정이십면체
1. 개요
正二十面體, Icosahedron[1]
한 개의 꼭짓점에 다섯 개의 정삼각형이 만나고, 총 스무 개의 면으로 이루어진 다면체. 정다면체들 중 면이 가장 많다.
정이십면체에서 두 면이 이루는 이면각은 $$\displaystyle\sin^{-1}\frac{-\sqrt{5}}{3}\approx138.19^\circ$$로, 3개의 정이십면체가 한 모서리에서 만난다고 가정하면 414.57°로 360°를 초과하기 때문에 4차원 볼록 정다포체를 만들 수 없다.[2]
2. 정이십면체에 대한 정보
한 변의 길이가 $$a$$인 정이십면체가 있을 때
외접구의 반지름 =$$\displaystyle\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a$$[6]
내접구의 반지름 = $$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})a$$
총 모서리 길이(total edge length) = $$30a$$
겉넓이(surface area) = $$5\sqrt{3}a^2$$
부피(volume) = $$\displaystyle\frac{5}{12}({3+\sqrt{5}})a^3=\frac{5\varphi^2}{6}a^3$$
2.1. 다른 정다면체들과의 관계
3. 현실에서의 예시
[1] 복수는 Icosahedra[2] 정이십면체로 오목 정다포체는 만들 수 있다.[3] 정이십면체는 정오각뿔, 엇정오각기둥 그리고 다시 정오각뿔을 정오각형 면끼리 순서대로 붙여 만들 수 있다.[4] 아르키메데스 다면체의 다듬기 항목 참조. 정사면체의 각 면을 띄워 놓고 각 꼭지점에 5개의 삼각형을 끼워 서로 이어가면 만들어진다.[5] 정팔면체의 다른 이름이 사사면체다. 이유는 항목 참조.[6] 여기에서 φ는 황금비이다. $$\displaystyle(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2})$$[7] 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.[8] 정이십면체는 한 꼭지점에 다섯 개의 정삼각형이 만나기 때문에 {3, 5} 한 꼭지점에서 정오각형이 세 개 만나는 도형인 정십이면체{5, 3}와 쌍대 도형이다.[9] 정확히는 약간 길쭉한 모양이나, 매우 유사하게 생겼다.[10] 고압 환경에서 존재하는 붕소의 동소체이다.[11] 잘 모르겠다면 골프공에 있는 딤플(골프공 표면에 존재하는 홈)을 자세히 보자. 가끔 예외인 골프공도 있을 수 있으나, 대부분의 골프공의 경우, 대부분의 딤플들은 주변의 6개 딤플들로 둘러싸여 있고, 단 12개의 딤플만 5개의 다른 딤플들로 둘러싸여있는데, 이 12개의 딤플을 이으면 정이십면체가 된다.[12] 골프공과 마찬가지로 반드시 정이십면체 기반으로 만들 필요는 없으나, 대부분의 지오데식 돔의 경우, 정다면체들 중에서는 정이십면체가 구와 가장 가깝기 때문에 정이십면체를 기반으로 만들어진다.