슐레플리 부호

 

1. 개요
2. 정다각형
2.1. 볼록 정다각형
2.2. 오목 정다각형(별 정다각형)
2.3. 음의 정다각형
3. 정다면체 및 테셀레이션
4. 4차원 정다포체 및 3차원 허니컴[1]
5. 5차원 정다포체 및 4차원 허니컴
6. 6차원 이상의 정다포체 및 하위 차원 허니컴
7. 관련 문서


1. 개요

Schläfli 符號, Schläfli symbol
정다면체나 테셀레이션(또는 타일링)을 쉽게 표기하기 위해 개발된 부호 체계로, 19세기 기하학에 공헌한 수학자 루드비히 슐레플리(Ludwig Schläfli, 1814 ~ 1895)의 이름을 땄다.

2. 정다각형


2.1. 볼록 정다각형

정다각형들 중에서도 볼록 정다각형의 경우, 중괄호 안에 숫자 하나만 써 놓으면 슐레플리 부호로 괄호 속의 숫자만큼의 변이 있는 다각형을 의미한다. 따라서 평면 도형들 중 정다각형, 특히 볼록 정다각형을 표기하는 것은 매우 쉽다.

2.2. 오목 정다각형(별 정다각형)

오목 정다각형은 {n/m} 꼴로 표현하는데, 여기서 m은 이 다각형에서 꼭지점을 이을 때 m-1개의 꼭지점을 건너뛰어 연결한다는 뜻이다.
이렇게 표기하면 정다각형의 한 내각의 크기를 구하는 공식 $$\displaystyle180^\circ\times\frac{n-2}{n}$$를 유리수로 확장하여 적용할 수 있어 매우 편리하다.

2.3. 음의 정다각형

'''다소 어렵다고 느낄 수도 있으니, 이해가 되지 않는다면 우선 아래의 3번 문단 "정다면체 및 테셀레이션"부터 읽고 오자.'''
정다각형을 이어 붙여 다면체를 만들 때, 일부 정다각형을 뒤로 꺾어 접어 만들 수도 있다. 이 때 음의 정다각형을 도입하면 꼭지점 형태를 매우 간단하게 표현할 수 있다.
[image]
예를 들어 위와 같은 도형(사면반육면체)에서 한 꼭지점에 '''정삼각형-정사각형-음의 정삼각형-정사각형''' 순서로 배열되어 있다고 표현하면 자연스럽게 설명이 된다.
한 각이 $$-\theta$$인 음의 $$n$$각형을 {k}로 표현해보자. (단, $$n, k$$는 양의 유리수)
$$\theta=\displaystyle180^\circ\times\frac{n-2}{n},\quad\displaystyle180^\circ\times\frac{k-2}{k}=-\theta$$
이므로,
$$\displaystyle180^\circ\times\frac{k-2}{k}=-180^\circ\times\frac{n-2}{n}$$
에서
$$\displaystyle k=\frac{n}{n-1}$$가 된다. (n이 정수가 아닌 유리수여도 성립한다.)
따라서 음의 정n각형은 {n/(n-1)}각형으로 표현할 수 있으며, 한 각이 -60º인 음의 정삼각형의 경우 {3/2}가 되고, 위의 사면반육면체의 꼭지점 형태는 3.4.3/2.4로 표현할 수 있다.
슐레플리 부호가 {5/2}인 정오각별과 같이 n이 정수가 아닌 유리수일 경우, $$\displaystyle n=\frac{p}{q}$$라고 하면
$$\displaystyle k=\frac{p/q}{p/q-1}=\frac{p}{p-q}$$가 되어
음의 정오각별은 {5/3}으로 표현된다. 즉, (분모)를 (분자-분모)로 바꿔주기만 하면 된다.

3. 정다면체 및 테셀레이션

정다면체나 정규 테셀레이션을 {p,q}와 같이 쓰는데, 이는 "정p각형이 한 꼭지점에서 q개 모여 만들어지는 도형"이라는 의미이다.
유클리드 공간 도형의 경우, 한 꼭지점에 모이는 다각형들의 내각의 합이 360º이면 하나의 정다각형으로 평면을 채우는 '''"정규 테셀레이션"'''을 만들 수 있다. 비유클리드 평면, 또는 비유클리드 공간으로 개념을 확장하면 {6,4}와 같이 유클리드 평면/공간에서 불가능한 정다면체/정규 테셀레이션의 개념도 만들 수 있다.
따라서 볼록 5종, 오목 4종의 정다면체와 정규 테셀레이션 3종은 다음과 같이 쓸 수 있다.
비유클리드 초공간으로 개념을 확장하면 {7,3}, {5,4}, {8,3}와 같이 유클리드 초공간에서 불가능한 정다포체/정규 허니컴도 가능하다.

4. 4차원 정다포체 및 3차원 허니컴[2]

{p,q,r}과 같이 나타내며, {p,q}는 해당 도형을 이루고 있는 정다면체를 의미하며, r은 한 모서리에 정다면체가 몇 개 모였는지를 의미한다. 동시에 {q,r}은 이 정다포체/허니컴 꼭지점의 단면 형태를 나타낸다.
유클리드 3차원 공간에서는 단 하나의 정규 허니컴{4,3,4}만 존재한다.
6개의 볼록 정다포체와 10개의 오목 정다포체가 존재한다.
  • 4차원 볼록 정다포체
  • 4차원 오목 정다포체
    • {5/2,3,3} (큰 거대 별모양 백이십포체, Great Grand Stellated 120-cell)
    • {5/2,3,5} (큰 별모양 백이십포체, Great Stellated 120-cell)
    • {5/2,5,5/2} (거대 별모양 백이십포체, Grand Stellated 120-cell)
    • {5/2,5,3} (작은 별모양 백이십포체, Small Stellated 120-cell)
    • {3,5/2,5} (큰 이십면체 백이십포체, Great Icosahedral 600-cell)
    • {3,3,5/2} (거대 육백포체, Grand 600-cell)
    • {3,5,5/2} (정이십면체 백이십포체, Icosahedral 120-cell)
    • {5,5/2,3} (큰 거대 백이십포체, Great Grand 120-cell)
    • {5,5/2,5} (큰 백이십포체, Great 120-cell)
    • {5,3,5/2} (거대 백이십포체, Grand 120-cell)
  • 3차원 정규 허니컴
    • {4,3,4} 정육면체 허니컴
테셀레이션과 마찬가지로, 비유클리드 초공간으로 개념을 확장하면 {5,3,4}, {6,3,3}, {3,5,3}와 같이 유클리드 초공간에서 불가능한 정다포체/정규 허니컴도 가능하다.

5. 5차원 정다포체 및 4차원 허니컴

{p,q,r,s}과 같이 나타낸다.
  • 유클리드 4차원 공간에서는 3개의 정규 허니컴{4,3,3,4}, {3,4,3,3}, {3,3,4,3}이 존재한다.[3]
  • 5차원 이상에서는 오직 3가지의 정다포체만이 존재한다.
  • 5차원 볼록 정다포체
  • 4차원 정규 허니컴
    • {4,3,3,4} 정팔포체 허니컴
    • {3,4,3,3} 정이십사포체 허니컴
    • {3,3,4,3} 정십육포체 허니컴
2~4차원과는 달리 5차원부터는{5,3,3,3}, {3,3,3,5}이 비유클리드 초공간으로 넘어가게 되어 오각형 정다포체는 더이상 존재하지 않는다.

6. 6차원 이상의 정다포체 및 하위 차원 허니컴

{p,q,r,s,t,...}과 같이 나타낸다.
  • n (n ≥ 6)차원 볼록 정다포체
    • {3,3,...,3,3} (n-단체)[4]
    • {4,3,...,3,3} (n-초입방체)
    • {3,3,...,3,4} (n-정축체)
  • n - 1차원 정규 허니컴
    • {4,3,...,3,4} n - 1 입방체 허니컴

7. 관련 문서


[1] 허니컴(honeycomb) : 공간, 또는 초공간을 다포체를 사용하여 빈틈 없이 채운 것. 말 그대로 벌집이라는 뜻이다.[2] 허니컴(honeycomb) : 공간, 또는 초공간을 다포체를 사용하여 빈틈 없이 채운 것. 말 그대로 벌집이라는 뜻이다.[3] 다만 유클리드 5차원 이상은 무조건 1개의 허니컴만이 존재한다.[4] ... 부분에는 차원에 맞는 개수의 3이 들어간다. 예시: 6-초입방체 = {4,3,3,3,3}, 7-정축체 = {3,3,3,3,3,4}

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