이중근호
1. 개요
double radical · 二重根號
근호 안에 근호가 하나 더 있는 것. 근호가 총 세 개 이상이면 다중근호(多重根號)라고 한다.
2. 표기
근호 안에 또 다른 근호를 표기할 때는, 일반적으로 모든 근호를 $$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$$처럼 우측으로 몰아서 표기한다. 꼭 이렇게 해야 수학적으로 옳은 것은 아니며, 다중근호일 때도 마찬가지이다.
3. 공식
이중근호로 된 식을 바로 계산하기는 쉽지 않으므로 단일근호로 바꿀 필요가 있다. 아래의 공식으로 이중근호를 풀어낼 수 있다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{a}-\sqrt{b} \qquad (a>b) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}&=\sqrt{(\sqrt{a})^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} \\ &=\sqrt{a}-\sqrt{b} \qquad (\because \,a>b) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2 \end{aligned} $$
$$\displaystyle \sqrt{\sqrt{a\pm b}}\neq\sqrt{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}} \neq\sqrt{\sqrt{a}}\pm\sqrt{\sqrt{b}}$$
4. 다중근호
이중근호뿐만 아니라 삼중근호, 사중근호, $$\cdots$$도 얼마든지 식으로 나타낼 수 있다. 삼중근호를 단일근호로 바꾸려면, 먼저 삼중근호 안에 있는 이중근호를 위의 공식을 이용하여 단일근호로 바꾼다. 이렇게 하여 얻어진 이중근호 식에, 다시 공식을 적용하여 단일근호로 바꾸면 된다. 몇 개의 근호가 중첩되어 있건 이런 식으로 하면 된다.
다중근호가 들어간 대표적인 식으로 카를 프리드리히 가우스가 구한 정십칠각형의 코사인 값이 있다.
$$16 \cos{ \left(\dfrac{2}{17} \pi \right)} = - 1 + \sqrt {17} + \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} + 2 \sqrt {17 + 3 \sqrt {17} - \sqrt {34 - 2 \sqrt {17}} - 2 \sqrt {34 + 2 \sqrt {17}} }$$
5. 국가별 교육과정
5.1. 대한민국
2007 개정 교육과정에서 고1 과정에 이중근호를 포함하는 등, 계속 이중근호를 가르치고 있었으나 2009 개정 교육과정부터 전면 삭제되었다.
5.2. 일본
수학Ⅰ의 1단원에 속하는 〈식의 계산〉 부분에서 다룬다. 따라서 일본 대학 유학을 준비하는 한국인은 입시를 위해 이중근호를 공부해야 한다.