기약분수
1. 개요
旣約分數 / Irreducible fraction
분자와 분모가 서로소(둘의 공약수가 $$1$$밖에 없는) 상태여서 (다시 말해 '''이미(旣)''' 약분('''約'''分)이 다 끝나) 더 이상 약분을 할 수 없는 분수('''分數''')를 말한다. 예를 들어 $$\dfrac5{35}$$을 약분한다 하면 $$\dfrac17$$이 된다. 약분이 여러 단계인 경우 일부 단계만 끝난 분수는 기약분수가 아니기 때문에 약분된 분수가 모두 기약분수인 것은 아니다.
분수가 약분을 할 수 있는 상황이라면 최대한 약분해서 결과치를 기약분수로 만들어 깔끔하게 처리해야 한다. 수학 시험에서 기약분수로 바꾸지 않으면 가차없이 감점시키는 경우가 많다.
기약분수 중 분모가 분자보다 크면 진분수(眞分數), 분자가 분모보다 크면 가분수(假分數)라고 일컫는다.
2. 특징
- 서로 같은 값을 갖는 여러 분수들과 같은 값을 갖는 기약분수는 오직 하나 뿐이다. 예를 들어 $$0.6$$의 값을 갖는 분수는 $$\dfrac{60}{100}$$, $$\dfrac6{10}$$, $$\dfrac35$$ 등으로 무수히 많지만 이들 중 기약분수는 $$\dfrac35$$뿐이다.
- 분자가 $$1$$인 분수는 모두 기약분수다. 모든 자연수가 $$1$$과 서로소이기 때문. 분모가 $$1$$인 경우는 분수로서 유의미한 의미를 지니지 않기 때문에 고려하지 않는다.
2.1. 기약분수의 덧셈/뺄셈
- 분모의 곱을 공통분모로 해서 통분할 때[1], (기약분수)$$+$$(기약분수) 는 더하는 두 분수의 분모가 서로소이면 기약분수다. $$a\perp b$$, $$c\perp d$$, $$b\perp d$$($$\perp$$는 서로소 기호)인 자연수 $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$에 대해, $$\dfrac ab + \dfrac cd = \dfrac{ad+bc}{bd}$$인데, $$a\not\perp b$$ 또는 $$c\not\perp d$$일 때만 각각 $$b$$, $$d$$ 또는 그 인수가 분자, 분모의 공통인수이므로 $$(ad+bc)\not\perp bd$$가 되어 기약분수가 아니게 된다. 그러나 이것은 $$a\perp b$$, $$c\perp d$$라는 전제에 모순이다. 따라서 분모가 서로소인 두 기약분수의 덧셈 결과는 기약분수이다.
- 분모가 서로 같은 (기약분수)$$+$$(기약분수)는 분모가 소수일 때, 합성수일 때 모두 반드시 기약분수인 것은 아니다. 예를 들어 $$\dfrac25$$와 $$\dfrac35$$은 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 $$\dfrac55 = 1$$이므로 기약분수가 아니며, $$\dfrac2{15}$$와 $$\dfrac4{15}$$는 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 $$\dfrac6{15} = \dfrac25$$이므로 기약분수가 아니다.
- 분모가 서로 다른 경우라도 이들이 서로소가 아닌 경우, 반드시 기약분수인 건 아니다. 예를 들어 $$\dfrac1{12}$$과 $$\dfrac1{20}$$은 모두 기약분수이지만 둘을 더하면 $$\dfrac8{60} = \dfrac2{15}$$이므로 기약분수가 아니다. 한쪽만 소수인 경우도 그 예가 될 수 있는데, 예를 들어 $$\dfrac1{5} + \dfrac1{20} = \dfrac5{20} = \dfrac14$$이므로 기약분수가 아니다.
- 분모가 서로소인 세 개 이상의 기약분수의 덧셈을 이와 같은 방법으로 하면 (기약분수)$$+$$(기약분수)$$=$$(기약분수) 이므로 결국 기약분수가 된다.
- (기약분수)$$-$$(기약분수)는 (기약분수)$$+$$(기약분수)에서 뒤쪽 기약분수에 $$-1$$을 곱한 경우로 볼 수 있다. 따라서 분모의 곱을 공통분모로 하여 통분할 때 덧셈과 마찬가지의 성질을 갖는다.
2.2. 기약분수의 곱셈/나눗셈
- 곱해져서 얻어지는 분수의 분모를 각각의 분모의 곱으로 할 때, (기약분수)$$\times$$(기약분수) 는 곱하는 두 분수의 분모가 서로 같은 경우 기약분수이다. 두 분수를 각각 $$\dfrac ab$$, $$\dfrac cb$$라 하면 두 분수를 곱한 결과는 $$\dfrac{ac}{b^2}$$이고 $$b\perp a$$, $$b\perp c$$이므로 $$b^2\perp a$$, $$b^2\perp c$$이다. 따라서 $$b^2\perp ac$$이므로 기약분수이다. 예를 들어 $$\dfrac34$$과 $$\dfrac14$$은 모두 기약분수이고 곱하면 $$\dfrac3{16}$$인데, 이것도 기약분수이다.
- 단, 분모가 서로 다른 경우 기약분수임을 보장할 수 없다. 예를 들어 $$\dfrac23$$, $$\dfrac35$$은 모두 기약분수이지만 $$\dfrac{2{\cdot}3}{3{\cdot}5} = \dfrac6{15} = \dfrac25$$이므로 기약분수가 아니다.
- 분모가 모두 서로 같은 세 개 이상의 기약분수의 곱셈을 이와 같은 방법으로 하면 (기약분수)$$\times$$(기약분수)$$=$$(기약분수)이므로 결국 기약분수가 된다.
- (기약분수)$$\div$$(기약분수)는 나누는 기약분수에 역수를 취해서 (기약분수)$$\times$$(기약분수)꼴로 만들어줄 수 있다. 따라서 나누어지는 분수의 분모와 나누는 분수의 분자가 서로 같으면 기약분수이다. 예를 들어 $$\dfrac14$$을 $$\dfrac43$$로 나누면 $$\dfrac14\div\dfrac43 = \dfrac14\times\dfrac34 = \dfrac3{16}$$으로 기약분수다.
2.3. 기약분수의 제곱
- 자연수 $$n$$에 대해, 기약분수의 $$n$$제곱, 즉 분자와 분모를 각각 $$n$$제곱한 분수는 모두 기약분수이다. 기약분수 $$\dfrac ab$$를 제곱하면 $$\dfrac{a^n}{b^n}$$이 되고, $$a\perp b$$이므로 $$a^n\perp b^n$$이다. 예를 들어 $$\dfrac35$$는 기약분수이고, $$\left(\dfrac35\right)^3 = \dfrac{27}{125}$$ 역시 기약분수다.
3. 기약분수를 만드는 방법
분자와 분모의 최대공약수로 약분하면 쉽게 기약분수로 만들 수 있다. 분자와 분모가 둘 다 아주 작은 수이면 초등교과에서 했던 것처럼 소인수분해해도 되지만, 보통 유클리드 호제법이 훨씬 효율적이다.
4. 유리식
두 다항식을 분자와 분모로 해 분수 모양으로 나타낸 걸 유리식이라고 하는데, 여기서 두 다항식이 서로소인 경우에도 기약분수라고 한다. 예를 들어 $$\dfrac{xy}{(x+1)(y+1)}$$는 두 다항식 $$xy$$, $$(x+1)(y+1)$$이 서로소이므로 기약분수이다.
상술한 성질들은 정수 대신 다항식을 대입하여 증명하면 되므로 성립한다. 소수의 경우는 약분할 수 없는 기약 다항식(irreducible polynomial)으로 대신하면 된다.
[1] 당연하겠지만 $$\dfrac1a + \dfrac1b = \dfrac1{a+b}$$처럼 계산하면 틀린다.