정다면체
1. 개요
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正多面體 / Regular Polyhedron
기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.
흔히 플라톤의 다면체라고 말하는 볼록 정다면체 5종과 일상적으로는 정다면체라고 부르지 않는 오목 정다면체 4종까지 일컫는 말. 따라서 정다면체는 모두 9개이다. 예로부터 정다면체는 다섯 가지만이 존재한다고 알려져 있었는데, 요하네스 케플러는 이 정의에서 사용하는 면을 오목정다각형까지 확장시켰고, 두 개를 정다면체의 개념에 추가하였다. 이후 푸앵소는 이 정의에서 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수를 분수번까지 확장시켜 케플러가 만든 다면체의 쌍대에 해당하는 두 개의 다면체를 찾아내었다.
주사위에서는 공평함을 위해 정다면체(특히 정육면체)를 쓰는 일이 많다. 반정다면체의 쌍대다면체인 카탈랑 다면체 등도 공평한 주사위로 쓸 수 있으나, 드문 편이다. 또한 10면체 주사위는 각 면이 연꼴(Kite)인 오각 엇쌍각뿔(Pentagonal trapezohedron)을 쓴다.
2. 볼록 정다면체
볼록 정다면체에는 오로지 다섯 가지 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)만 존재한다.
2.1. 성질
오로지 다섯 개의 볼록 정다면체만 존재한다는 것은 다음과 같이 매우 간단하게 증명할 수 있다.
- 다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭짓점이 만들어진다.
- 각 꼭지각의 합은 360°보다 작아야 한다.
- 다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다. 한편, 이런 꼭지각이 최소 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 360°÷3=120° 보다 작아야 한다.
- 내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형 · 정사각형 · 정오각형 뿐이다.
- 정삼각형: 내각의 크기가 60°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 삼각형면의 개수는 3개 · 4개 · 5개이다. 이것은 각각 정사면체 · 정팔면체 · 정이십면체에 해당한다.
- 정사각형: 내각의 크기가 90°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 사각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정육면체에 해당한다.
- 정오각형: 내각의 크기가 108°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 오각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정십이면체에 해당한다.
3. 오목 정다면체
오목 정다면체에는 네 가지 다면체(작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체)가 존재한다.
4. 선과 점의 개수
아래에서 모든 볼록 정다면체의 $$V-E+F=2$$가 나온다.
이를 오일러 지표라고 하는데, 모든 볼록 다면체에 대해 성립한다.
오목 다면체는 두 개는 2, 나머지 둘은 -6이다.
5. 확장된 정다면체의 정의
정다면체를 엄밀하게 3차원 유클리드 상에서 하나의 연결된 도형이고 두 개 이상의 서로 다른 꼭짓점, 모서리 또는 면이 정확히 같은 위치를 점유하는 건 불가능하다고 가정할 때 도형에서 고른 아무 꼭짓점을 다른 꼭짓점으로 옮길 수 있는 '''점추이''', 모서리를 다른 모서리로 옮길 수 있는 '''변추이'''와 아무 면을 다른 면으로 옮길 수 있는 '''면추이'''를 만족하는 도형으로 정의할 경우 정다면체의 종류는 다음 48가지이다.
- 볼록 정다면체(플라톤 입체) 5종
- 오목 정다면체(케플러-푸앵소 다면체) 4종
- 정타일링 3종
- 페트리-콕서터 다면체 3종
- 거듭정사면체
- 거듭정육면체
- 거듭정팔면체
- 앞의 언급한 것들의 페트리 쌍대 15종
- 섞인 무한면체 12종
- 섞인 정타일링 3종
- 나선 정타일링 3종
- 섞인 페트리 정타일링 3종
- 나선 페트리 정타일링 3종
- 순수 그륀바움-드레스 다면체 6종
- 이분 거듭정육면체
- 페트리 이분 거듭정육면체
- 페트리 이분 거듭정육면체 쌍대
- 삼중나선 정사각 타일링
- 사중나선 정삼각 타일링
- 꼬인 거듭정팔면체