극값

 



1. 개요
2. 오개념
3. 활용
4. 고교 교육과정의 변천
5. 여러 함수의 그래프의 극값
6. 기타


1. 개요

'''극댓값'''(local maximum)과 '''극솟값'''(local minimum)을 통틀어 '''극값'''(local extremum)이라고 하며, '''극대점'''(local maximum point)과 '''극소점'''(local maximum point)을 통틀어 '''극점'''(local extremum point)이라고 한다. 'local'이라는 영단어는 '부분적', '국소적'이라는 뜻이다. 다시 말해서 함수의 그래프의 전체가 아닌 임의의 부분만을 놓고 대소를 비교했을 때 가장 함숫값이 크면 극대, 가장 작으면 극소라고 하는 것이다. 반면 함수의 그래프 전체를 놓고 대소를 비교하는 개념은 '''최댓값'''(global maximum), '''최솟값'''(global minimum)이다. 'global'이라는 영단어는 '전체적'이라는 뜻이다. 이 개념들의 정의는 다음과 같다.
* 위상 공간 $$X$$와 함수 $$f(x)$$에 대하여
* $$x\in X$$의 근방#s-2 $$x\in U\subseteq X$$가 임의의 $$y\in U$$에 대하여
* $$f(y)\leq f(x)$$이면 $$x$$는 $$f$$의 극대점, $$f(x)$$는 $$f$$의 극댓값
* $$f(y)\geq f(x)$$이면 $$x$$는 $$f$$의 극소점, $$f(x)$$는 $$f$$의 극솟값
* $$x\in X$$가 임의의 $$y\in X$$에 대하여
* $$f(y)\leq f(x)$$이면 $$x$$는 $$f$$의 최대점, $$f(x)$$는 $$f$$의 최댓값
* $$f(y)\geq f(x)$$이면 $$x$$는 $$f$$의 최소점, $$f(x)$$는 $$f$$의 최솟값
다른 말로는, 극대가 되는 점을 극대점, 극소가 되는 점을 극소점, 최대가 되는 점을 최대점, 최소가 되는 점을 최소점이라고 한다. 이 정의에 따르면 최대점은 극대점이며, 최소점은 극소점이다. 역은 성립하지 않는다. 최대점, 최소점, 극대점, 극소점은 모두 존재할 필요가 없다. 극대점과 극소점은 여럿이 존재할 수 있는 반면 최대점과 최소점은 여럿이 존재할 수 없다. 불연속점이나 그래프의 양 끝점을 제외하면 기하학적으로 극대점은 위로 우뚝 솟은 모양이고 극소점은 아래로 움푹 꺼진 모양이다.

2. 오개념

고교 교육과정에서 다항함수를 많이 다루고, 자연스럽게 극값의 개념도 다항함수에서 가장 많이 언급되기 때문에 학생들은 극값을 '미분계수가 0이 되는 지점의 함숫값' 정도로 오해하곤 한다.[1] 다항함수의 극값은 죄다 그렇기 때문이다. 이 오개념은 결국, '어떤 점이 극점이 되려면 그 점에서 미분가능해야 하며, 따라서 연속이어야 한다'라는 전제를 내포한다. 그러나 이것들은 극값의 정의에 비추어 보면 모두 틀린 생각으로, 다음과 같이 첨점(미분불가능점), 불연속점, 그래프의 양 끝점도 얼마든지 극점이 될 수 있다. 비록 고등학교에서는 상술한 대학 수준의 정의 대신 후술할 더욱 쉬운 정의를 사용하지만, 결국 맥락은 같다.
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]
$$x=0$$을 포함하면서 $$(0,\,0)$$을 제외하면 $$(0,\,0)$$보다 함숫값이 크거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 $$(0,\,0)$$은 극소점이다.[2]
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$$f(x) = |x| + {\bold 1}_{\{0\}}(x)$$[3][4]
$$x=0$$을 포함하면서 $$(0,\,1)$$을 제외하면 $$(0,\,1)$$보다 함숫값이 작거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 $$(0,\,1)$$은 극대점이다.
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[math(f(x)= x - \lfloor x \rfloor)] $$(0 \leq x < 2) $$[5]
$$x=1$$을 포함하면서 $$(1,\,0)$$을 제외하면 $$(1,\,0)$$보다 함숫값이 크거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 $$(1,\,0)$$은 극소점이다.
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$$f(x)= x^3 - x \; (|x| \leq 1)$$
$$x=-1$$을 포함하면서 $$(-1,\,0)$$을 제외하면 $$(-1,\,0)$$보다 함숫값이 크거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 $$(-1,\,0)$$은 극소점이다. 반대로, $$x=1$$을 포함하면서 $$(1,\,0)$$을 제외하면 $$(1,\,0)$$보다 함숫값이 작거나 같은 점밖에 없는 열린 구간이 존재하므로 $$(1,\,0)$$은 극대점이다.
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$$f(x) = 1$$
상수함수는 함숫값이 일정하므로, 위와 같이 직선으로 나타나는 상수함수의 그래프 위의 모든 점은 극대점이자 극소점이자 최대점이자 최소점이다. 따라서 상수함수는 극값을 갖는 점($$x$$값)이 무수히 많이 존재한다. 다만 그 무수히 많은 점들의 '극값' 자체는 동일한 함숫값이 되므로 '극값'은 오직 하나이며, 위 그래프에서는 1이 유일한 극값이 된다. 만약 정의역이 단 하나의 수이면 그래프는 하나의 점으로 나타나므로 극점은 오직 하나이다.

3. 활용

  • 함수 $$f(x)$$가 $$x=a$$에서 미분가능하고 극값 $$M$$을 가지면, $$f'(a)=0$$이고 $$f(a)=M$$이다. 그러나 $$f'(a)=0$$이라고 해서 $$f(a)$$가 극값인 것은 아니다. $$y=x^3$$의 그래프 위의 점 $$(0,\,0)$$이 대표적인 예이다.
  • 실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수가 극값을 가지면 일대일대응이 아니다. 역도 성립한다.

4. 고교 교육과정의 변천

고등학교에서는 2009 개정 교육과정에서 수정된 극값의 정의를 지금까지 가르치고 있는데, 먼저 이전 2007 개정 교육과정의 극값의 정의는 다음과 같았다.
* 함수 $$f(x)$$가 $$x=a$$를 경계로 증감 상태가 바뀌면 $$f(a)$$는 극값
* 증가에서 감소로 바뀌면 $$f(x)$$는 $$x=a$$에서 극대, $$f(a)$$는 극댓값
* 감소에서 증가로 바뀌면 $$f(x)$$는 $$x=a$$에서 극소, $$f(a)$$는 극솟값
이 정의는 직관적인 이해를 도우려는 의도는 좋았으나, 다음과 같은 모순을 낳기 때문에 현재의 정의로 수정되었다. 다음 정리와 그래프를 보자.
* 닫힌 구간 $$[a,\,b]$$에서 $$f(x)$$의 극값과 구간의 양 끝점의 함숫값($$f(a)$$와 $$f(b)$$) 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

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[함수식]
[1] 상당히 미흡한 설명인데, 심지어 미분계수가 0이지만 극값이 아닌 경우도 존재하므로 더욱 문제가 심하다. $$y=x^3$$의 $$(0,\,0)$$이 대표적인 예.[2] 이 특징을 극대화한 함수 중 하나가 바이어슈트라스 함수인데, '''모든 점이 첨점이면서 모든 점에서 연속이다.'''[3] $${\bold 1}_{\{0\}}(x)$$는 $$x \in \{0\}$$일 경우에만 함숫값이 1이고 나머지 경우에는 함숫값이 0인 집합 판별 함수이다.[4] 중등 교육과정에서는 집합 판별 함수를 가르치지 않기 때문에 아래의 조각적 정의가 더 익숙할 것이다.
$$f(x) = \begin{cases} 1 & (x =0) \\ |x| & (x \neq 0) \end{cases}$$[5] $$\lfloor x \rfloor$$는 최대 정수 함수이다. 입말로 '바닥 함수', '가우스 기호(함수)'라고 불리는 그 함수다.[함수식] $$f(x)=\begin{cases}\begin{aligned}&-x+2\quad & (0\leq x<1)\\&1\quad & (1\leq x<2)\\&2x-3\quad & (2\leq x<3)\\&3\quad & (3\leq x<4)\\&-x+7\quad & (4\leq x\leq 5)\end{aligned}\end{cases}$$

분류

극값을 증감 상태의 변화로 정의하면 위 그래프는 닫힌 구간 $$[0,\,5]$$에서 극값을 갖지 않는다. 왜냐하면 증감 상태가 바뀌는 그 경계는 정의에 따르면 $$x=a$$, 곧 '한 점'이 되어야 하는데 그래프에 그런 '한 점'은 없기 때문이다.[6] 여기에서 위의 정리를 사용하면, 위 그래프의 최댓값과 최솟값은 $$f(0)=f(5)=2$$가 되어야만 한다. 왜냐하면 이 그래프가 닫힌 구간 $$[0,\,5]$$에서 극값을 갖지 않는다고 했으므로 이 구간의 최댓값과 최솟값은 결국 구간의 양 끝점에서 찾아야 하기 때문이다. 그런데 위 그래프의 최댓값과 최솟값은 같으므로 이 함수는 상수함수라는 이상한 결론이 나오고 만다. 이 문제를 극복하기 위하여 2009 개정 교육과정부터는 대학 수학의 정의를 쉽게 개량한 다음의 정의를 쓰게 되었다.
* 함수 $$f(x)$$에 대하여 $$x=a$$를 포함하는 어떤 열린 구간에서
* $$f(x)\leq f(a)$$이면 $$f(x)$$는 $$x=a$$에서 극대, $$f(a)$$는 극댓값, $$(a,\,f(a))$$는 극대점
* $$f(x)\geq f(a)$$이면 $$f(x)$$는 $$x=a$$에서 극소, $$f(a)$$는 극솟값, $$(a,\,f(a))$$는 극소점
이렇게 정의하면 위 그래프의 극솟값은 1이고 극댓값은 3이 되어, 닫힌 구간 $$[0,\,5]$$에서 1(극솟값), 3(극댓값), 2(맨 왼쪽 점), 2(맨 오른쪽 점) 중 가장 큰 3이 최댓값이 되고 가장 작은 1이 최솟값이 되므로 아무 문제가 없다. 비록 변경 이전의 정의에 비해 직관성이 떨어지고 이해하기 어렵다는 단점이 있으나, 오개념이나 모순이 발생하지 않는 선에서 정의하는 것이 더욱 중요하므로 이렇게 변경되었다.

5. 여러 함수의 그래프의 극값

  • 상수함수
    • 앞서 밝혔듯이 그래프가 직선이면 무수히 많은 극점을 가지고, 한 점이면 극점이 하나이다. 그러나 상수함수의 함숫값은 일정하므로 두 경우 모두 극값은 하나이다.
  • 일차함수
    • 다항함수를 차수로 분류할 경우, 유일하게 모든 경우에서 극값을 갖지 않는다. 모든 일차함수의 그래프는 일대일대응이기 때문이다.
  • 이차함수
    • 꼭짓점에서 유일한 극값을 갖는다. 최고차항의 계수가 양이면 극솟값, 음이면 극댓값이다.
  • 삼차함수
    • 극값을 갖는다면 극댓값과 극솟값을 하나씩 갖는다. 도함수의 판별식에 따라 극값의 유무가 결정되는데, 이는 일대일대응 여부와도 관련이 있다. 삼차함수#s-4.1.7 참고.
  • 사차함수
    • 개형에 따라 극값의 개수가 다른데, 1 또는 3이다. 개형의 종류는 사차함수 참고.
  • 정규분포 함수, 혹 함수
    • 중앙값이 극댓값이다.
  • 사인 곡선
    • 주기함수이므로 극댓값과 극솟값이 번갈아 무한히 나온다.
  • 삼각 적분 함수
    • $${\rm Si}(x)$$는 $$x=\pm\pi$$에서 극댓값과 극솟값을, $${\rm Ci}(x)$$는 실수 범위 한정으로 $$x=\pi/2$$ 에서 극댓값을 갖는다. 한편 $${\rm Si}(x)$$의 극댓값은 따로 윌브레이엄-기브스 상수라는 이름이 붙어 있다.
  • 프레넬 적분 함수
    • $$S(x)$$는 $$x=\pm\sqrt2$$에서, $$C(x)$$는 $$x=\pm1$$에서 극댓값과 극솟값을 갖는다.
  • 리만 제타 함수
  • 람베르트 $$W$$ 함수
    • $$x=-1/e$$에서 $$-1$$의 극점을 갖는다.
  • 부호 함수
    • 0의 극점을 갖는다.
  • 헤비사이드 계단 함수
    • $$1/2$$의 극점을 갖는다.
  • 최대 정수 함수, 최소 정수 함수
    • 정수 극값을 갖는다.
  • 소수 계량 함수
    • 소수에서 극값을 갖는다.
  • 집합 판별 함수
    • 정의역이 해당하는 집합에 속하면 극댓값 1, 그렇지 않으면 극솟값 0을 갖는다.
  • 바이어슈트라스 함수
    • 위 각주에서 서술했듯, 모든 점이 극점이면서 유일하지 않은 값을 가지며, 모든 극점에서 연속이다.
  • 칸토어 함수
    • 연속 계단 함수라 양 끝점인 0, 1이 극점이다.
  • 무한 지수 탑 함수
    • 실수 범위 내에서 극솟값 0, 극댓값 [math(e)]를 갖는다.
  • 디랙 델타 함수
    • $$x=0$$[특이점]을 제외한 모든 점에서 극값 0을 갖는다.


6. 기타

'극댓값', '극솟값', '최댓값', '최솟값'은 각각 '극대(極大)', '극소(極小)', '최대(最大)', '최소(最小)'라는 한자어와 '값'이라는 순우리말을 합성한 단어이고 뒤 단어 '값'의 첫소리 'ㄱ'이 된소리로 나므로 사이시옷#s-1을 넣는다. 그러나 '극대점(極大點)', '극소점(極小點)', '최대점(最大點), '최소점(最小點)'은 한자어와 한자어의 결합이므로 사이시옷#s-1을 넣지 않는다.
[6] 위에서 설명할 때 두 가지 경우만으로 분류한 것에서 짐작할 수 있듯이, '증감 상태'에는 '증가'와 '감소'밖에 없으며, '증가도 감소도 아닌 상태'는 생각하지 않는다.[특이점] 함숫값이 발산하는 곳이다.

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