예상과 확인

1. 개요

---

豫想과 確認
대한민국 초등학교 수학 교육과정에 나오는 문제 해결 과정.
중학교부터는 연립방정식을 배우고, 미지수가 두 개이고 미지수들에 대한 식이 두 개일 때 방정식의 해를 결정할 수 있음을 배우고, 연립일차방정식의 대수적인 해법을 배운다. 그러나 방정식의 개념을 익히기 전인 초등학교에서는, '''예상과 확인'''이라는 시행착오법으로 접근하도록 교육한다.

2. 예시

---

다음 예를 통해 전자와 후자의 차이를 확인해보자.

'''문제: 어느 동물농장에 돼지와 닭이 있습니다. 동물들은 모두 20마리이며, 동물들의 다리는 모두 68개입니다. 돼지와 닭은 각각 몇 마리입니까?'''

<중학교 이상의 수준> 돼지를 $$x$$마리, 닭을 $$y$$마리라고 한 뒤, 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같은 '''연립일차방정식'''을 세울 수 있으며, $$\begin{cases}x+y=20\\4x+2y=68\end{cases}$$ 아래 과정을 통해 풀 수 있다. [풀이 보기(중학생 수준)] 우선 1번 식에 2를 곱해서 2번 식에서 빼자. $$(4x+2y=68) - 2(x+y=20) \Rightarrow (4x - 2x) + \cancel{(2y - 2y)} = (68 -40) \Rightarrow 2x = 28$$ $$\therefore x = 14$$ 그 다음, 1번 식에 $$x := 14$$를 취하면 $$14+y=20 \Rightarrow y=6$$ 따라서 해는 $$x=14, y=6$$이다. 따라서 해는 $$x=14, y=6$$이다.}}} [풀이 보기(선형대수학 수준)] 우선 선형 변환을 하면 $$\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ 68 \end{bmatrix}$$ 역행렬을 구하기 위해 우선 행렬식을 계산해보면 다음과 같으므로 역행렬이 존재한다. $$\displaystyle \mathrm{det} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = 1 \times 2 - 1 \times 4 = -2$$ 위 행렬의 고전적 수반 행렬을 구하면 다음과 같다.[1] $$\displaystyle \mathrm{adj} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times(-1)^{1+1} & 4\times(-1)^{1+2} \\ 1\times(-1)^{2+1} & 1\times(-1)^{2+2} \end{bmatrix}^T \!\! = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}^T \!\! = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$$ 그러므로 역행렬은 다음과 같다. $$\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}^{-1} \!\!\! = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix}$$ 역행렬이 맞는지 원래 행렬에 곱해 보자. 예상대로 단위행렬이 나온다. $$\displaystyle \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\times 1 +\frac12\times4 & -1\times1+\frac12\times2 \\ 2\times 1 -\frac12\times4 & 2\times1-\frac12\times2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 이 역행렬을 우변의 행렬에 곱하면 다음과 같다. $$\displaystyle \begin{bmatrix} -1 & \frac12 \\ 2 & -\frac12 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20 \\ 68 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \times 20 + \frac12 \times 68 \\ 2 \times 20 - \frac12 \times 68 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 6 \end{bmatrix}$$ 따라서 해는 $$x=14, y=6$$이다. 따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다.

<초등학교 수준> 우선, 돼지를 □마리, 닭을 △마리라고 하자. □+△=20이 되도록 아무 수나 넣어본다. 돼지는 다리가 4개이고 닭은 다리가 2개임에 착안하여 다음과 같이 '''예상과 확인'''을 실행한다. □=12, △=8로 하면'''(예상)''', 4×□+2×△=4×12+2×8=64가 되어 문제의 조건에 맞지 않는다'''(확인)'''. □=13, △=7로 하면'''(예상)''', 4×□+2×△=4×13+2×7=66이 되어 문제의 조건에 맞지 않는다'''(확인)'''. □=14, △=6으로 하면'''(예상)''', 4×□+2×△=4×14+2×6=68이 되어 문제의 조건에 맞는다'''(확인)'''. 따라서 돼지는 14마리, 닭은 6마리이다.

이미 미지수를 $$x$$나 $$y$$ 따위로 표기함을 배운 중학교와 달리, 예상과 확인을 배울 때는 $$x$$는커녕 '미지수'라는 용어도 쓰지 않고 '어떤 수' 또는 '알 수 없는 수'라는 말로 풀어 쓴다. 또한, $$x$$ 대신 □(네모)를 쓰며, □ 다음으로는 보통 △(세모)를 쓴다. 곱셈 기호(×) 역시 생략하지 않고 그대로 쓴다.
또한, 예상과 확인에서는 연립일차방정식의 해가 0 이상의 정수가 나오는 경우만을 다룬다. 음수, 무리수 등 배우지 않은 수학 개념들이 있을 뿐 아니라, 그렇게 하지 않고서는 생각해야 할 수의 개수가 무한대로 늘어나기 때문이다. 유리수로만 확장하더라도 0과 1 사이에 무수히 많은 유리수가 존재한다. 이 차이를 인지하지 못하는 사람이 하게 되는 행위가 일명 '노가다'이다.
이 '예상과 확인'에서는 동물들의 다리 세기가 거의 클리셰 수준이다. 이것만큼 연립일차방정식을 실생활과 찰떡같이 연결할 만한 소재가 없기 때문이다.

3. 여담

---

인터넷 강사 삽자루는 본인의 강의 도중, '예상과 확인'의 중요성을 언급하며 선행학습을 하면 안 되는 이유를 말했고, 이게 인터넷 커뮤니티에 언급된 바 있다. 선행학습의 문제점