약분

 

1. 개요
2. 방법
3. 예시
4. 특정한 경우의 약분
5. 관련 문서

約分 / Reduction[1]

1. 개요

수학에서 분수의 분자와 분모를 그의 공약수로 나눠서 간단하게 하는 문제 또는 일.

수학에서는 분수가 약분이 가능하다면 거의 반드시 약분해야 한다. 일부 학교에서는 약분을 안하면 아예 오답 처리하거나 감점시키는 경우도 있다. 아무래도 분수의 분자와 분모가 크면 지저분해 보이기도 하며, 값이 같은 다른 분수와의 혼돈을 야기할 수 있기 때문이다. 단, 약분이라고 해서 분자와 분모를 서로소로 바꾸기만 하는 건 아니고 백분율 등으로 변환하기 위하여 분모를 특정한 수로 설정해야 하는 등의 예외적인 경우는 있으며, 실제로 법률 조항에서도 '2분의 1' 대신 '100분의 50'과 같은 표현을 쓰고 있다.

통분처럼 약분을 하는 작업은 꽤 귀찮다. 하지만 그렇다고 해서 안 할 수도 없고 아주 미칠 노릇.

가끔 가분수를 대분수로 만드는 작업을 '약분'이라 하는 사람도 보인다. 하지만 이는 엄연히 잘못된 표현이다. 약분은 분모와 분자를 그의 공약수로 나누는 일이기 때문.


2. 방법

분수의 분자와 분모의 공약수로 나눈다. 기약분수가 되어 더 이상 약분을 할 수 없을 때까지, 즉 분자와 분모가 서로소가 될 때까지 이 과정을 반복한다. 이때 분자와 분모를 소인수분해한 후 공통인수(최대공약수 등)를 찾아 제거하면 편하다. 분자와 분모가 크다면 그냥 공약수로 나누기 위해서도 각각 소인수분해를 하는 것이 편리할 수 있다.
분모와 분자가 숫자로만 이루어지지 않고 다항식으로 구성된 분수식에서는 분모와 분자를 인수분해하여 간단한 다항식의 곱으로 나타낸 뒤, 분모와 분자에 공통으로 존재하는 다항식을 약분하여 없앤다. 인수분해가 필요한 이유 중 하나이기도 하다.
분모 또는 분자에 무리식이 있는 경우에는 유리화하는 과정에서 약분을 하기도 한다.
하나의 분수뿐만 아니라 여러 분수의 곱셈식도 약분할 수 있는데, 곱셈 결과가 (각 분수의 분자들의 곱)/(각 분수의 분모들의 곱)이 된다는 점을 고려하여 분자와 분모에서 공통인수를 찾으면 된다.

3. 예시

24/36을 약분하면 다음과 같다.
$$\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{\cancel 2\times12}{\cancel 2\times18} = \frac{12}{18} = \frac{\cancel 2\times6}{\cancel 2\times9} = \frac{6}{9} = \frac{\cancel 3\times2}{\cancel 3\times3} = \frac{2}{3}$$
24, 36을 소인수분해하면 각각 23×3, 22×32이므로 공통인수(최대공약수)는 22×3이다. 따라서 분자와 분모를 각각 22×3으로 나누면 아래와 같이 약분된다.
$$\displaystyle \frac{24}{36} = \frac{2\times\cancel{2^2\times3}}{3\times\cancel{2^2\times3}} = \frac{2}{3}$$
다항식을 약분하는 경우에는 상수와 각 문자, 다항식에 대해 공통인수를 구하여 약분할 수 있고, 이때 인수분해를 이용할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다. 단, ''a''≠0, ''b''-''c''≠0이다.
$$\displaystyle \frac{4a(b^2-c^2)}{6a^2(b-c)} = \frac{2^2\times a(b-c)(b+c)}{2\times3\times a^2(b-c)} = \frac{2(b+c)}{3a}$$

4. 특정한 경우의 약분

  • 분자와 분모(≠0)가 같은 분수는 1로 약분된다.
  • 분자가 분모(≠0)의 배수인 가분수는 (분자)/(분모)의 정수로 약분된다.
  • 분자와 분모의 일의 자리부터 n자리가 모두 0이고, 그 이전의 자릿수를 떼어낸 결과의 두 수가 서로소인 경우, 분자와 분모를 각가 10n으로 나누면 된다. 예를 들어 1000/1700에서는 끝 2자리(십의 자리와 일의 자리)가 모두 0이고, 이 2자리를 떼어낸 두 수는 각각 10, 17로 서로소이다. 따라서 약분한 결과는 10/17이다.
  • 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 n자리가 서로 같고, 그 이후의 자릿수가 모두 0이면 분자가 더 큰 가분수의 경우 10(분자의 0의 개수)-(분모의 0의 개수)의 정수로, 분모가 더 큰 경우 1/10(분모의 0의 개수)-(분자의 0의 개수)으로 약분된다. 예를 들어 1300/130은 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 2자리가 13으로 서로 같고, 분자가 더 크며, 분자의 0의 개수가 분모보다 1 많으므로 102-1=10으로 약분된다. 또, 8/800의 경우는 분자와 분모의 가장 큰 자리부터 1자리가 8로 서로 같고, 분모가 더 크며, 분모의 0의 개수가 분자보다 2 많으므로 1/102=1/100(=0.01)으로 약분된다.
  • 항등함수를 미분할 경우에도 약분과 비슷하게 된다. $$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x} = 1$$이 성립한다.
  • 더 나아가 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} f(x)$$에서 $$\mathrm{d}x$$를 '인수'처럼 취급해서 $$\mathrm{d}y = f(x)\,\mathrm{d}x$$로 쓸 수 있다. 이렇게 할 수 있는 이유는 미분형식 문서 참조.

5. 관련 문서


[1] 원래는 '간단히 만든다'라는 뜻이다.

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