십이이십면체

준정다면체 중 하나인 십이이십면체의 모습.

1. 개요

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十二二十面體 / Icosidodecahedron[1]
한 꼭지점에 삼각형 두 개와 오각형 두 개를 배치해 만든 준정다면체. 정십이면체 또는 정이십면체의 각 꼭지점들을 각 모서리의 절반까지 깎아서 만들 수도 있는데, 두 가지 정다면체의 모든 면들을 가지고 있다고 하여 '''십이이십'''면체라고 불린다.

2. 정보

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슐레플리 부호	r{3,5}[2] r{5,3}
꼭짓점(vertex, 0차원)	30개
모서리(edge, 1차원)	60개
면(face, 2차원)	32개	정삼각형 20개 정오각형 12개
쌍대	마름모삼십면체
이면각	$$\cos^{-1}\left(-\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt5}{15}}\right)$$ ≈ 142.62º
포함 관계[3] 또는 '''다른 이름'''[4]	'''비틀어 붙인 오각둥근지붕(pentagonal gyrobirotunda)'''[5]

[6]
한 변의 길이가 $$a$$인 십이이십면체가 있을 때
외접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}a=\varphi a$$[7]
겉넓이(surface area) = $$(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{45+17\sqrt{5}}{6}a^3$$

[1] 복수는 Icosidodecahedra

[2] r{p,q}는 {p,q}인 정다면체의 각 꼭지점들을 각 모서리의 절반까지 깎는다는 의미이다.

[3] 반드시 이 다면체를 지칭하지는 않으며, 해당 이름이 비슷하게 생긴 고르지 않은 다면체도 포함하는 경우

[4] 반드시 이 도형과 닮거나 합동인 도형을 지칭하는 이름

[5] 오각둥근지붕(J6)은 적도의 정십각형 선을 따라 십이이십면체를 절반으로 자른 모습으로, 존슨 다면체이다.

[6] 슐레플리 부호로 $$\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}$$라고 쓰기도 한다.

[7] φ는 황금비이다. 이는 적도를 이루는 평면도형이 정십각형이기 때문으로, 한 변의 길이가 a인 정십각형의 외접원의 반지름 또한 φa로 같다.