정팔각형
1. 개요
正八角形 / regular octagon
모든 각 또는 모든 변#s-3이 같은 팔각형.
2. 상세
팔각형의 내각의 합은 $$1080^{\circ}$$이므로 정팔각형의 한 각은 $$135^{\circ}$$이다. 한 변의 길이가 $$a$$인 정사각형의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가 $$\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a$$인 직각삼각형을 깎아내면 한 변의 길이가 $$(\sqrt{2}-1)a$$인 정팔각형을 만들 수 있다. 다시 말해, 한 변의 길이가 $$a$$인 정팔각형을 만들기 위해서는 한 변의 길이가 $$(\sqrt{2}+1)a$$인 정사각형의 네 꼭짓점으로부터 두 변의 길이가 $$\frac{\sqrt{2}}{2}a$$인 직각삼각형을 깎아내면 된다.
이포각이 $$2\pi$$를 넘어가기 때문에 정팔각형을 면으로 하는 정다포체가 존재하지 않는다. 그나마 일부 면이 정팔각형인 경우는 반정다면체, 존슨 다면체에서 찾아볼 수 있는데, 깎은 정육면체가 대표적이다.
쌍대는 닮음 관계의 자기 자신이다.
3. 공식
한 변의 길이를 $$a$$라고 하면
- $$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=2\cot\dfrac{\pi}8a^2=2(1+\sqrt 2)a^2\approx 4.828a^2$$
- $$\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=8a$$
- $$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=8\tan\dfrac{\pi}8r^2=8(\sqrt 2-1)r^2\approx 3.314r^2$$
- $$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=4\sin\dfrac{\pi}4R^2=2\sqrt 2R^2\approx 2.828R^2$$