쌍둥이 소수
1. 개요
Twin Prime
쌍둥이 소수란, p 와 p+2 가 둘 다 소수인 소수쌍을 의미한다.[1] (3, 5), (5, 7), (11, 13) 등의 소수쌍을 쌍둥이 소수라고 부른다.
2. 쌍둥이 소수 추측
'''Twin Prime Conjecture''''''쌍둥이 소수는 무한히 많을 것이다.'''
쌍둥이 소수 추측은 이런 쌍둥이 소수가 '무한히 많을 것이다' 라는 추측이다. 힐베르트의 23가지 문제에도 나오는 문제이며, 21세기 현재 증명도 반증도 안 되었다.
2.1. 주요 연구 결과
- 브룬의 정리
브룬은 쌍둥이 소수의 역수의 합은 '수렴한다'는 브룬의 정리를 발표했다. 그 수렴 값은 브룬 상수라고 부른다. 만약 쌍둥이 소수의 역수의 합이 발산하면, 쌍둥이 소수 추측도 참이라는 것이 증명될 수 있었다. 그러나 이 값이 수렴하므로 이 수렴값이 유리수인지 무리수인지를 판별할 필요성이 생겼다. 수렴값이 무리수라면 쌍둥이 소수 추측이 참이지만, 유리수라면 아무 결론도 도출하지 못한다.
- 장이탕(张益唐, 1955~)의 연구 결과
2013년, 중국의 수학자 장이탕은 두 소수의 간격이 $$N$$보다 작은 소수쌍이 무한히 많다는 것을 증명하였다. 장이탕은 $$N$$이 7천만일 때 성립함을 보였다. 다른 수학자들의 공동 연구로 $$N$$의 값은 계속 줄어들어 $$N=246$$일 때 성립함이 증명되었다. 만약 $$N$$을 $$2$$까지 줄일 수 있다면 쌍둥이 소수 추측이 증명되는 것이다.
- 하디-리틀우드 추측
소수 계량 함수와 유사하게, x 보다 작은 쌍둥이 소수의 개수를 $$\pi_2\left(x\right)$$ 라고 할 때 $$\displaystyle \pi_2\left(x\right) \approx \rm C \left({x \over {(\ln x)^2}} \right) $$ 라고 추측하였다. 그리고, 이 상수 $$\rm C$$는 다른 수학자들에 의해 0.6601618158...이란 값을 가진다고 계산되었으며 '하디-리틀우드 상수'라는 이름을 가지게 되었다. 하디-리틀우드 추측이 참이 되면, 당연히 쌍둥이 소수 추측도 참이 된다.
- 천징룬의 연구 결과
1973년 천징룬은 p가 소수일 때 소수 또는 준소수[2]인 p+2가 무한히 많다는 것을 증명했다.
3. 1100 미만의 쌍둥이 소수
- 3, 5
- 5, 7
- 11, 13
- 17, 19
- 29, 31
- 41, 43
- 59, 61
- 71, 73
- 101, 103
- 107, 109
- 137, 139
- 149, 151
- 179, 181
- 191, 193
- 197, 199
- 227, 229
- 239, 241
- 269, 271
- 281, 283
- 311, 313
- 347, 349
- 419, 421
- 431, 433
- 461, 463
- 521, 523
- 569, 571
- 599, 601
- 617, 619
- 641, 643
- 821, 823
- 827, 829
- 857, 859
- 881, 883
- 1019, 1021
- 1031, 1033
- 1049, 1051
- 1061, 1063
- 1091, 1093
4. 관련 문서
- 사촌 소수(Cousin Prime)
- 섹시 소수(Sexy Prime)
- 세 쌍둥이 소수(Prime Triplet) : (p, p+2, p+6) 또는 (p, p+4, p+6) 소수 인 경우.
- (2, 3, 5) 와 (3, 5, 7) 은 특별히 예외 취급한다.
- 네 쌍둥이 소수(Prime Quadruplet) : (p, p+2, p+6, p+8) 가 모두 소수인 경우. (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) 등이 있다. [3]
- 소피 제르맹 소수 : (p, 2p+1) 이 소수인 경우