시계 산술
1. 개요
Clock arithmetic · 時計 算術, 時計 代數學
정수[1]의 집합이 유한하다고 간주하는 산술. '시계 대수학'이라고도 한다. 대개 '$$n$$시(時) 산술', '$$n$$시 대수학', '$$n$$진 정수' 등으로 불린다. 기호로는 $$({\mathbb Z}_{n},\,+,\,\cdot)$$으로 표기한다.
2. 상세
예를 들어 '5시 대수학'에서는 정수가 0, 1, 2, 3, 4밖에 없고, 이 다섯 개의 수가 반복된다. 즉 4 다음에는 0이 오는 식. 따라서 이런 체계에서는
따라서, 5시 대수학에서는 2+4=1, 4×4=1 이런 식으로 된다.
이는 나머지와도 연관이 있다. 한마디로 어떤 수를 5로 나누었을 때 나머지가 다름 아닌 '5시 대수학'에서의 값이 된다.
시계 산술이 적용되는 정수 체를 유한체라고 한다. 위의 5시 대수학에서는 [math((a+b)^5 = a^5+b^5)]이 성립하는 말도 안되는 결과를 낼 수 있다.[2] 나눗셈 또한 이질적인데 확장된 유클리드 호제법을 이용한다.
합동식과도 연관이 있다. 합동식 문서 참고.
일반각도 같은 맥락이라고 볼 수 있다. 한 바퀴를 돌 때마다 각이 반복되기 때문.[3]
컴퓨터에서는 오버플로#s-2를 통해 자못 자주 접할 수 있다. 가령 32비트 정수형인 경우 $$2^{31} - 1$$ 다음의 수가 $$-2^{31}$$이 나오는 식.
[1] 다른 수 체계를 이용해서도 만들 수 있으나, 시계 산술이 수학적으로 가치있는 것은 정수이므로 보통 정수로 생각한다.[2] [math(p \in {\mathbb P})]인 $$p$$시 대수학에서 모두 성립하는 성질이다. 저 $$p$$를 해당 체의 표수(characteristic)라고 한다.[3] 사실 이 설명은 앞뒤가 바뀌었다고 볼 수 있는데, 일반각의 [math({\rm mod}\,2\pi)]를 지구의 자전주기의 절반에 대응시켜 만든 것이 시계이기 때문이다.