부분분수분해
Partial fraction decomposition
1. 개요
$$\displaystyle \frac{1}{x^2-1} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$$
통분되어 있는 분수를 다른 분수들의 합과 차로 분해하는 것을 말한다. 위의 예시처럼 보통 유리식에서 더 낮은 차수의 분모들로 분해하거나, 경시대회 등에서 $${1\over {AB}}={1\over{B-A}}\left({1\over A}-{1\over B}\right)$$ 등의 항등식을 이용해 아래 예시처럼 급수를 망원급수 형태로 바꾸어 값을 구한다거나 하는 경우가 있다.
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{1\over k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}={1\over m}\left({{1\over m!}-{1\over (n+1)(n+2)\cdots(n+m)}}\right)$$
하지만 중등교과과정 이상에서 보통 부분분수분해는, 아래에 얘기하는 유리식의 표준 부분분수분해를 일컫는다.
2. 유리식의 표준 부분분수분해
배경인 체 $$F$$가 바뀌면 기약다항식이 바뀌므로 인수분해 꼴도 바뀌어 다른 부분분수분해를 볼 수 있다. 예를 들어 유리수 및 실수 위에서는
$$\displaystyle \frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{2/3-x/3}{x^2 - x + 1} $$
이 복소수 위에서는$$\displaystyle \frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{\omega/3}{x+\omega} + \frac{\omega^2/3}{x + \omega^2}, \quad \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2}$$
로 분해되는 식. 제곱식이 들어가 있으면$$ \displaystyle \frac{x+1}{x^6+2x^4+x^2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{-x-1}{x^2+1} + \frac{-x-1}{(x^2+1)^2} $$
같은 예시가 있다. 물론 저건 유리수/실수 위에서고 복소수 위에서는 $$c/(x+i)^2$$ 꼴 등이 나올 것이다.대수학의 기본정리에 따르면 복소계수 기약다항식은 일차다항식밖에 없고, 실계수 기약다항식은 일차다항식 혹은 허근을 갖는 이차다항식이 전부이기 때문에, 복소수/실수의 경우 $$q_i$$들을 1차/1차 혹은 2차로 놓을 수 있다. 유리수계수로 한정하면 더욱 높은 차수가 나올 수 있다.
존재성 및 유일성의 증명은 교과과정에선 명시적으로 나오지 않는데, 베주 항등식에 의존하기 때문.
존재성 증명
저 분수식은 $$r_1 q_2 + r_2 q_1 = 1$$과 동치이므로 사실상 베주 항등식이다. 이 보조정리와 귀납법을 활용하면 유리식을 분모가 $$q_i^{e_i}$$인 유리식들의 합으로 일단 분해할 수 있다. 각각의 $$b(x)/q_i(x)^{e_i}$$ 꼴에 대해서는 일단 몫을 덜어내고, 그 다음에 $$b$$를 $$q_i$$로 나눈 나머지를 $$b_{i,e_i}$$로 놓아 $$b_{i,e_i}/{q_i}^{e_i}$$을 덜어내고, 남은 부분 $$b'/{q_i}^{e_i -1}$$에서 다시 분모 $$q_i^{e_i -1}$$ 부분을 덜어내고... 의 과정을 반복하면 된다.}}}
유일성 증명
양변에 $$q(x)$$를 곱하고, $$q_i(x)$$로의 나누어떨어짐을 생각한다. 그러면 $$q_i \vert b_{i,e_i} $$이므로, 차수조건에 의해 $$b_{i,e_i}=0$$이다. 양변에 $$q(x)$$ 대신 $$q(x)/q_i(x)$$를 곱하면 비슷하게 $$b_{i,e_i-1}=0$$을 얻고, ... 이런 식으로 $$b_{i,j}=0$$을 보인다. 그러면 자연스럽게 $$a=0$$도 따라나와서, $$a=0$$을 나타내는 방법이 유일하다는 것이 증명되므로 모순.}}}
3. 구하는 법
일단 존재성/유일성이 밝혀진 이상, 항등식을 찾아내는 전가의 보도 미정계수법을 쓰면 된다. (...) 양쪽에 분모를 곱해 다항식으로 만들고 계수비교법을 사용하는 것이 보통이나, 자신이 있다면 $$x$$에 직접 숫자를 대입할 수도 있다. 이 대입법을 극한까지 활용한 다음 기법이 있다.
증명은 의외로 쉬운데, 양변에 $$(x-\lambda_{i})$$를 곱하고 그 다음에 $$x=\lambda_i$$를 대입하면 된다. 사용하기도 의외로 편하지만 쓸 수 있는 상황이 제한적이라는 당연하면서도 치명적인 단점이 있다. 다만 분모의 인수 중 제곱이 있더라도, 제곱이 아닌 인수 $$x-\lambda$$에 대해서는 똑같은 방식으로 $$c/(x-\lambda)$$ 부분을 구할 수 있다.
기법의 이름은 분모의 $$(x-\lambda)$$들+관련없는 항들을 싹다 손으로 가리고(...) $$x$$에 $$\lambda$$를 대입하면 된다는 뜻.
예시)
$$ \displaystyle \frac{x^3+1}{x(x-2)^2(x-4)^2} = \frac{c}{x} + (\cdots) $$
다른 애들을 무시하고 $$c$$만 구하고 싶다면, 양변에 $$x$$를 곱하고 0을 대입하면 $$\displaystyle c = \frac{0^3+1}{(0-2)^2 (0-4)^2} = \frac{1}{64}$$을 얻을 수 있다.한편, $$p(x)$$가 $$n$$차 다항식 일 때, $$p(x)/(x-a)^{m}$$ 꼴인 경우에는, $$x=a$$에서의 테일러전개를 하면, 미정계수법 같은 지저분한 방법을 피할 수 있다.
이를 이용하면
$$\displaystyle\frac{p(x)}{(x-a)^{m}}=\frac{p(a)}{(x-a)^{m}}+\frac{p'(a)}{1!(x-a)^{m-1}}+\cdots+\frac{p^{(n-1)}(a)}{(m-1)!(x-a)^{m-n-1}}+\frac{p^{(n)}(a)}{m!(x-a)^{m-n}}$$
가 된다.예시) $$\displaystyle\frac{x^{4}+3x^{2}-5x-2}{(x-2)^{5}}$$ 일 때,
$$p(x)=x^{4}+3x^{2}-5x-2,\quad p(2)=16$$,
$$p'(x)=4x^{3}+6x-5,\quad p'(2)=39$$
$$p^{(2)}(x)=12x^{2}+6,\quad p^{(2)}(2)=54$$
$$p^{(3)}(x)=24x,\quad p^{(3)}(2)=48$$
$$p^{(4)}(x)=24,\quad p^{(4)}(2)=24$$
이므로,$$p'(x)=4x^{3}+6x-5,\quad p'(2)=39$$
$$p^{(2)}(x)=12x^{2}+6,\quad p^{(2)}(2)=54$$
$$p^{(3)}(x)=24x,\quad p^{(3)}(2)=48$$
$$p^{(4)}(x)=24,\quad p^{(4)}(2)=24$$
$$\displaystyle\frac{x^{4}+3x^{2}-5x-2}{(x-2)^{5}}=\frac{16}{(x-2)^{5}}+\frac{39}{(x-2)^{4}}+\frac{27}{(x-2)^{3}}+\frac{8}{(x-2)^{2}}+\frac{1}{(x-2)}$$.
4. 활용
가장 먼저 등장하는 것은 유리함수의 적분일 것이다. 실수 위에서 부분분수분해를 하면 모든 유리식의 적분을 다음 세 가지 꼴의 적분들의 합으로 모두 바꾸어 버릴 수 있다.
$$\displaystyle \int \frac{dx}{(x-a)^k}, \quad \int \frac{dx}{ ((x-p)^2+q^2)^l}, \quad \int \frac{(x-p) dx}{ ((x-p)^2 + q^2)^l} $$
첫번째야 뭐 쉽고, 두번째/세번째가 조금 힘들지만 각각 삼각치환과 $$y=(x-p)^2$$의 치환적분으로 해결가능하다. 따라서 어떤 유리함수라도 분모를 이차식 이하의 인수들로 인수분해했으면 초등함수로 적분할 수 있는 것.
그 다음으로 나오는 것이 라플라스 변환. 미분방정식의 해에 라플라스 변환을 해서 유리식을 얻고 > 부분분수 분해 > 역변환의 과정을 비슷하게 거친다. 조합론을 공부한다면 선형점화식의 생성함수 풀이도 비슷하게 볼 수 있다.
내용은 대수학스러운데 어찌 써먹는 건 다 해석학이다...
다음과 같은 이색적인(?) 부분분수 분해도 가능하다. 중국인의 나머지 정리와의 연관성을 볼 수 있을... 수도?
$$\displaystyle \frac{1}{60} = -2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5} $$
실제 위의 부분분수분해 진술은 다항식환 $$F[x]$$를 임의의 유클리드 정역으로 바꿔도 비슷하게 성립하긴 한다.[1] 즉, $$p(x)$$의 최고차항의 차수#s-2가 $$q(x)$$의 최고차항의 차수보다 작다면[2] 미분을 아직 안배웠다면, 다항식 $$p(x)$$에 대해서 $$p'(x)$$는 $$x^{k}$$를 $$kx^{k-1}$$로 바꾸는 연산 결과라고 생각하면된다. 예를 들어서 $$(4x^{3}+3x^{2}-3x+1)'=4(3x^{2})+3(2x)-3(1)+1(0)=12x^{2}+6x+3$$이 된다. 한편, $$p^{(n)}(x)$$는 $$p^{(0)}(x)=p(x)$$이고, $$p^{(k+1)}(x)=(p^{(k)}(x))'$$ 로 정의된다.