일반화 좌표계
1. 개요
해석역학에서 계를 편하게 설명하기 위해 설정하는 좌표계이다.
2. 구속 조건과 자유도
고등학교 물리를 갓 배우기 시작한 학생이 있다고 해 보자. 등가속도 운동을 어느정도 풀 수 있게 되었고, 이제 뉴턴 역학의 $$ \vec{F} = m \vec{a} $$를 배우려고 한다. 이 뉴턴 2법칙은 아주 쉬운 개념이다. 그냥 힘은 질량 곱하기 가속도라는 공식은 초등학생도 이해할 수 있을 만큼 쉽다. 직선 상에서 $$ m = 3 \, \rm{kg} $$, $$ a = 2 \, \rm{m/s^2} $$일 때, 힘은 몇 뉴턴(N)인가? 라는 문제를 못 푸는 사람은 없을 것이다. 하지만 이 학생이 수능 킬러 문제를 풀 수는 없다. $$ F=ma $$를 배웠다고 해도 '''구속력'''(constraint force)이 고려되지 않았기 때문이다.
예를 들어, 도르래 문제는 그냥 중력만 작용하는 자유낙하 운동으로 풀면 안 된다. 왜냐하면 줄의 '''장력'''이 '''구속력'''으로 작용하여 두 물체의 위치를 맞춰주기 때문이다. 이렇게 '''줄의 길이가 일정'''하게 맞춰지는 것을 '''구속 조건'''(constraint)이라고 한다. 마찬가지로 경사면에서의 운동의 경우, 중력뿐만 아니라 '''수직항력'''이 '''구속력'''으로 작용하여 물체가 '''경사면 위'''에서만 움직이게 되는데, 이렇게 물체가 경사면 위에서만 움직일 수 있다는 조건이 '''구속 조건'''이다. 원운동에서 물체가 '''원 궤도'''라는 구속 조건에서 움직이게 하는 구속력은 '''구심력'''이다.
구속 조건식이 하나씩 늘어날 때마다 자유도는 1씩 줄어들게 된다. '''자유도'''란 "차원"이랑 비슷한 개념인데, 물체의 운동을 표현하기 위해 필요한 변수의 개수이다. 예를 들어 평면 위에서 운동하는 입자는 x,y좌표로 위치를 나타낼 수 있으므로 자유도는 2이다.[1] 그런데 원운동이라는 구속 조건이 추가된다면 자유도는 1이 된다. 이제는 원에서 돌아간 각도 하나의 변수만 있으면 원운동에서의 위치를 나타낼 수 있기 때문이다. 아니면 지구 상에 있는 생명체의 위치는 위도, 경도, 고도로 나타낼 수 있으므로 자유도는 3이다. 그런데 그 생명체가 땅을 파거나 날아다닐 수 없어서 고도가 지면에 고정된다면 자유도는 2가 된다. 이런 생명체가 다섯 마리 있으면 각 생명체의 위도, 경도가 각각 5쌍 필요하므로 자유도는 10이다.
따라서, 3차원에서 $$ n $$개의 입자와 $$ m $$개의 구속 조건이 있다면 자유도는 $$ 3n-m $$가 된다.
참고로, 뉴턴 역학에서 이런 문제를 풀려면 구속력을 생각해야 되는데 구속력을 계산하는 것은 어렵다. 그런데 놀랍게도 라그랑주 역학에서는 구속력을 생각할 필요가 전혀 없고 구속 조건만 있으면 문제가 풀리게 된다![2] 따라서 라그랑주 역학에서는 문제를 "어렵게" 만드는 요인은 그냥 구속 조건 뿐인데, 구속 조건은 일반화 좌표계로 아주 쉽게 풀 수 있다. '''일반화 좌표계'''란 자유도가 $$ s $$인 계를 $$ s $$개의 좌표로 표현할 수 있는 좌표계이다. 예를 들어, 3차원의 입자가 xy평면 위의 원 $$ x^2 + y^2 = R^2 $$ 위에서 운동한다고 하자. 이때, 구속 조건은 다음과 같이 2개이다.
따라서, 이 물체의 자유도는 1이다. 그러면 이 물체는 단 하나의 일반화 좌표로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 원점을 중심으로 x축에서 돌아간 각도 $$ \theta $$ 하나만 있으면 이 물체의 위치는 정해진다.
이때, 좌표 $$ \theta $$를 '''일반화 좌표'''라고 한다. 이것을 시간으로 미분한 $$ \dot{\theta} $$는 '''일반화 속도'''라고 한다.
입자의 좌표 $$ x,y,z $$를 일반화 좌표 $$ \theta $$로 표시하는 것은 쉽다.
시간으로 미분하면 입자의 속도도 일반화 좌표로 쓸 수 있다.
보통 일반화 좌표는 알파벳 x 대신에 q를 써서 $$ q_j $$로, 일반화 속도는 $$ \dot{q} _j $$로 표시한다. 일반적으로, 위의 예시처럼 자유도 $$ s $$인 계의 입자의 좌표 $$ x_{a,i} $$는 $$ s$$개의 일반화 좌표 $$ q_j $$와 시간 $$ t $$의 함수로 표현할 수 있다.
3. 일반화 운동량
뉴턴 역학에서, 예를 들어 중력을 받는 입자의 라그랑지언을 생각해 보자. 이 입자의 라그랑지언은 $$L=(1/2)mv^2 - mgh$$이다. 이를 $$v$$로 미분하면 $$ \displaystyle {\partial L \over \partial v} = mv = p $$이므로, 운동량이 나온다. 그러면 이를 확장해서 라그랑주 역학에서 라그랑지언을 일반화 속도로 미분한 것이 일반화 운동량이 될 것이라고 추측할 수 있고, 실제로 그렇게 정의한다.
이를 '''일반화 운동량'''이라고 한다.