신발끈 공식
1. 개요
shoelace formula
좌표평면 상 점의 좌표를 이용하여 볼록 및 오목 다각형의 넓이를 계산하는 공식으로, $$n$$각형의 각 꼭짓점을 시계 반대 방향 순서대로 $${\rm P_{1}}(x_{1},\,y_{1})$$, $${\rm P_{2}}(x_{2},\,y_{2})$$, $${\rm P_{3}}(x_{3},\,y_{3})$$, $$\cdots$$, $${\rm P}_{n}(x_{n},\,y_{n})$$이라 할 때, 그 넓이는 아래와 같다.
$$\displaystyle \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_{1}~ &x_{2}~ &x_{3}~&\cdots~&x_{n}~&x_{1} \\ y_{1}~ &y_{2}~ &y_{3}~&\cdots~&y_{n}~&y_{1} \end{vmatrix} $$
2. 계산법
[image]
위 그림과 같이 한 적색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합에서 한 청색 화살표가 지나는 원소들의 곱의 합을 빼어 절댓값을 취하면 된다. 즉,
어디선가 많이 본 형태라면 정답이다. 이 식은 다름아닌 '''외적'''[1]으로, $$x_{1}$$, $$x_{2}$$, $$\cdots$$를 벡터 $$\bold x$$로, $$y_{1}$$, $$y_{2}$$, $$\cdots$$를 벡터 $$\bold y$$로 합치면 아래와 같이 된다.[2]
$$\dfrac{1}{2}|{\bold x}\times{\bold y} |$$
[1] Outer product($$\otimes$$)가 아닌 Cross product($$\times$$)임에 주의. 이는 Outer product와 Cross product를 똑같이 '외적'으로 옮겼기 때문.[2] 이 문서에서는 일반론적인 벡터는 볼드체($$\bold x$$), 기하학적인 의미로 쓰인 벡터는 화살표($$\overrightarrow{\rm AB}$$)로 표기한다.
3. 주의점
- 각 변이 교차하는 다각형의 경우에는 사용할 수 없다.
- 한 점을 $${\rm P_{1}}$$으로 잡고, 해당 점부터 시계 방향 또는 반시계 방향으로 $${\rm P_{2}}$$, $${\rm P_{3}}$$, $$\cdots$$, $${\rm P}_{n}$$을 정해주어야 한다. 아래의 그림은 육각형을 예로 든 것이다.
4. 유도
우선 이 공식을 유도하기 전 꼭짓점이 $${\rm A}(x_{1},\,y_{1})$$, $${\rm B}(x_{2},\,y_{2})$$, $${\rm C}(x_{3},\,y_{3})$$인 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 고찰해볼 필요가 있다. $${\rm A}(x_{1},\,y_{1})$$를 시점으로 하는 두 벡터 $$\overrightarrow{\rm AB}$$, $$\overrightarrow{\rm AC}$$의 외적의 크기의 절반이 해당 삼각형의 넓이가 된다. 즉,
$$\displaystyle \triangle {\rm ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\rm AB} \times \overrightarrow{\rm AC} | $$
위의 정보를 이용하여 다각형 $${\rm P}_{1}{\rm P}_{2}{\rm P}_{3} \cdots {\rm P}_{n}$$의 넓이 $$S$$는 육각형을 예시로 든 위 그림과 같이 점 $$\rm P_{1}$$을 기준으로 잡아 해당 다각형을 삼각형 $${\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k} \, (k \geq 3, \,k \in \mathbb{Z})$$으로 모두 분할한 후 해당 삼각형의 넓이를 모두 합한 값이다. 다만, 분할된 영역의 넓이는 전체 넓이에 대하여 양의 기여를 하기도 하고, 음의 기여(위 그림에서 $$\triangle \rm{P_{1}P_{3}P_{4}}$$)를 하기도 한다. 따라서 분할된 영역의 넓이를 구할 때는 절댓값을 취하지 않는다. 즉,
$$\displaystyle [\triangle {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}{\rm P}_{k}]=\frac{1}{2}\overrightarrow{ {\rm P_{1}}{\rm P}_{k-1}} \times \overrightarrow{{\rm P_{1}}{\rm P}_{k}} $$
5. 변형 공식
5.1. 사루스 법칙
rule of Sarrus
위 공식을 $$3 \times 3$$ 행렬에 적용한 것으로, $$3 \times 3$$ 행렬의 1, 2열을 그대로 4, 5열에 각각 써서 $$5 \times 3$$ 행렬로 변형한 뒤[3] 신발끈 공식을 적용한 것이다. 차이점은 일직선상의 세 개의 성분을 연달아서 이어야 한다는 점과 실수배를 하지 않는다는 점, 결괏값의 부호는 그대로 놔둔다는 점(절댓값을 취하지 않음), 그리고 2행의 양 끝 성분은 버려지는 점이 있다. $$3 \times 3$$ 행렬이 아닐 경우 성립하지 않기 때문에 선형대수학에서는 사도 취급하지만[4], $$3 \times 3$$ 행렬의 행렬식을 구하는 데 이것만큼 유용한 도구가 없다.
대표적인 사용례로 벡터장의 회전이 있다. 이는 아래와 같이 계산할 수 있다.
$$ \boldsymbol{\nabla} \times \bold{a} = \begin{vmatrix} \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} & \hat{\bold{z}} & \hat{\bold{x}} & \hat{\bold{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} & \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\ a_x & a_y & a_z & a_x & a_y \end{vmatrix}$$
6. 기타
- 공식을 계산할 때 나오는 특별한 방법이 마치 신발끈을 묶는 것과 같아 '신발끈 공식'이라 부르며, '사선 공식'이라고도 한다.
- 고등학교 수학에서 잘 써먹게 되는 공식이다.