분수(수학)
1. 개요
'''분수'''(分數, fraction)는 정수 $$a$$를 [math(0)]이 아닌 정수 $$b$$로 나눈 몫을 $$\dfrac ab$$(혹은 $$a/b$$)로 표시한 것을 말한다. 분자와 분모로 나뉘며, $$a$$쪽을 분자(分子, numerator), $$b$$쪽을 분모(分母, denominator)라 부른다. 한국어와 일본어에서는 '$$b$$로 $$a$$를 나눈다'라는 의미를 살려 $$b$$분의 $$a$$($$b$$分の$$a$$)라고 읽지만[1], 영어에서는 '$$a$$가 $$b$$ 위에 있다'라는 형태를 살려 $$a$$ over $$b$$로 읽는다.[2] 그래서 한국인이나 일본인들이 분수를 적을 때에는 분모부터 적으나, 영미권 사람들이 분수를 적을 때에는 분자부터 적는다. 예를 들어 $$p$$, $$q$$를 쓴다고 하면 $$p$$와 $$q$$의 위치에 따라 그 사람이 대강 어느 문화권의 사람인지 어림짐작할 수 있다.
/ 기호를 이용하여 분수를 가로쓰기로 나타낼 때 읽는 순서대로, 이를테면 $$\dfrac12$$을 '이 분의 일'로 읽으므로 $$2/1$$로 쓰는 경우가 있는데 이는 틀린 용법으로서, 정반대의 의미가 된다. /(슬래시)는 읽는 순서가 반대이며, 예시를 올바르게 나타내면 $$1/2$$이다. 슬래시는 나눗셈 기호(÷)와 상호 교환해서 쓸 수 있다.
정수 이외에 제곱근이 들어간 무리수, 다항식 등등을 분수 꼴로 표현한 것을 분수 표현(fractional expression)이라고 하고, 보통 중등교과 이상에서는 분수라 하면 이 넓은 의미의 분수 표현을 일컫는 경우가 더 많다. 수로서의 정수 분수는 유리수라 부르는 것이 보편적이므로 혼동을 주지는 않는다.
2. 종류
종류로서 가분수, 진분수, 대분수, 번분수, 연분수가 있다.
- 가분수(improper fraction): $$\dfrac{12}7$$, $$\dfrac 77$$처럼 분자가 분모보다 크거나 같은 것.
- 진분수(proper fraction): $$\dfrac37$$처럼 분자가 분모보다 작은 것. 정확한 뜻은 가분수 용어의 기원 부분 참조.
- 대분수(mixed fraction): $$1 \dfrac57$$처럼 가분수를 정수와 진분수의 합으로 표현한 것.
이때, 진분수의 소수 부분이 진분수, 정수 부분이 가분수임을 알려준다. 후술하다시피 중등 이상 과정에서는 잘 안 쓴다.
- 번분수(complex fraction): $$\dfrac{\left(\dfrac35\right)}7$$처럼 분모 혹은 분자에 또 다른 분수가 있는 것.
- 연분수(continued fraction): $$3 + \cfrac1{2+\cfrac15}$$처럼 분모가 정수와 분수의 합으로 연달아 표기되는 것. 각 분수에서 모든 분자가 $$1$$이면 단순연분수(simple continued fraction) 혹은 정칙연분수(regular continued fraction)라고 한다.
게다가 식에서 곱셈의 경우에도 분수 앞에 수를 써서 기입하는 경우가 있는데[5] 이걸 대분수와 헷갈리기 시작하면 답이 없다. 그래서 대분수 사용을 지양하는 게 아니라 사실상 금기시하며 수능에서도 나오지 않는다. 나왔다 하면 2점 문제라해도 오답자가 속출할 것이다. 미국의 수능격인 SAT 수학 단답형 표기 때도 가분수 표기만을 인정한다고 요강에 명시되어 있다. [6] 이를테면 어떤 문제의 정답이 $$3\dfrac12$$이라서 OMR에다 31/2라고 마킹하면 $$\dfrac{31}2$$로 인식돼서 오답으로 처리된다. 이쯤 되면 가분수를 일일이 대분수 꼴로 바꿔 적는 사람이 아싸로 보이는 지경까지 이르게 된다. 여기에 일상적인 상황에서도 정수가 아닌 수를 표현할 때는 거의 항상 소수로 표현하기 때문에, 대부분의 성인은 $$9 \dfrac34$$ 승강장 정도가 아닌 이상 대분수 표현을 볼 일이 전혀 없다고 봐도 무방하다. 밀덕이라면, 제 2차 세계 대전 시기 독일의 설계도가 대분수로 적혀있어서 가분수에 익숙한 사람에게 혼동을 준다.
초등교과에서 분수를 진분수 → 대분수 → 가분수 순으로 가르치는 것은 대분수가 먼저 등장한 역사를 따라가는 문화적 목적도 있겠지만 교육적 목적이 더욱 크다. 분수의 도입은 보통 $$1$$을 작은 조각으로 나누는 식으로 이루어지는데[7] 이러면 진분수가 자연스럽게 먼저 나오고 그 다음에 대분수를 (진분수)$$+$$(자연수) 꼴로 생각하는 것이 자연스럽다. 문제는 여기서 가분수 개념으로 넘어가야 하는데, 많은 학생들이 어떻게 분모 개수보다 많은 조각을 생각하는지 이해하기 힘들어한다. 즉 나눗셈에 익숙해진 사람들과는 다르게 초딩들 입장에서는 가분수를 인식하는 게 제일 어렵다. 가분수/대분수 전환 노가다를 시키는 이유도 분수의 사칙연산 같은 걸 맞닥뜨리기 전에 어떻게든 학생들을 가분수에 익숙해지게 만들어야 하기 위해서이다. 이 분수 도입이 초딩들에게는 자연수가 아닌 수와 처음으로 대면하는 과정이라, 여기서 수포자가 갈린다는 연구 결과도 있다.
비록 학년이 올라가면서 대분수의 사용은 봉인되지만, 조금 확대해석을 하자면 소수가 포함된 수를 분석하여 정수 부분과 소수 부분으로 나눈다는 아이디어 자체는 굉장히 요긴하게 쓰일 때가 많다. 지수, 로그[8], 삼각함수 등 초월함수를 다룰 때 특히 많이 사용되는 아이디어이다.
2.1. 기약분수
기약분수 문서 참고. 분자와 분모가 서로소인 분수를 ‘기약분수’라고 한다.
3. 여담
고대 이집트는 분수 계산의 달인들이었다. 특히 분모가 1인 분수인 단위분수의 합으로 나타내는 것을 일명 '이집트 분수'라고 부르는데, 이 불편하기 짝이 없는 분수를 왜 썼는가 하면, 이 분수는 계산하기엔 불편하지만, 일꾼들에게 봉급을 분배할 때는 매우 편리하기 때문이다.
뱀발로, 요즘은 머리가 큰 사람을 보고 대두라고 하지만 90년대까지만 해도 가분수라고 더 많이 표현했다.
2019년 6월 서울시에서 성차별적인 용어들로 선정되어서 분자는 윗수, 분모는 아랫수로 바꿔 부르는 것으로 장려하여 논란이 되고 있다. 분수의 모양과 모자(母子)의 의미를 고려했을 때 어머니가 아들을 업고 있는 이미지를 연상시킨다는 것. 상식적이지만, 논리와 인과 개념에서 '''모'''는 상위 개념 또는 개체, '''자''' 또는 '''자식의 의미'''를 갖는 단어는 하위 개념 또는 개체를 말한다. 전체 수량(모)에서 일부 수량(자)를 나타내는 것이지 이해하기 쉬우라고 아들을 업고 있는 어머니의 뜻을 연상시키도록 만든 단어가 아니다. 같은 개념으로서 모세포-딸세포, 모집단, 모평균, 모표준편차, 모분산 등이 있다.
''''''
4. 관련 문서
[1] 한국어를 비롯하여 한자문화권에서는 $$b$$分之$$a$$라고 읽는다.[2] 영어권에서 한인 학생들끼리 대화할 때는 '분자(한국어) over 분모(한국어)'라고 하기도 한다. 예를 들어 $$\dfrac{12}7$$ 같은 경우 '십이 over 칠'이라고 하기도 한다. 이렇게 말해도 서로 잘 알아듣는다.[3] 이 대괄호는 가우스 기호다. 지정된 수보다 크지 않은(=작거나 같은) 최대 정수라는 의미. 현대에는 $$\displaystyle \left\lfloor\frac{p}{q}\right\rfloor$$ 기호가 더 보편적이다.[4] $$\left\{\dfrac{p}{q}\right\}$$, $$\dfrac{p \bmod q}q$$로 쓸 수도 있다. 여기서 중괄호는 진분수만 취한다는 뜻이며, $$\bmod$$는 합동식의 그것과는 다른 용법으로, '$$p$$를 $$q$$로 나눈 나머지'를 의미한다.[5] 덧셈, 뺄셈과는 달리 곱셈, 나눗셈으로 묶인 수들은 한 덩어리로 취급해야 여러모로 다루기 편하기 때문에 따로 특별히 명시해야 할 목적이 없는 이상 $$\times$$, $$\cdot$$ 등의 기호는 종종 생략된다.[6] SAT 수학 단답형 OMR에는 분수도 표기할 수 있다.[7] 예를 들어 $$\dfrac23$$ 같은 경우는 케이크를 $$3$$조각으로 나눈 것 중 $$2$$조각[8] 로그를 정수 부분과 소수 부분으로 나누어서 생각하여 나오는 것이 바로 그 유명한 지표와 가수다.