무한소수
1. 개요
無限小數
'''무한소수'''는 소수점 밑으로 무한히 이어지는 소수를 의미하며, 크게 순환소수와 비순환소수로 나뉜다. 유한소수와 달리 소수점 아래의 자리가 끝없이 이어지는 소수를 말한다. 유명한 예로는 원주율(=3.141592...)이 있다. 일정한 지점 이후에서 숫자가 반복되느냐에 따라 순환소수(유리수)와 비순환소수(무리수)로 나뉘며, 비순환소수는 다시 대수적 무리수와 초월수로 나뉜다. 무한소수 중에서도 순환하는 무한소수다. 즉, 0.'''3'''33333...[1] 이나 0.47'''834'''834834...[2] 처럼 순환마디가 계속해서 반복되는 소수다. 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2, 5 이외의 것이 있다.
2. 순환소수
일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 소수다. 나타낼 때는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[3]
- $$0.333333 \cdots = 0. \dot 3$$
- $$0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4$$
- $$0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4$$
첫째 자리부터 시작되면 '''순순환소수'''라고 하고, 둘째 자리 혹은 그 이후부터 시작되면 '''혼순환소수'''라고 한다.
2.1. 순환소수의 유리화
순환소수의 유리화(분수로 고치기)는 다음과 같은 방법으로 가능하다.
- 대수적 방법
두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. $$0. \dot 3$$의 경우
- $$a=0.333333 \cdots$$로 놓으면
- $$10a=3.333333 \cdots$$ (ㄱ)
- $$a=0.333333 \cdots$$ (ㄴ)
- (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 $$9a=3 \; \therefore a=\displaystyle \frac{1}{3}$$ (약분을 해야 한다) [4]
$$0. \dot 14285 \dot 7$$의 경우
- $$a=0.142857142857 \cdots$$로 놓으면
- $$1000000a=142857.142857 \cdots$$ (ㄱ)
- $$a=0.142857142857 \cdots$$ (ㄴ)
- (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 $$999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7}$$
- 등비급수를 이용한 방법
- $$2.32 \dot 4$$는 $$2.32 + 0.00 \dot 4$$로 쓸 수 있다.
- $$0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{1}{100} \left( \frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n$$
여기서 $$\Sigma$$ 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 $$\displaystyle \frac{1}{10}$$인 등비급수다.
- 첫째항이 $$a$$, 공비가 $$r$$인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 $$\displaystyle \frac{a}{1 - r}$$이므로,
$$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n = \displaystyle \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9}$$
- 그러므로 $$2.32 \dot 4 = 2.32 + 0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{1}{9} \right) = \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{900} = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225}$$
- 쉬운 방법
위와 같이 $$2.32 \dot 4$$를 예로 들면
- 분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
- 분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.
위와 같은 과정을 따르면 $$\displaystyle \frac{2324-232}{900} = \frac{2092}{900}$$이 나오게 된다. 약분까지 하면 $$\displaystyle \frac{523}{225}$$.
여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.}}}[ 증명 펼치기 · 접기 ]
3. 비순환소수
일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하지 않는 소수다. 순환소수(유리수)와 달리 분모, 분자가 서로소로 이루어진 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수며 당연히 유리수에 포함되지 않는다.
비순환소수로는 $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt{3}$$등 대수적인 무리수와, [math(\pi)](파이, 원주율), 자연로그의 밑 $$e$$, 오메가 상수, 겔폰트-슈나이더 상수 등 초월수에 속하는 무리수가 있다.
4. 기타
십진법에서 유한소수로 표현되는 수라도 진법을 바꾸면 무한소수가 될 수 있다. 그 반대의 경우도 마찬가지. 예를 들어 0.2를 이진법으로 나타내면 $$0. \dot 001 \dot 1_{(2)}$$이 나온다. 일반적으로 기약분수를 $$k$$진법의 소수로 나타내었을 때 유한소수이기 위해서는 분모의 모든 소인수가 $$k$$의 소인수여야 한다. 이는 십진법에서 유한소수가 될 때 분수의 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 한다는 점을 생각하면 이해하기 쉽다.
[1] 순환마디는 3이다.[2] 순환마디는 834이다.[3] 숫자가 아니라 문자에 점이 찍히면 시간에 대해서 미분한다는 의미가 될 수 있지만 이런 표기법은 동역학 외의 영역에서는 별로 사용되지 않으므로 그닥 신경쓰지는 않아도 된다.[4] 같은 방식으로 $$0. \dot 9$$를 유리화 하면 $$9a=9 \; \therefore a=1$$ 이므로 $$0. \dot 9=1$$이라는 드립도 있다.