황금비
1. 수학적 비율의 하나
golden ratio, golden section ・ 黃金比
임의의 길이를 두 부분으로 나누었을 때, 전체와 긴 부분의 비율이 긴 부분과 짧은 부분의 비율과 같은 비율. 관련된 수학식으로는 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비, 피보나치 수열 등이 있다.
1.1. 증명
긴 부분을 A, 짧은 부분을 B라고 치면 $$ A + B : A = A : B $$ 이라는 비례식이 만들어진다. 이 비례식을 정리하면 $$ A^2 - AB - B^2 = 0 $$이 되고, 이를 $$ \frac{ A }{ B } = x$$에 관해서 정리하면 이차방정식 $$ x^2 - x - 1 = 0 $$을 얻을 수 있는데, 이 때 $$\displaystyle x = \frac{ 1 + \sqrt{ 5 } }{ 2 } $$인 것이다.[1] 소수로 표현하면 대략 1.618033988…이다.
전체 길이가 $$x+1$$이고, 긴 부분 A의 길이가 $$x)$$, 짧은 부분 B의 길이가 1이면 A와 B는 황금비를 이루고 있는 것이다. 이 황금비율의 성질을 이용해 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
$$\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{x+1}{x}$$ (긴 부분과 짧은 부분의 비는 전체와 긴 부분의 비와 같으므로) 양 변에 $$x$$를 곱하면 $$x^2=x+1$$ 즉 $$x$$를 제곱하면 $$x$$에 1을 더한 것과 같다.
처음의 식 $$\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{x+1}{x}$$을 변형하면 $$\displaystyle \frac{x}{1}=1+\frac{1}{x}$$ 양 변에 1을 빼고 간단히 하면 $$\displaystyle \frac{1}{x}=x-1$$ 즉 $$x$$에 역수를 취하면 $$x$$에 1을 뺀 것과 같다.
원의 각도인 360도에 $$1:x$$를 적용하면 작은 각은 대략 137.5077...도가 된다. 호도법으로는 대략 2.39996...이 된다.
1.2. 여담
유리수 근사 시 분모의 크기에 비해 오차가 가장 큰 무리수이기 때문에 가장 무리수다운 무리수라는 별명이 있다.[2][3]황금비의 최선의 근사는 피보나치 수열을 이용하는 것이다. 이를 연분수로 써보면 1만 나오기 때문에 근사분수를 도출할 수가 없어 척 봐도 굉장히 느리게 수렴하는 것을 알 수 있다.
토고의 국기가 황금비율로, 네팔과 더불어 국기 가로세로 비율이 무리수이다.[4]
이 황금수는 가장 작은 피솟-비자야라가브한 수이기도 하다.
2. 오해 및 유사과학으로서의 남용
황금비는 '''수학적으로만''' 의미가 있을 뿐이다.
'Golden', '황금' 같은 단순 수식언을 사회적인 인과 관계로 잘못 인식하여, 이를 갖고 과학적 비밀과 미학적 안정성을 꾀한다고 생각하는 사람이 상당하나 과학자들과 예술학자들은 회의적인 입장을 보였다(근거는 후술). 그리스의 유적, 앵무조개, 주민등록증 등에 황금비가 적용되어 있다고 교육받았으나, '''모두 틀린 사실이다.''' 일상에서 자신만의 '황금비'를 뜻하는 말은 맨 하단의 유행어를 가리키고 하는 말이다.
유튜브의 과학 채널 Joe Scott 역시 자신의 영상(영어)에서 황금비에 대한 통념을 비판했다.
또한 황금비에 대해 논리적으로 비판한 성형외과 전문의의 에세이가 있다.
특정인물의 사진을 누군가가 황금비율마스크로 오버랩할(맞춰볼) 때 객관적인 적용의 기준이 되는 포인트가 없기 때문에 상대적으로 황금마스크의 중심에 속하는 코나 눈의 크기에 적당히 맞추게 되면 전체적으로 잘 맞는 것 같지만 그렇지 않고, 정확하게 하기 위해서 눈동자나 눈의 크기를 중심으로 매우 확대한 이미지에서 정확하게 마스크와 사진을 적용시키게 되면 결코 황금마스크에 맞지 않는 것을 알 수 있습니다. (중략)
결론적으로 황금비율 마스크라는 것은 이러한 시각적인 착각을 주의해서 살펴보지 않는 사람들에게는 그럴싸하게 보이고 눈주위(황금마스크의 중심)의 선의 불일치는 눈에 잘 띄지 않고 주변부만을 주로 보게 되는 시각적인 착각을 이용한 '''단순한 시각적 착각의 놀이'''에 지나지 않는 것입니다.
Marquardt는 자신의 홈페이지에서 어느 나라나 과거 이집트부터 현재까지 미의 기준이 동일하였다고 설명하고 있지만 동시에 인종이나 나이, 성별에 따른 차이에 대해서도 성형외과적으로 이미 알려진 내용들을 조목 조목 설명하고 있으며 '''자신감없는 표현들을 하고 있어서 자승자박하는 내용이 많습니다.''' 특히 옆 얼굴의 마스크에 대해서는 더욱 빈곤한 설명을 하고 있는데, 옆얼굴의 황금비율 마스크는 인종별로 너무나 많이 차이가 나서 적용자체가 어렵습니다. 우리나라 사람들은 조선시대 이전의 미인도 등에서 살펴볼 때 그 당시의 미인기준의 얼굴이 현재와는 매우 달랐다는 것을 의심하는 사람은 없습니다. 미인의 기준을 서구화 및 획일화시키는 황금비율 마스크는 과학이라는 가면 속에 시행되는 단순한 유희이며, 시각적인 환상 또는 착각에 지나지 않는 것입니다. (중략)
'''아름다움을 단순화하여 절대화하는 것은 상업적 프로파겐다 인종차별적 관념의 상징이다.'''
미를 절대화하여 하나로 일률화하려는 것은 사람들의 인종 민족적 다양성을 무시하는 프로파겐다의 다름이 아닙니다. 그 속에는 다분히 인종차별적인 정치적인 관념이 자리잡고 있습니다. 황금비 가면은 하나의 시각적 착각을 이용한 눈속임입니다.
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2.1. 오차를 무시하는 오류
유명한 것에 비교하며 황금비라 주장하는 것들의 거의 대다수는 오차를 대충 얼버무리고 황금비라 주장하고 있다. 예를 들어 수치의 경우 1.618...이 정확한 수치이므로 -0.8% 오차인 1.61이나 +0.2% 오차인 1.62 정도라면 그런대로 황금비와 유사하다 주장할 수 있을 것이다. 그러나 ±10% 이상의 오차들을 가지고 황금비라 지칭하고 있으며, 사각형과 원형을 이용해 물건 속 황금비가 숨어 있다는 분석들도 실제로 냉정하게 보면 전혀 그 기하학적 분석에 물건들이 꼭 들어맞지 않는다. 매우 큰 오차를 가지고 있다. 이런 오차들을 무시하고 그냥 대충 재고서는 황금비라 억지 주장을 하는 것.
2.2. 유명 조각상 관련 왜곡된 진실
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비너스 상이나 다비드 상은 1:1.618 황금비가 조각상 아름다움의 근원이라는 말이 있었지만, 실제 비너스상의 비율은 1:1.555, 다비드상은 1:1.535의 비율이다. 다만 이들은 조각상이기 때문에 관람자의 입장에서는 아래쪽에서 위쪽을 올려다보는 각도로 보게 되어 실제보다 상반신을 작게, 하반신을 크게 보게 된다. 이를 고려해서 상반신을 확대해서 만든 다비드상이 대두인 건 이미 유명한 사실.
2.3. 파르테논 신전에 대해 잘못 알려진 것들
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그리스 여행지 가이드들은 주로 파르테논 신전이 황금비를 적용해서 지어졌다고 설명하기 때문에 많은 이들이 그리스 신전의 모든 부분이 황금비율을 적용해 지은 것이라고 오해하기 쉽다. 또한 위 사진을 보면 알겠지만 황금비가 적용됐다는 설명을 듣고 더 아름답게 생각하는 것이다.
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파르테논 신전은 4:9 비율. 물론 황금비율이 적용된 부분도 있다.
2.4. 앵무조개에도 황금비율이 없다
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왼쪽이 앵무조개 화석을 통해 재현한 모델, 오른쪽은 3D프린터로 통해 실물로 뽑아낸 앵무조개인데, 앵무조개의 껍질에 황금비율이 숨어있다는 주장 또한 사실이 아니다. 실제로는 한 바퀴를 돌 때마다 3배로 증가하는 패턴이다.[5] 황금비(피보나치 수열)를 이루면서 커지게 된다면 한 바퀴를 돌 때마다 7배 비율로 커져야 하는데, 이렇게 되면 우리가 흔히 아는 앵무조개 모습이 되지 않는다. 또한 앵무조개의 크기가 한정적이어서 그렇지, 가면 갈수록 차이가 굉장히 심해질 것이다.
2.5. 16:9 제품들은 황금비가 아니다
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신용카드나 iPhone 디자인 역시 황금비율을 적용해 디자인한 제품들이라 여겨지고 있지만, 몇몇 전문가들은 실제로는 큰 상관이 없다고 주장한다. 근사값이 곧 정확한 수치는 아니기 때문이다. 2번 항목에서도 16:9(=1.77...) 비율을 황금비율의 근사치라고 주장하는 의견이 등장하는데, 1.618의 정확한 수치가 아닌 이상 황금비율이라고 말하는 것은 '''옳지 않다.''' 비율이 1.6 정도라면 (화면 비율의 숫자를 너무 크게 키울 수는 없으니) 충분히 황금비의 유사값이라 주장할 수 있겠으나 실제로는 1.77이다. 1.77을 근사값으로 봐준다면 1.45도 황금비의 근사치인 셈이다.[6] [7]
게다가 모니터 및 스크린이 있는 제품의 경우 여러 필요성에 의해 18:9, 21:9, 32:9 화면비율을 가진 것들이 속속들이 등장해서 팔리고 있는데, 그런 제품이 출시되고 팔린다는 것 자체가 황금비율의 무의미성을 증명한다. 16:9가 황금비이기 때문에 가장 아름답다면 21:9 등의 비율이 출시되지 않았을 것이기 때문이다.
2.6. 피라미드 역시 근거가 없다
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피라미드는 그 역사적 배경에 의거한 객관성을 잃은 접근 때문에 다소 과장되어 있다고 몇몇 이집트학 전문가들은 말한다. 피라미드는 아이폰 사과로고와 비슷한 경우로, 만들다 보니 우연히 황금비에 근접하는 수치로 지어진 것일 뿐, 처음부터 황금비율을 참고하여 지은 것은 아니라고 한다. 피라미드를 지을 당시의 고대 이집트에는 황금비를 계산할 기하학과 대수학 지식이 없었다고 추정된다. 황금비에 정확히 맞어떨어지는 피라미드도 쿠푸왕의 피라미드 단 하나뿐이며, 쿠푸왕 피라미드 건설 시점은 기원전 2600년 전이고, 이집트에서 기하학에 대해 처음 언급된 유물인 아메스 파피루스는 기원전 1600년전으로 1천 년 시간차가 있다. 게다가 아메스 파피루스에도 황금비의 내용은 없다. 하다못해 이거는 진짜 '가장 아름답게 만들다보니 황금비에 유사하다.'는 주장의 근거로 써먹을 수라도 있지만...
2.7. Apple의 로고도 왜곡된 것
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많은 사람들이 Apple 사과로고의 제작자가 황금비를 이용해 제작했다고 추측했는데, 해당 황금비 분석을 자세히 살펴보면 이 무슨 억지이다 싶을 정도로 끼워맞추기다. 아마존에게 바치는 노자를 연상시키는 수준. 원래 산업디자인에서는 저렇게 도형을 사용해 디자인하기는 하지만 핵심은 전혀 황금 비율의 기준이 되는 도형에 대해 일치점이 없다는거다. 언듯 보기에는 황금비 도형을 이용해 만든 것 처럼 보이지만 실제로는 전혀 이용이 되지 않은 수준이다.
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더불어 로고제작자에 따르면 따로 참고하진 않았다고 한다. 오히려 황금비율이 뭐야?라고 대답했다. 자신의 로고가 황금비율에 정확히 맞아떨어진다는 것은 신기하고 아름다운 일이라고 여긴다고 했으며 사람들도 이 일화를 듣고서 "와 역시 어느 분야에 정점에 달하면 자기가 의식하지 않아도 이런게 되는구나"라는 식의 반응을 보이나, 위의 짤에서 보다시피 애초에 애플 사과로고 황금비 주장은 완벽한 끼워맞추기.
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황금비율을 마케팅 수단으로 사용하는 것에 대한 우려의 목소리도 있다.[8]
또한 해당 방송에서는 본인들의 바지 제작에 황금비를 넣어 최상의 아름다움을 구현하였다고 홍보한 패션업체측에게 해당 제품의 어느 곳이 황금비인가를 보여주길 요구하였으나 정작 당사자들이 찾아내지 못해 뻘뻘대는 웃지못할 일화도 있었다.
3. 유행어
위 같은 수학적인 것이 아닌 황금 레시피, 황금 비율 등으로 '요리'에서 '자기만의 비법'을 통칭할 때 쓰이기도 한다.
[1] 중학교 3학년 수준에서 증명이 가능하다. 때문에 교과서에서도 종종 소개된다.[2] 무리수 x에 대해 오차가 $$\frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 }b^2 } $$ 미만인 유리수 근사 $$\frac{a}{b} $$는 무한히 많이 존재하는데, 분모에 뜬금없이 $$ \sqrt{ 5 }$$가 나오는 게 황금비 때문.[3] 이게 얼마나 오차가 큰거냐면 자연로그의 밑은 임의의 $$\epsilon>0$$에 대해 오차가 $$\frac{\epsilon}{b^2} $$ 미만인 $$\frac{a}{b} $$는 무한히 많고 원주율의 경우는 오차가 $$\frac{1}{b^{7.1}} $$미만인 $$\frac{a}{b} $$가 유한한지 무한한지조차 모를 정도로 근사가 잘된다.[4] 네팔은 황금비와는 관련 없이, 빨간색 부분만 따지면 멀쩡한 3:4 비율이나 파란색 테두리를 넣어서 굉장히 복잡한 다항식의 근이 된 경우이다. 영어 위키백과[5] 정확히는 극좌표상의 로그함수(= 로그 나선)에 가깝다.[6] 참고로 |황금비의 근사값인 16:10 비율을 사용한 스마트폰으로 노트1 이 있었고, 현재는 거의 대부분 동영상에서 사용 중인 16:9 비율을 쓰는 편이지만, 갤럭시 탭 S4, iPad Pro, iPad 8세대, iPad Air 4세대등 태블릿에서는 많이 사용한다. [7] 거기에다 2010년대 후반 이후 나온 폰들은 거의 대부분 2:1 이상의 길이를 가지고 있어서 황금비의 근사값에서도 멀어진 상태. 모니터의 경우 와이드 비율이 처음 등장하던 초창기에는 16:10 비율이 먼저 나와서 유행했으나 오래 지나지 않아 패널 제조사에서 16:9비율로 갈아타버리며 사장되고 말았다.[8] 위 '빵'만 봐도 최적의 비율은 지극히 주관적일 수밖에 없으며 애초에 원 정의와는 동떨어진 비율로 사용하고 있으니 수학적으로 올바르게 접근한 것이 아니다.