쌍곡삼각형
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1. 개요
雙曲三角形 · hyperbolic triangle
쌍곡면[1] 위에 그려진 삼각형을 말한다. 똑같은 비유클리드 기하학의 도형인 구면삼각형과는 달리, 딱히 실용적인 쓰임은 없다시피한 편.
2. 성질
- 내각의 합은 [math(\pi)]보다 작다.
- 위 성질 때문에 구면삼각형과는 달리 오목삼각형이 존재하지 않는다.
- 삼각형의 넓이는 반지름이 1인 푸앵카레 원반 기준 $$\pi$$에서 내각의 합을 뺀 값이다.
- 각 변의 길이를 모두 더한 값의 절반보다 넓이가 항상 작다.
3. 공식
구면삼각형의 공식에서 일부 항이 쌍곡선 함수로 갈음된다.
3.1. 쌍곡삼각형의 사인 법칙
$$ \dfrac{\sinh a}{\sin A}=\dfrac{\sinh b}{\sin B}=\dfrac{\sinh c}{\sin C} $$
3.2. 쌍곡삼각형의 코사인 법칙
- 변에 대한 코사인 법칙
$$ \cosh c=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b\cos C $$
- 각도에 대한 코사인 법칙
$$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c $$
- 각도의 코사인 법칙과 변의 코사인 법칙을 합한 것
$$\cosh c=\dfrac{\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos A\cos B}{1-\sinh a\sinh b\sin A\sin B}$$