무한 지수 탑 함수

1. 개요

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infinite power tower function ・ 無限 指數 塔 函數

$$ y=x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }\!\!\!=x\uparrow\uparrow\infty$$

위와 같은 함수를 '''무한 지수 탑 함수'''라고 한다. $$x$$를 밑으로 하여 무한히 $$x$$제곱을 하는 함수로서, 지수함수이며 비초등함수이다. $$x$$에 무한대의 테트레이션을 취한다고도 할 수 있으므로 '''무한 테트레이션'''이라고도 한다.
이 함수는 일반적인 방법으로 함숫값을 기술하기가 까다로우며, 해석적 확장[1][2]을 통해 다음과 같이 람베르트 W 함수와 복소로그함수로 표현해야 한다. 유도 과정 보기

$$y=-\dfrac{W(-\operatorname{Log}{x})}{{\operatorname{Log}{x} }}$$

[1] 쉽게 말하자면 실수에서 발산하는 부분을 복소수로 빙 돌아가서 값을 구하는 과정을 말하는데, 대표적인 예로 모든 자연수의 합을 $$-1/12$$로 계산하는 라마누잔합이 있다.

[2] 해석적 확장을 쓰지 않고 정의역을 $$[1/e^{e},\,\sqrt[e]{e}\;\!]$$로 제한해서 정의하는 방법도 있다.

해석적 확장을 이용하기 때문에 이 함수는 모든 '''복소수'''에서 수렴하며, [math(\Im(y)=0)]을 만족시키는 실수의 정의역은 [math(x \in (0,\,1) \cup (1,\,\sqrt[e]{e}\;\!])][3]이다.

2. 알려진 함숫값

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$$\boldsymbol x$$	$$\boldsymbol y$$	'''비고'''
[math(0)]	[math(0)]	로피탈의 정리 필요[4], 가장 작은 실숫값, 해석적 확장
$$\dfrac{1}{4^4}$$	$$\dfrac{1}{4}$$	해석적 확장
$$\dfrac{1}{\pi^{\pi}}$$	$$\dfrac{1}{\pi}$$	해석적 확장
$$\dfrac{1}{3^3}$$	$$\dfrac{1}{3}$$	해석적 확장
$$\dfrac{1}{e^e}$$	$$\dfrac{1}{e}$$
$$\dfrac1{2^2}$$	$$\dfrac12$$
$$\dfrac{1}{e}$$	[math(\Omega)]
[math(\Omega)]	$$e^{\Omega}W(\Omega)$$[5]
$$1$$	$$1$$	로피탈의 정리 필요[6]
$$\sqrt2$$	$$2$$
$$\sqrt[e]{e}$$	$$e$$	가장 큰 실숫값
$$-1$$	$$\dfrac{W(-\pi i)}{\pi}i$$[7]	해석적 확장
$$e$$	$$-W(-1)$$[* 약 [math(0.3181\cdots - 1.3372\cdots i)]]	해석적 확장
$$\sqrt{e^{\pi}}$$	$$-i$$	해석적 확장
$$i$$	$$e^{-W(i\pi/2)}$$[8]

아래는 $$y: {\mathbb R}\mapsto {\mathbb C}$$에 대응하는 그래프이다. 파란색은 $$\Re(y)$$, 보라색은 $$\Im(y)$$이다.

한편 위 표에서 보듯 특이한 성질이 있는데, $$1/(x\uparrow\uparrow 2)$$ 꼴의 수는 함숫값이 $$1/x$$이 된다.

3. 도함수

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우선, 본 함수는 $$x$$제곱을 무한히 많이 취하는 함수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.[9]

$$y={\color{red}x^{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }}\rightarrow\quad y=x^\color{red}{x^{x^{x^{.^{.^.}} }} }$$

[3] 이 집합은 밑이 같은 지수함수와 로그함수가 교점을 갖는 밑의 집합이기도 하다.

[4] 그대로 계산할 경우 $$\dfrac{\infty}{\infty}$$의 부정형이 된다. 0의 0제곱#s-2.3 참고.

[5] 약 $$0.68$$

[6] 그대로 계산할 경우 $$\dfrac00$$의 부정형이 된다.

[7] 약 $$0.266 \cdots +0.2943 \cdots i$$

[8] 약 $$0.4383\cdots - 0.3606\cdots i$$

[9] 일명 힐베르트의 호텔.

이에 $$y=x^\color{red} y$$이고, 양변에 자연로그를 취하면

$$\ln y=\ln{x^y}=y \ln{x}$$

양 끝의 식을 $$x$$에 대하여 미분하면

$$\begin{aligned} \dfrac1y \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y\dfrac1x+\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\end{aligned}$$

계산의 편의를 위하여 양변에 $$xy$$를 곱하면

$$\begin{aligned} x\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=y^2+xy\ln{x}\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\\ \therefore \dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}&=\dfrac{y^2}{x-xy\ln x} \quad (x \neq xy\ln x) \end{aligned}$$

이 도함수는 상기했듯 복소함수로 나타낼 수 있으며, 매끄러운 함수이면서 테일러 전개가 가능한 정칙 함수임이 알려져 있다.

$$\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{[W(-\operatorname{Log}{x}) ]^2}{ x \operatorname{Log}^{2}{x} [W(-\operatorname{Log}{x}) + 1 ] } $$

4. 역도함수

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반면, 도함수와는 달리 역도함수는 현 시점에선 알려진 바가 없다. 고작 지수가 하나만 있는 $$y=x^x$$만 해도 2학년의 꿈이라는 특수해만 알 뿐 일반화된 해법이 없는 실정인데, 무한 지수 탑 함수에 대한 역도함수가 있을 리가 없다.
다만 병리적 함수는 아니므로 수치해석을 이용한 정적분은 가능하다. [math((0,\,\sqrt[e]{e}\;\!])] 구간 정적분