블랙-숄즈 모형
Black-Scholes Model (블랙 숄즈 모형). Black Scholes Equation (블랙 숄즈 방정식)
피셔 블랙과 마이런 숄즈가 알베르트 아인슈타인의 브라운 운동 방정식으로부터 1973년에 고안해낸, 유럽형 옵션의 가격을 산출하는 방정식이다. 이후 로버트 머튼이 참여하여, '블랙 숄즈 방정식'이란 이름을 붙인다. 숄즈와 머튼은 이후 1997년에 노벨 경제학상을 받게 되는데, 피셔 블랙은 1995년에 사망하여 받지 못했다.[1]
이 방정식의 발견으로 인하여 옵션시장은 급속히 성장하고, CBOE같은 옵션 상품 거래소가 활성화되었다. 주식같은 경우에는 고든의 배당할인모형 등 여러 가치평가 모형이 있었지만 블랙과 숄즈의 발견 이전에는 옵션의 가치를 정확히 평가하는 모형이 없었기 때문이다. 특히 가격도(moneyness)가 ITM에서 OTM으로 바뀌는 순간 급격히 변하는 비선형적 가격변동은 공정한 옵션의 가격을 평가하는데 큰 어려움을 더했었다.
블랙과 숄즈의 학문적 공헌은, 어떤 옵션이 가진 위험을 기초자산을 정확한 비율로 사고 파는 것을 통해서 완벽히 헤지할 수 있다는 것을 발견한 것이다. 더 정확히 말하면 옵션의 가격 변화가 기초자산의 가격 변화와 어떤 관계가 있는지 비율을 계산해낸 것이다.
블랙 숄즈의 모형의 도출을 위해 필요한 수학적 개념이 한 두개가 아니긴 하지만... 원리는 단순하다.
주식의 수익률이 정규분포를 따른다고 가정하자. 그러면 현재 가격 100원짜리 주식이 한달후에 110원이 될 확률을 계산할 수 있다. 콜옵션의 가격은 (만기의 주식 가격 - 행사 가격, 0 이하일때는 버림)이 되므로 110원일때 행사가격 100원짜리 콜옵션의 가치는 10원이다. 옵션의 기대값을 구하려면, (10원 x 주식이 110원이 될 확률) 이렇게 곱하면 된다. 정규분포를 쓰기 때문에 주식이 만기에 어떤 가격이 될지 모든 가격마다 확률 계산이 가능한데, 각 경우 마다 (콜옵션 값어치 x 각각의 확률) 한다음 모든 경우를 더하면 (적분하면) 끝.
요새는 무한급수의 식으로도 간단히 도출이 가능하지만, 블랙과 숄즈가 이걸 개발할 때만 해도 체계가 덜 잡혔을 때라, 좀 복잡한 방식으로 유도한 감이 있다. 블랙 숄즈 방정식을 한마디로 말하면 옵션 가격의 기대값을 구하는 식이다. 그래서 평균값을 구하는 공식이지 물리 법칙마냥 매번 맞는게 아니다. 이 방정식을 처음 배우는 학생들이 흔히 하는 착각.
블랙과 숄즈가 유도한 방법은 다음과 같다. 옵션은 주가에 기반하므로 주가가 1원 오르면 콜옵션도 일정 비율만큼 오른다. (이 비율을 델타라고 부르며 아래에 설명이 있다.) 그러니 주식을 이 비율만큼만 사고 콜옵션을 하나 팔면 움직임이 정확히 상쇄되어서 변동이 없다. 변동이 없으면 위험이 없다는 말이니 이 조합의 수익률은 무위험 채권과 같다. 여기에 주식 가격이 로그 정규분포를 따른다는 가정을 집어 넣는다. 주가가 로그 정규분포를 따르면 주식의 수익률은 정규분포를 따르게 된다. 이제 수식을 정리하면 (이 과정에서 이토의 정리 같은 수학 테크닉이 몇개 들어간다) 주가와 옵션, 무위험 채권에 대한 미분방정식을 얻는다. 이 미분방정식의 해법은 그분이 만들어 두었다. 그분의 브라운 운동 항목을 참조하자.
방정식의 해법으로 콜옵션의 가격을 구할 수 있는데, 주식 가격, 행사 가격, 변동성, 만기까지 남은 시간, 무위험 채권 이자율 5가지를 집어넣으면 옵션 가격이 숫자로 짠 하고 나온다. 이렇게 도출된 블랙-숄즈 방정식은 숫자만 집어넣으면 답이 나오는 매우 편리한 계산기가 된다. 풋옵션의 가격은 풋-콜 패리티를 쓰면 구할 수 있다.
블랙-숄즈 모형의 형태는 다음과 같다.
콜옵션의 가격을 $$c$$, 풋옵션의 가격을 $$p$$라고 한다면, 이들의 가격은
인데, 여기서
d_2 &= \frac{\log(S/K) + (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}
그러나 위의 서술은 한가지 간과하는 점이 있는데, 블랙 숄즈 방정식은 태생상 잘 맞을 수밖에 없다. 집어넣는 변수 중에 주식의 변동성이 있는데 이게 현재의 변동성이 아니라 지금부터 주식 만기까지 변동성이다. 즉, 현재의 가격을 제대로 구하려면, 미래에 변동성이 어떨지 정확히 예측해야 한다는 골때리는 문제가 있다. 그래서 요샌 아예 거꾸로 현재 시장 가격에 블랙 숄즈 공식의 가격을 맞춰놓고 미래 변동성을 구하는 도구로 쓴다. 즉, 답을 미리 시장 가격에 맞춰놓고 쓰고 있다. VIX 등 변동성 상품들은 이런 원리를 이용한다. 아래의 '한계' 항목과도 연관되어 있다.
'''자산(asset)에 대한 가정'''
상기 식의 시그마, 즉 기초자산 가격 변동성은 만기 시점의 것이므로 미리 알 수 있는 것이 아니다. 그러므로 과거의 시그마를 대입하게 되므로 정확한 가격 예측은 힘들다. 역으로 현재 옵션의 가격을 대입하여 이 시그마를 도출해내기도 한다. 참고로 이렇게 구한 시그마 값을 내재적 변동성이라고 한다. 또한, 이자율 r역시 시간에따라 변한다.
또한 변동성 스마일 등, 현실과 블랙숄즈모형이 일치하지 않는 현상 또한 관찰되고 있다.
숄즈 박사는 노벨경제학상 기자회견에서 상금을 어디에 쓸 거냐는 질문에 대해 "주식투자를 하겠다"고 대답해 센세이션을 일으켰다. 당시 그는 LTCM이라는 헤지펀드를 운용하고 있었는데, 노벨상 수상 후 약 1년 뒤에 1998년 러시아의 채무불이행으로 막대한 부채와 함께 파산한다(...) 비록 이 도산이 러시아 통화위기 때문에 발생한 것이기는 하지만, 길게 보면 시장은 항상 정상적 상태로 되돌아온다는 굳건한 믿음과 수리적 모형에 대한 지나친 신뢰감, 그리고 이를 바탕으로 한 과도한 레버리지의 사용이 이러한 비극적 [5] 결과를 발생시켰다.
1. 개요
피셔 블랙과 마이런 숄즈가 알베르트 아인슈타인의 브라운 운동 방정식으로부터 1973년에 고안해낸, 유럽형 옵션의 가격을 산출하는 방정식이다. 이후 로버트 머튼이 참여하여, '블랙 숄즈 방정식'이란 이름을 붙인다. 숄즈와 머튼은 이후 1997년에 노벨 경제학상을 받게 되는데, 피셔 블랙은 1995년에 사망하여 받지 못했다.[1]
이 방정식의 발견으로 인하여 옵션시장은 급속히 성장하고, CBOE같은 옵션 상품 거래소가 활성화되었다. 주식같은 경우에는 고든의 배당할인모형 등 여러 가치평가 모형이 있었지만 블랙과 숄즈의 발견 이전에는 옵션의 가치를 정확히 평가하는 모형이 없었기 때문이다. 특히 가격도(moneyness)가 ITM에서 OTM으로 바뀌는 순간 급격히 변하는 비선형적 가격변동은 공정한 옵션의 가격을 평가하는데 큰 어려움을 더했었다.
블랙과 숄즈의 학문적 공헌은, 어떤 옵션이 가진 위험을 기초자산을 정확한 비율로 사고 파는 것을 통해서 완벽히 헤지할 수 있다는 것을 발견한 것이다. 더 정확히 말하면 옵션의 가격 변화가 기초자산의 가격 변화와 어떤 관계가 있는지 비율을 계산해낸 것이다.
2. 공식
블랙 숄즈의 모형의 도출을 위해 필요한 수학적 개념이 한 두개가 아니긴 하지만... 원리는 단순하다.
주식의 수익률이 정규분포를 따른다고 가정하자. 그러면 현재 가격 100원짜리 주식이 한달후에 110원이 될 확률을 계산할 수 있다. 콜옵션의 가격은 (만기의 주식 가격 - 행사 가격, 0 이하일때는 버림)이 되므로 110원일때 행사가격 100원짜리 콜옵션의 가치는 10원이다. 옵션의 기대값을 구하려면, (10원 x 주식이 110원이 될 확률) 이렇게 곱하면 된다. 정규분포를 쓰기 때문에 주식이 만기에 어떤 가격이 될지 모든 가격마다 확률 계산이 가능한데, 각 경우 마다 (콜옵션 값어치 x 각각의 확률) 한다음 모든 경우를 더하면 (적분하면) 끝.
요새는 무한급수의 식으로도 간단히 도출이 가능하지만, 블랙과 숄즈가 이걸 개발할 때만 해도 체계가 덜 잡혔을 때라, 좀 복잡한 방식으로 유도한 감이 있다. 블랙 숄즈 방정식을 한마디로 말하면 옵션 가격의 기대값을 구하는 식이다. 그래서 평균값을 구하는 공식이지 물리 법칙마냥 매번 맞는게 아니다. 이 방정식을 처음 배우는 학생들이 흔히 하는 착각.
블랙과 숄즈가 유도한 방법은 다음과 같다. 옵션은 주가에 기반하므로 주가가 1원 오르면 콜옵션도 일정 비율만큼 오른다. (이 비율을 델타라고 부르며 아래에 설명이 있다.) 그러니 주식을 이 비율만큼만 사고 콜옵션을 하나 팔면 움직임이 정확히 상쇄되어서 변동이 없다. 변동이 없으면 위험이 없다는 말이니 이 조합의 수익률은 무위험 채권과 같다. 여기에 주식 가격이 로그 정규분포를 따른다는 가정을 집어 넣는다. 주가가 로그 정규분포를 따르면 주식의 수익률은 정규분포를 따르게 된다. 이제 수식을 정리하면 (이 과정에서 이토의 정리 같은 수학 테크닉이 몇개 들어간다) 주가와 옵션, 무위험 채권에 대한 미분방정식을 얻는다. 이 미분방정식의 해법은 그분이 만들어 두었다. 그분의 브라운 운동 항목을 참조하자.
방정식의 해법으로 콜옵션의 가격을 구할 수 있는데, 주식 가격, 행사 가격, 변동성, 만기까지 남은 시간, 무위험 채권 이자율 5가지를 집어넣으면 옵션 가격이 숫자로 짠 하고 나온다. 이렇게 도출된 블랙-숄즈 방정식은 숫자만 집어넣으면 답이 나오는 매우 편리한 계산기가 된다. 풋옵션의 가격은 풋-콜 패리티를 쓰면 구할 수 있다.
블랙-숄즈 모형의 형태는 다음과 같다.
콜옵션의 가격을 $$c$$, 풋옵션의 가격을 $$p$$라고 한다면, 이들의 가격은
[math(\displaystyle
c &= S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2),\\
p &= K e^{-rT} N(-d_2) - S N(-d_1)
\end{aligned} )]
\begin{aligned}
c &= S N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2),\\
p &= K e^{-rT} N(-d_2) - S N(-d_1)
\end{aligned} )]
[1] 노벨경제학상은 살아 있는 사람에게만 수여하기 때문이다. 즉 추서는 안된다.
[math(\displaystyle
\begin{aligned}
d_1 &= \frac{\log(S/K) + (r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \\\begin{aligned}
d_2 &= \frac{\log(S/K) + (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}
\end{aligned}
)]
)]
이고,
- $$S$$는 0시점의 주식(혹은 기초자산)의 가격,
- $$N(x)$$는 표준정규분포의 누적 분포 함수,
- $$K$$는 행사가격,
- $$r$$은 무위험 이자율[2],
- $$T$$는 옵션만기까지 남은 기간,
- $$\sigma$$는 주가의 변동성[3]이다.
- 델타: 기초자산 가격의 변동에 따른 옵션가치 변동
- 세타: 시간에 따른 옵션가치 변동
- 감마: 기초자산 가격의 변동에 따른 델타의 변동
- 베가: 기초자산 가격 변동성의 변화에 따른 옵션가치 변동
- 로: 금리의 변동에 따른 옵션가치 변동
그러나 위의 서술은 한가지 간과하는 점이 있는데, 블랙 숄즈 방정식은 태생상 잘 맞을 수밖에 없다. 집어넣는 변수 중에 주식의 변동성이 있는데 이게 현재의 변동성이 아니라 지금부터 주식 만기까지 변동성이다. 즉, 현재의 가격을 제대로 구하려면, 미래에 변동성이 어떨지 정확히 예측해야 한다는 골때리는 문제가 있다. 그래서 요샌 아예 거꾸로 현재 시장 가격에 블랙 숄즈 공식의 가격을 맞춰놓고 미래 변동성을 구하는 도구로 쓴다. 즉, 답을 미리 시장 가격에 맞춰놓고 쓰고 있다. VIX 등 변동성 상품들은 이런 원리를 이용한다. 아래의 '한계' 항목과도 연관되어 있다.
3. 가정
'''자산(asset)에 대한 가정'''
- 무위험자산: 안전자산의 수익률은 변화가 없다 그러므로 '무위험 수익률'이라고 부른다.
- 랜덤워크(random walk): 주식가격의 순간 로그 수익률은 무한한 랜덤워크(무작위 행보)이다. 더 자세히 말하자면, 로그 수익률은 정규분포 (브라운 운동)을 따른다. 또한, 추세와 변동성은 일정하다고 가정한다. 로그 수익률이라는 것은 전 날 종가와 오늘 종가의 로그의 차이를 말한다. 즉, $$r_t$$가 로그 수익률 $$c_t$$가 t 날의 종가라고 하면, $$r_t = \log(c_t) - \log(c_{t-1})=\log(c_t/c_{t-1})$$ 이다.
- 주식은 배당금이 없다. [4]
- 동일한 자산은 같은 시장 가격을 지닌다. 그게 아니라면 차익거래가 생겨서 다시 가격이 같아진다.
- 무위험 이자율로 원하는 만큼의 금액을 빌리거나 빌려줄 수 있다.
- 공매도를 포함하여, 원하는 만큼의 주식을 사거나 팔 수 있다.
- 상기의 거래들은 어느 요금이나 비용을 요구하지 않는다.
4. 한계
상기 식의 시그마, 즉 기초자산 가격 변동성은 만기 시점의 것이므로 미리 알 수 있는 것이 아니다. 그러므로 과거의 시그마를 대입하게 되므로 정확한 가격 예측은 힘들다. 역으로 현재 옵션의 가격을 대입하여 이 시그마를 도출해내기도 한다. 참고로 이렇게 구한 시그마 값을 내재적 변동성이라고 한다. 또한, 이자율 r역시 시간에따라 변한다.
또한 변동성 스마일 등, 현실과 블랙숄즈모형이 일치하지 않는 현상 또한 관찰되고 있다.
5. 기타
숄즈 박사는 노벨경제학상 기자회견에서 상금을 어디에 쓸 거냐는 질문에 대해 "주식투자를 하겠다"고 대답해 센세이션을 일으켰다. 당시 그는 LTCM이라는 헤지펀드를 운용하고 있었는데, 노벨상 수상 후 약 1년 뒤에 1998년 러시아의 채무불이행으로 막대한 부채와 함께 파산한다(...) 비록 이 도산이 러시아 통화위기 때문에 발생한 것이기는 하지만, 길게 보면 시장은 항상 정상적 상태로 되돌아온다는 굳건한 믿음과 수리적 모형에 대한 지나친 신뢰감, 그리고 이를 바탕으로 한 과도한 레버리지의 사용이 이러한 비극적 [5] 결과를 발생시켰다.