오메가 상수

 


1. 내용
2. 관련 문서


1. 내용

초월수의 하나로, 다음 방정식의 실수해이다.
$$x e^x - 1 = 0$$
이 방정식은 대수학적인 방법으로는 풀기는 어렵고, 그래프를 동원한 해석기하학적인 방법을 동원하면 대략적인 근사값을 찾을 수 있다.
$$xe^x=1$$에서 양변에 자연로그를 취하고 이항해주면 위 식은 다음과 같이 자연로그와 일차함수의 방정식이 된다.
$$\ln x = -x$$
두 함수 모두 양수인 실수 정의역에서 전단사 함수이기 때문에 위 방정식을 만족하는 해는 단 하나 존재하며 그래프를 그려보면 [math(0)]과 $$1$$ 사이에 해가 있음을 알 수 있다.
그러나 이 해를 일반적인 방법[1]으로 기술하기가 매우 까다롭기 때문에, 역함수인 람베르트 $$W$$ 함수를 이용하는 방식으로 해를 나타낸다. 보통 $$\Omega$$[주의]로 표기한다.
$$W ( 1 ) = \Omega$$
위 방정식 $$\ln x = -x$$에 오메가 상수를 대입하면 다음과 같은 성질을 얻는다:
$$\Omega = -\ln\Omega = \ln\dfrac1\Omega$$
람베르트 $$W$$ 함수는 역함수인 $$y = xe^x$$의 성질에 의해 음함수가 되기 때문에 $$\Omega$$가 속하는 구간의 $$W_0(x)$$와 그렇지 않은 $$W_{-1}(x)$$ 두 부분으로 나뉘는데 $$W_0(x)$$는 다음과 같이 매클로린 전개가 되는 것이 알려져 있고
$$\displaystyle \begin{aligned} W_0(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x-x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots\end{aligned}$$
$$W_0(1) = \Omega$$이므로 위 식에 $$x=1$$을 대입하면 무한급수로 나타낸 오메가 상수의 식이 얻어진다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \Omega &= \sum_{n=1}^\infty\frac{(-n)^{n-1}}{n!} \\ &= 1 - 1 + \frac32 - \frac83 + \frac{125}{24} - \cdots\end{aligned}$$
구체적인 값은 다음과 같다. 0과 1 사이의 수에 속하며, 소수 배열을 보면 파인만 포인트와 비슷한 부분이 있다.
0.567 143 290 409 783 872 '''999 9'''68 662 210 355 549 753 815 787 186 512 508 135 131 079 223 045 793 086 684 566 693 219 446 961 752 294 557 638...

2. 관련 문서


[1] 초등함수를 유한 번 사용해서 푸는 방법[주의] 반드시 대문자로 써야 한다. 소문자인 $$\omega$$은 3차 단위근을 뜻한다.

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