스큐스 수
Skewes' number
남아프리카 공화국의 수학자 스탠리 스큐스(Stanley Skewes)가 제안한 수. $$\pi(x) > \mathrm{li}(x)$$를 만족하는 가장 작은 자연수를 의미한다.
$$\pi(x)$$는 소수 계량 함수로 해당하는 1부터 x까지 존재하는 소수들의 총 개수를 의미한다. 예를 들어 π(1)=0, π(2)=1, π(3)=2, π(4)=2, π(5)=3...
$$\mathrm{li}(x)$$는 '로그 적분 함수'로 $$\displaystyle \mathrm{li}(x) = \int_0^x \frac{1}{\ln t} dt$$로 정의되는 함수이다.
일단 이 두 함수는 다음[1]을 만족한다: $$\pi(x) \sim \mathrm{li}(x)$$ 즉, $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)} = 1$$
로그 적분 함수가 조금 복잡해 보이지만, 어쨌거나 이 함수들은 일상적인 수 범위 및 컴퓨터로 확인할 수 있는 큰 범위의 수 내에서는 $$\pi(x) < \mathrm{li}(x)$$, 즉 로그 적분 함수가 소수 계량 함수보다 더 큰 것처럼 보인다. 참고 그렇지만 1914년, 스큐스의 스승인 존 에든스너 리틀우드는 $$x$$가 엄청나게 커지면 $$\pi(x)$$와 $$\mathrm{li}(x)$$의 대소 관계가 역전될 수 있으며, 심지어 $$x$$를 무한히 증가시키면 그에 따라 $$\pi(x)$$와 $$\mathrm{li}(x)$$의 대소 관계도 무한히 역전을 거듭한다는 걸 증명했다.
1933년, 스큐스는 리만 가설이 참일 때 $$\pi(x) > \mathrm{li}(x)$$를 만족시키는 최초의 $$x$$의 상한선은 [math(e)]$$ ^{e^{e^{79}}}$$, 대략 $$10^{10^{10^{34}}}$$ 이하임을 보였다. 이는 10에다가 10×10×10×...을 1000...0번(0이 1034개, 즉 100구 개) 반복해야 얻어지는 수를 '''제곱'''한, 미치도록 큰 수다. 구골플렉스도 $$10^{10^{10^2}}$$인데... 거기에 1955년에는 리만 가설의 가정 없이 역전이 $$10^{10^{10^{964}}}$$안에는 일어나는 것을 보였다. [math(10^{10^{10^{100}}})]을 가볍게 능가하는 수준.
이후 증명 기술의 발달로 스큐스 수는 급격히 줄어들었다. 컴퓨터의 발달로 리만 가설의 핵심인 리만 제타 함수의 해에 대해 더 자세히 연구될 수 있었기 때문. 2010년에는 $$e^{727.95}$$ 정도까지 떨어졌다. 대략 317자리 정도 되는 수다.
원래는 '수학 논문에 등장하는 가장 큰 수' 타이틀을 가지고 있었지만 스큐스 수 자체가 계속 줄어들었고, 1977년 그레이엄 수라는 넘사벽이 등장하면서 타이틀을 뺏겼다.
1. 개요
남아프리카 공화국의 수학자 스탠리 스큐스(Stanley Skewes)가 제안한 수. $$\pi(x) > \mathrm{li}(x)$$를 만족하는 가장 작은 자연수를 의미한다.
$$\pi(x)$$는 소수 계량 함수로 해당하는 1부터 x까지 존재하는 소수들의 총 개수를 의미한다. 예를 들어 π(1)=0, π(2)=1, π(3)=2, π(4)=2, π(5)=3...
$$\mathrm{li}(x)$$는 '로그 적분 함수'로 $$\displaystyle \mathrm{li}(x) = \int_0^x \frac{1}{\ln t} dt$$로 정의되는 함수이다.
일단 이 두 함수는 다음[1]을 만족한다: $$\pi(x) \sim \mathrm{li}(x)$$ 즉, $$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\mathrm{li}(x)} = 1$$
로그 적분 함수가 조금 복잡해 보이지만, 어쨌거나 이 함수들은 일상적인 수 범위 및 컴퓨터로 확인할 수 있는 큰 범위의 수 내에서는 $$\pi(x) < \mathrm{li}(x)$$, 즉 로그 적분 함수가 소수 계량 함수보다 더 큰 것처럼 보인다. 참고 그렇지만 1914년, 스큐스의 스승인 존 에든스너 리틀우드는 $$x$$가 엄청나게 커지면 $$\pi(x)$$와 $$\mathrm{li}(x)$$의 대소 관계가 역전될 수 있으며, 심지어 $$x$$를 무한히 증가시키면 그에 따라 $$\pi(x)$$와 $$\mathrm{li}(x)$$의 대소 관계도 무한히 역전을 거듭한다는 걸 증명했다.
1933년, 스큐스는 리만 가설이 참일 때 $$\pi(x) > \mathrm{li}(x)$$를 만족시키는 최초의 $$x$$의 상한선은 [math(e)]$$ ^{e^{e^{79}}}$$, 대략 $$10^{10^{10^{34}}}$$ 이하임을 보였다. 이는 10에다가 10×10×10×...을 1000...0번(0이 1034개, 즉 100구 개) 반복해야 얻어지는 수를 '''제곱'''한, 미치도록 큰 수다. 구골플렉스도 $$10^{10^{10^2}}$$인데... 거기에 1955년에는 리만 가설의 가정 없이 역전이 $$10^{10^{10^{964}}}$$안에는 일어나는 것을 보였다. [math(10^{10^{10^{100}}})]을 가볍게 능가하는 수준.
이후 증명 기술의 발달로 스큐스 수는 급격히 줄어들었다. 컴퓨터의 발달로 리만 가설의 핵심인 리만 제타 함수의 해에 대해 더 자세히 연구될 수 있었기 때문. 2010년에는 $$e^{727.95}$$ 정도까지 떨어졌다. 대략 317자리 정도 되는 수다.
원래는 '수학 논문에 등장하는 가장 큰 수' 타이틀을 가지고 있었지만 스큐스 수 자체가 계속 줄어들었고, 1977년 그레이엄 수라는 넘사벽이 등장하면서 타이틀을 뺏겼다.