선 $$l: y=(x-p)+q$$에 대하여

$$\begin{aligned}\dfrac{k}{x-p}+q&=(x-p)+q\\\dfrac{k}{x-p}&=x-p\\k&=(x-p)^2\\\therefore x&=\sqrt k+p\end{aligned}$$

분류

두 그래프의 교점의 $$x$$좌표 $$x=\sqrt k+p$$를 도함수 문단을 참고하여

$$f'(x)=-\dfrac{k}{(x-p)^2}$$

분류

에 대입하면

$$-\dfrac{k}{(\sqrt k+p-p)^2}=-\dfrac{k}{k}=-1$$

분류

따라서 $$k>0$$이면 $$f(x)$$와 $$l$$의 교점의 접선의 기울기는 -1이다. 같은 방법으로, $$k<0$$이면 교점의 접선의 기울기가 1임을 증명할 수 있다.

3.2.1. 극한

$$f(x)=\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{k}{x-p}+q$$

분류

의 극한은 점근선과 관련이 있다.
  • 일반형
    • $$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{cx+d}{ax+b}=\dfrac{c}{a}$$
    • 그래프가 $$x$$축 방향으로 진행하면 점근선 $$y=\dfrac{c}{a}$$에 한없이 가까워짐
  • 표준형
    • $$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{k}{x-p}+q=q$$
    • 그래프가 $$x$$축 방향으로 진행하면 점근선 $$y=q$$에 한없이 가까워짐
한편, 역함수 $$f^{-1}(x)$$의 극한은 다음과 같이 해석할 수 있다.
  • 일반형
    • $$\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-by+d}{ay-c}=-\dfrac{b}{a}$$
    • 그래프가 $$y$$축 방향으로 진행하면 점근선 $$x=-\dfrac{b}{a}$$에 한없이 가까워짐
  • 표준형
    • $$\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}f^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{k}{y-q}+p=p$$
    • 그래프가 $$y$$축 방향으로 진행하면 점근선 $$x=p$$에 한없이 가까워짐

4. 부분분수분해

유리함수는 다음을 만족하는 유리함수 $$ p(x)/\{q(x)\}^{n}$$들과 다항함수의 유한합 꼴로 나타낼 수 있다.
  • $$ q(x)$$는 일차함수이거나, 기약[2] 이차함수이다.
  • $$ p(x)$$의 차수는 $$ q(x)$$의 차수보다 작다.


5. 오개념: 연속성

많은 학생들이 가지고 있는 오개념으로는, '분모가 [math(0)]인 $$ x$$가 존재하는 유리함수는 실수 위에서 불연속이다'가 있다. 그러나, 그런 유리함수를 실수 위에서 정의하면, 함수 자체가 될 수 없으므로, 분모가 [math(0)]인 $$ x$$를 고려할 필요가 없다. 다른 초등함수와 마찬가지로, 유리함수는 항상 연속함수이다.[3]

6. 도함수

[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x) ]^2})]
이므로, 일반형의 경우 $$f(x)=cx+d,\, g(x)=ax+b$$라고 하면
$$\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{cx+d}{ax+b} = \dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}$$
표준형의 경우 $$f(x)=k,\,g(x)=x-p$$라고 하면 $$q$$는 상수이므로
$$\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}h(x)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\dfrac{k}{x-p}+q\right)=\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{k}{x-p}=-\dfrac{k}{(x-p)^2}$$
[2] 인수분해가 되지 않는[3] 학교 선생님들도 간혹 잘못 알고 있는 경우가 있는데, 고등학교 교육과정 상, 극한과 연속의 정의를 두루뭉술하게 하고 넘어가므로, 이를 가지고 싸울 필요가 없다. 고등학생들의 연속함수에 대한 오개념에 대해서는 논문을 참조하자.

분류

여기에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.
  • 일반형
    • $$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{(ax+b)^2}=0$$
    • 그래프가 $$x$$축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴
  • 표준형
    • $$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(x-p)^2}=0$$
    • 그래프가 $$x$$축 방향으로 진행하면 기울기가 0에 수렴
나아가 역함수의 도함수에 극한을 취하면 다음과 같이 해석할 수 있다.
  • 일반형
    • $$\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}\dfrac{-b(ay-c)+a(by-d)}{(ay-2)^2}=0$$
    • 그래프가 $$y$$축 방향으로 진행하면 기울기가 $$\infty$$로 발산[4]
  • 표준형
    • $$\displaystyle\lim_{y\to\pm\infty}h^{-1}(y)=\lim_{y\to\pm\infty}-\dfrac{k}{(y-q)^2}=0$$
    • 그래프가 $$y$$축 방향으로 진행하면 기울기가 $$\infty$$로 발산[5]

7. 역도함수

다음과 같이 조각적으로 정의된 함수를 생각해보자.
$$f(x)=\begin{cases}\ln x +C& \quad (x>0)\\ \ln\, (-x)+D &\quad(x<0) \end{cases}$$
이때, $$f$$의 도함수는 $$f'(x)=x^{-1}$$로 계산된다. 즉, 분모가 [math(0)]인 [math(x)]가 존재하는 유리함수의 경우, 부정적분이 조각적으로 정의되는 함수가 되는데, 정의역이 서로소인 두 개 이상의 열린구간의 합집합이기 때문이다.[6] 정의역을 열린구간으로 한정한 경우, 위 표현을 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle \int \frac{1}{x}\,{\rm d}x=\ln{|x|}+ {\sf const.}$$

7.1. 특수한 경우

  • $$ \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x+a)^{n+1}}=-\dfrac{1}{n(x+a)^{n}}+C\quad (n\in\mathbb{N})$$
  • $$ \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x+a}=\ln |x+a|+C$$
  • $$ \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{|x|}= {\rm sgn}\,x \ln |x| + C$$[7]
  • [math(\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = \arctan x + C)]
    • $$ \displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{x^2+a^2}= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$
    • $$\displaystyle \int \frac{x^2 -1}{x^2 +1}{\rm d}x = x - 2\arctan x + C$$
  • [math(\displaystyle \int -\frac{{\rm d}x}{x^2 +1} = {\rm arccot}\, x + C)]
  • ]
    • $$\displaystyle \int \frac{{\rm d}x}{\mp x^2 \pm a^2} = \begin{cases}\pm \dfrac{1}{a}{\rm arcoth}\,\dfrac{x}{a} +C& \quad (|x|>1)\\ \\ \pm \dfrac{1}{a}{\rm artanh}\,\dfrac{x}{a}+C&\quad (|x|<1) \end{cases}$$
    • $$\displaystyle \int \frac{-x^2 -1}{-x^2 +1}{\rm d}x = \begin{cases}{x - 2\,\rm arcoth}\,x +C&\quad (|x|>1)\\ x-2\,{\rm artanh}\,x+C&\quad (|x|<1) \end{cases}$$
  • $$ \displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}{\rm d}x=\ln |f(x)|+C$$ (단, $$f(x)$$는 다항식)
  • $$ A_{n}=\displaystyle\int\dfrac{{\rm d}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}$$이면, 점화식 $$ A_{n+1}=\dfrac{1}{2na^{2}}\left\{\dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}+(2n-1)A_{n}\right\}$$이 성립한다. (단, $$ n\in\mathbb{N}$$이고, $$ a\neq 0$$)
(단, $$C$$는 적분 상수이다.)

7.2. 일반적인 경우

주어진 유리함수가 특수한 경우에 해당하지 않는 경우에, 우선 부분분수분해를 한다. 그러면, 다음과 같은 유리식 꼴의 선형결합의 형태로 바꿔 쓸 수 있다.(단, $$ n\in\mathbb{N}$$, $$ b\neq 0$$)
  1. 다항함수
  2. $$ \dfrac{1}{(x-a)^{n}}$$
  3. $$ \dfrac{x-a}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}}$$
  4. $$ \dfrac{1}{\{(x-a)^{2}+b^{2}\}^{n}}$$
1, 2, 3의 경우는 쉽게 적분 가능하고, 4의 경우는 위의 특수한 경우에서 $$ A_{n}$$의 점화식을 이용하여 구할 수 있다. 부정적분의 선형성을 이용하여, 각각의 부정적분을 구한 후 다시 더하면 된다.

8. 기타

  • 중학교 수학에서 정비례와 반비례를 다루면서 처음 접하게 된다.
  • 고등학교 교육과정상 수학의 5단원 '함수' 단원에서 다루는데, 이때는 위 식과 같이 다항식을 일차식으로 나눈 유리식으로 정의되는 유리함수만을 다룬다. 고등학교 미적분에서는 몫의 미분법을 다루고 있어 모든 유리함수를 미분하는 법을 배운다.
  • 미분은 간단하게 계산할 수 있는 반면[8], 적분은 사정이 좀 다른데, 엄청난 계산 노가다가 동반되는 경우가 있다. 그래도 다행인건 다른 초등함수[9]와는 다르게, 부정적분이 항상 초등함수의 형태이다. 따라서 울프램알파 등의 계산 프로그램에서 적분을 계산할 때, 그냥 때려맞춰서 푸는 것이 아니라, 알고리즘을 이용해서 계산한다.
  • 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수이다.
  • 푸리에 변환을 하면 부호 함수를 얻을 수 있다.
[4] $$y$$축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 $$x$$축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.[5] $$y$$축을 기준으로 놓을 때 극한이 0이라면 $$x$$축을 기준으로 놓으면 극한이 무한대가 되는 셈이다.[6] 하지만, 정의역 전체에서 생각해야하는 경우가 거의 없으므로 대부분 신경 안 쓰는 편. 부정적분을 활용하는 대표적인 예로는, 정적분을 계산하는 것인데, 이 경우에도 정의역에 포함되는 닫힌구간에서만 생각하는 것이다.[7] $${\rm sgn}$$은 부호 함수이다.[8] 몫의 미분법은 계산이 약간 더럽긴 하지만, 로그를 씌워서 미분하는 방법으로 지저분한 계산을 피해갈수도 있다.[9] 가령, 무리함수의 일부 꼴은 타원적분을 이용해서 역도함수를 표현해야 한다.


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