마름모삼십면체
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카탈랑 다면체 중 하나인 마름모삼십면체의 모습.
1. 개요
마름모三十面體, Rhombic triacontahedron(복수는 -hedra)
아르키메데스 다면체 중 하나인 십이이십면체의 쌍대다면체. 면들이 모두 마름모형이기 때문에 이런 이름이 붙었다. 마름모의 예각의 경우 한 꼭지점에 5개, 둔각의 경우 한 꼭지점에 3개씩, 예각은 예각끼리, 둔각은 둔각끼리 모인다. 면의 형태 V3.5.3.5[1]이다.
면추이 도형이므로, 이론상으로 던졌을 때 각 면이 위에 올 확률이 모두 같기 때문에 '''공평한''' 삼십면 주사위로도 사용할 수 있으며, 삼십면체 중 가장 많이 볼 수 있는 주사위이다.
2. 마름모삼십면체에 대한 정보
한 변의 길이가 $$a$$인 마름모삼십면체가 있을 때
마름모(면)의 긴 대각선의 길이 = $$a\sqrt{\dfrac{10+2\sqrt5}{5}}$$[2]
마름모(면)의 짧은 대각선의 길이 = $$a\sqrt{\dfrac{10-2\sqrt5}{5}}$$
한 면의 넓이 = $$\displaystyle\frac{2}{\sqrt5}a^2 $$
내접구의 반지름 = $$\displaystyle\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt5}}a$$
겉넓이(surface area) = $$12\sqrt5a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle4\sqrt{5+2\sqrt5}a^3$$
2.1. 다른 도형들과의 관계
- 십이이십면체와 쌍대(Dual)[3] 도형이다.
- 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭짓점 20개를 이으면 정십이면체가 된다.
- 마름모의 예각 5개가 모인 꼭짓점 12개를 이으면 정이십면체가 된다.
- 위 방법으로 만든 정십이면체와 정이십면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체(compound)가 된다.
3. 여담
마름모삼십면체는 단독으로 3차원 유클리드 공간을 채울 수는 없으나, 3차원 쌍곡 공간을 채울 수는 있다.
[1] 한 꼭지점에 모이는 면의 구성이 3.5.3.5인 다면체의 꼭지점을 다면체 중심과 꼭지점을 이은 직선에 수직한 면으로 정확히 잘라내었을 때 생기는 단면의 쌍대 다각형과 같다는 뜻이다.[2] 짧은 대각선의 정확히 (1+√5)/2배, 즉 짧은 대각선과 황금비를 이룬다. 따라서 마름모삼십면체의 전개도는 작도할 수 있다.[3] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.