정축체

2차원:'''정사각형'''	3차원:'''정팔면체'''	4차원:'''정십육포체'''

1. 개요

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正軸體 / Cross-polytope 또는 Orthoplex
기하학에 등장하는 도형의 일종. n차원 직교좌표계에서 '''원점으로부터 같은 거리에 있고 각각의 축 위에 있는 꼭지점'''을 가진 볼록 정다포체, 또는 그와 닮음인 도형을 의미한다. 방정식으로는 $$\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i|=1$$로 표현된다. n차원 초입방체와 쌍대 관계이다.

2. 정보

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n차원 정축체가 있을 때, 각각의 n에 대해 다음과 같다.
(단, $$n>m$$)

n	명칭	꼭짓점의 개수	선분의 개수	면의 개수	3차원 도형의 개수	m차원 다포체의 개수	포의 개수	쌍대 도형	이포각
0	점	1
1	선분	2	1				2	선분
2	정사각형	4	4	1			4	정사각형	90º
3	정팔면체	6	12	8	1		8	정육면체	약 109.47º
4	정십육포체	8	24	32	16		16	정팔포체	120º
n	n-정축체	$$2n$$	$$2n(n-1)$$	$$\dfrac{4n(n-1)(n-2)}{3}$$	$$\dfrac{2n(n-1)(n-2)(n-3)}{3}$$	$${2^{m+1}}_{n}\mathrm{C}_{m+1}$$	$$2^n$$	n-입방체	$$\cos^{-1}\left(\dfrac{2-n}{n}\right)$$

한 변의 길이가 $$a$$인 n-정축체가 있을 때, (단, $$n\ge1, 1\le m \le n-1$$)
m차원 겉부피 = $$_{n}\mathrm{C}_{m+1}$$$$\dfrac{2^{\frac{m}{2}+1}\sqrt{m+1}}{m!}a^m\quad$$
n차원 초부피 = $$\dfrac{\sqrt{2}^n}{n!}a^n\quad$$
언어적으로는 한국어를 기준으로 할 때, 1차원의 '점'이 2차원에서는 '각'으로 불리며, 이 각들이 모여 '형'을 이룬다. 다시 이 2차원의 '형'은 3차원에서는 '면'으로 불리며, 이 면들이 모여서 '체'를 이룬다. 4차원에서는 체들이 모여 '포'를 이루지만 최종 결과물은 여전히 '체'로 불린다.