등비수열

 



1. 개요
3. 등비중항
4. 함수로 해석하기
5. 성질
7. 등비수열의 합
7.1. 등비수열의 절댓값의 합
7.1.1. 예제
7.2. 제2항부터 등비수열인 경우
8. 기타
9. 관련 문서


1. 개요

geometric sequence(progression) · 等比數列
2, 4, 8, 16, 32, $$\cdots$$처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 수열을 '''등비수열'''이라고 한다. 여기에서 연속한 두 항의 비를 '''공비'''(common ratio, 公比)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항을 $$a \;(a \neq 0)$$, 공비를 $$r$$로 표기한다. 첫째 항은 '''초항'''(初項)이라고도 하며, 문자 $$r$$은 비(比)를 뜻하는 ratio의 머리글자이다.

2. 일반항

수열 $$\{a_{n} \}$$이 공비가 $$r$$인 등비수열이면 임의의 자연수 $$k$$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=r$$

분류

이에 따라 등비수열 $$\{a_n\}$$의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의#s-2.1.2 문서를 참고하라.

$$a_n=ar^{n-1}$$

분류

꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 일반항을 정할 수 있다.

3. 등비중항

$$a$$, $$b$$, $$c$$가 등비수열의 연속한 세 항일 때, $$b$$를 $$a$$와 $$c$$의 '''등비중항'''이라고 한다.

$$\begin{aligned} \dfrac ba=\dfrac cb \; & \to \; b^2=ac \\ & \to \; b=\pm \sqrt{ac} \end{aligned}$$

분류

예를 들어 등비수열 $$a_n$$에 대하여 $$a_6$$, $$a_7$$, $$a_8$$의 등비중항은 $$a_7=\pm \sqrt{a_6a_8}$$이다.
다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 $$b=\sqrt{ac}$$로 표현되어 그대로 '''나머지 두 항의 기하평균'''이 된다.

4. 함수로 해석하기

등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 $$a_n=ar^{n-1}$$에 대하여 좌표평면에 $$(n,\, a_n)$$을 나타내면 다음과 같다.
[image]
각 점의 $$n$$좌표는 몇 번째 항인지를, $$a_n$$좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 '''지수함수의 그래프의 위에 있다.''' 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 '''자연수만을 정의역으로 하는 지수함수'''이다.
이에 따라 $$a_n$$에서 본디 $$n$$은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 $$n$$이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.
  • 등비수열 $$a_n=2^n$$에 대하여
    • $$a_3$$과 $$a_4$$의 기하평균은 $$a_{3.5}=2^{3.5}=\sqrt{128}$$
    • $$a_5$$과 $$a_6$$의 기하평균은 $$a_{5.5}=2^{5.5}=\sqrt{2048}$$
    • 위 두 값의 비는 $$\dfrac{a_{8.5}}{a_{5.5}}=a_{5.5-3.5}=2^2=4\biggl(=\sqrt {\dfrac{2048}{128}} \biggr)$$

5. 성질

등비수열 $$\{a_n\}$$과 임의의 음이 아닌 정수 $$m$$에 대하여 다음이 성립한다.
특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다.
$$\begin{aligned}a_5a_7&=3\\\rightarrow\;a_1a_2\cdots a_{11}&=(a_1a_{11})(a_2a_{10})(a_3a_9)(a_4a_8)(a_5a_7)a_6\\&=\begin{cases}\begin{aligned}\sqrt{3^{11}}&=243\sqrt 3\quad &(a_6=ra_5>0)\\-\sqrt{3^{11}}&=-243\sqrt 3 \quad&(a_6=ra_5<0)\end{aligned}\end{cases}\end{aligned}$$

6. 극한

첫째 항 $$a$$와 공비 $$r$$에 따라 등비수열 $$a_{n}=ar^{n-1}$$의 극한은 달라진다. oscillation은 '''진동'''을 뜻한다.

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}ar^{n-1}=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\;&(r>1,\;a>0)\\&-\infty\;&(r>1,\;a<0)\\&a\;&(r=1)\\&0\;&(-1<r<1) \\&\small{\textsf{oscillation}} \;&(r \leq -1) \end{aligned}\end{cases}$$

분류

따라서 등비수열이 수렴하기 위한 $$r$$의 범위는 아래와 같다.

$${-1<r\leq 1}$$

분류


7. 등비수열의 합

첫째 항이 $$a$$이고 공비 $$r$$이 1이 아닌 등비수열 $$\{a_n\}$$에 대하여, 항을 소거하기 위하여 $$S_n$$에서 $$rS_n$$을 빼어 등비수열의 합을 구한다.
$$\begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&\\ - & rS_{n}&=&&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\ \hline &(1-r)S_{n}&=&a(1-r^n) \\ \\ \end{matrix} \\ \therefore S_{n} =\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \quad (r \neq 1) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; $$
한편, 위 공식에 $$r=1$$을 대입하면 '''분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다'''(부정형). 공식을 유도하는 과정을 보더라도 $$r=1$$이면 우변의 모든 항이 소거되어 공식을 제대로 유도할 수 없다. 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.

$$S_n=an \quad (r=1)$$

분류

로피탈의 정리를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다.

$$\displaystyle\lim_{r\to 1}\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\overset{\sf l'H\hat{o}pital}{=}\lim_{r\to 1}\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an$$

분류


7.1. 등비수열의 절댓값의 합

등비수열 $$\{a_n\}$$에 대하여 $$\sum |a_k|$$를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 $$a_1$$부터 $$a_n$$까지의 합을 기준으로 설명한다.
등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 $$\{a_n\}$$에 대하여 $$a_1$$부터 $$a_n$$까지의 항 중에서 양수 항들의 합을 $$P_n$$, 음수 항들의 합을 $$M_n$$이라 하면
  • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=P_n+M_n=S_n$$
  • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=P_n-M_n=S_n-2M_n$$
  • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2P_n=2(S_n-M_n)$$
  • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2M_n=2(S_n-P_n)$$
이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 $$M_n=0$$, 음수이면 $$P_n=0$$인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 '''각주를 참고하라.'''
  • 모든 항이 양수
    • 첫째 항과 공비가 모두 양수
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^n a_k$$
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=2\sum_{k=1}^n a_k$$
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=0$$
  • 모든 항이 음수
    • 첫째 항은 음수, 공비는 양수
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=-\sum_{k=1}^n a_k$$
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=0$$
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^n |a_k|=-2\sum_{k=1}^n a_k$$
  • 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수
    • 첫째 항은 양수, 공비는 음수
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1}-2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1)$$ [1]
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1}$$ [2]
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1)$$ [3]
  • 홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수
    • 첫째 항과 공비가 모두 음수
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n |a_k|=\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}-2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1}$$ [4]
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1)$$ [5]
    • $$\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-|a_k|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1}$$ [6]

7.1.1. 예제

[image]
'''2019학년도 3월 고3 나형 16번'''
[풀이 보기]
$$\{a_n\}$$의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다.
$$\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^9(|a_k|+a_k)&=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)\\&=2(a_1+4a_1+16a_1+64a_1+256a_1)\;(\because r^2=4)\\&=682a_1=66 \\ \\\end{aligned} \\ \therefore a_1=\dfrac{66}{682}=\dfrac{3}{31}$$

$$\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^9(|a_k|+a_k)&=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)\\&=2(a_1+4a_1+16a_1+64a_1+256a_1)\;(\because r^2=4)\\&=682a_1=66 \\ \\\end{aligned} \\ \therefore a_1=\dfrac{66}{682}=\dfrac{3}{31}$$
=== 제2항부터 등비수열인 경우 ===결론부터 말하면, 등비수열의 합은 $$ar^n+b$$의 꼴이며, $$a+b=0$$이면 첫째 항부터, $$a+b\neq 0$$이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다.우선 앞서 밝힌 등비수열 $$\{a_n\}$$의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}S_n&=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\&=\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\&=\dfrac{a}{r-1}r^n-\dfrac{a}{r-1}\end{aligned}$$여기에서 $${a}/{(r-1)}$$를 $$p$$로 고쳐 쓰자.

$$S_n=pr^n-p$$$$a=p$$, $$b=-p$$이고 $$a+b=0$$이 성립하므로, $$\{a_n\}$$은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 $$S_n=5^n-1$$이면 $$a=1,\;b=-1$$이므로 $$\{a_n\}$$은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, $$S_n=5^n-2$$이면 $$a=1$$, $$b=-2$$이므로 $$\{a_n\}$$은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.
$$S_n=5^n-{\color{red} 1}$$
$$a_1(=S_1)$$
$$a_2$$
$$a_3$$
$$a_4$$
$$\cdots$$
$${\color{red} 4}$$
$$20$$
$$100$$
$$500$$
$$\cdots$$
$$S_n=5^n-{\color{red} 2}$$
$$a_1(=S_1)$$
$$a_2$$
$$a_3$$
$$a_4$$
$$\cdots$$
$${\color{red} 3}$$
$$20$$
$$100$$
$$500$$
$$\cdots$$
$$a_n$$의 다른 모든 항은 같고 $$a_1$$만이 1의 차이가 나므로 $$S_n$$ 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.
주의할 것은 $$S_{\boldsymbol n}$$이 $$a+b=0$$인지의 여부를 따질 때는 '''지수가 $$\boldsymbol n$$이어야 한다'''는 점이다. 예로 다음 $$S_n$$에 대하여, 각각 $$\{a_n\}$$이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 $$k$$의 값을 구해 보자.
  • $$\boldsymbol{S_{n}=4^{n+1}-k}$$
    • $$S_n=4\cdot 4^n-k $$이므로 $$\{a_n\}$$이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 $$4-k=0$$, $$k=4$$
  • $$\boldsymbol{S_n=4^{n-1}+k}$$
    • $$S_n=4^{-1}\cdot 4^n+k$$이므로 $$\{a_n\}$$이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 $$\dfrac{1}{4}+k=0$$, $$k=-\dfrac{1}{4}$$

7.2. 무한등비급수



8. 기타


9. 관련 문서

[1] (등비수열의 절댓값의 합)=(홀수 번째 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)[2] 홀수 번째 항들의 합의 2배[3] 짝수 번째 항들의 합의 2배[4] (등비수열의 절댓값의 합)=(짝수 번째 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)[5] 짝수 번째 항들의 합의 2배[6] 홀수 번째 항들의 합의 2배

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