전자기파/전자기학의 경계치 문제

1. 개요

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'''Electromagnetic boundary value problems'''
이 문서에서는 전자기장이 모두 존재하고, 정적이지 않을 때의 경계치 문제를 다룬다. 이것을 통해 전자기파의 성질을 확인해볼 수 있다.

2. 선수 지식[2]

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전기장 관련 문서와 자기장 관련 문서를 통해 정적인 전자기장이 존재할 때, 전자기장과 관련된 물리량의 모습은 아래의 다섯가지 식으로 요약된다고 말할 수 있음을 논의했다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}&= \rho_{f} \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=0 \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=0 \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}&= \mathbf{J}_{f} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{J}&= 0 \end{aligned} $$

[1] 이 문서는 전기장 관련 문서와 자기장 관련 문서, 전류 문서를 통해를 통해 정적인 전자기장이 존재할 때, 전자기장과 관련된 경계 조건을 모두 종합하는 문서이다. 따라서 아래에 나열된 선수 지식이 없다면, 이해하기 어려우므로 관련 문서부터 익히고 오길 바란다.

[2] 이 문서는 전기장 관련 문서와 자기장 관련 문서, 전류 문서를 통해를 통해 정적인 전자기장이 존재할 때, 전자기장과 관련된 경계 조건을 모두 종합하는 문서이다. 따라서 아래에 나열된 선수 지식이 없다면, 이해하기 어려우므로 관련 문서부터 익히고 오길 바란다.

따라서 다른 매질로 경계를 가로지를 때, 각 물리량의 경계 조건은 아래와 같이 됨을 논의했다.[3]

$$\displaystyle \begin{aligned} (\mathbf{D_{2}}-\mathbf{D_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=\sigma_{f} \\ (\mathbf{E_{2}}-\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{t}}&=0 \\ (\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=0 \\ [\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t}&=\mathbf{K}_{f} \times \hat{\mathbf{n}} \\ (\mathbf{J_{2}}-\mathbf{J_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=0 \end{aligned} $$

[3] 자세한 사항은 전기 퍼텐셜, 자기장 세기 문서의 '경계치 문제' 문단을 참조하라.

이때, $$\hat{\mathbf{n}}$$과 $$\hat{\mathbf{t}}$$는 각각 경계면에 수직, 평행한 단위 벡터이다. 그러나, 전자기장이 정적이 아니게 되면, 다음과 같은 차이점이 생긴다는 것을 여러 문서에서 다뤘다.

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $$

또한, 정상 전류가 아니라면, 연속 방정식에 의해

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} $$

가 된다. 따라서 전자기파와 같이 전자기장이 정적이 아니게 되면, 이 차이점에 따라 경계 조건이 일부 달라져야 함을 알 수 있다.

3. 경계 조건 변화

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윗 문단에서 전기장의 회전과 자기장의 회전, 전류 밀도의 발산 부분만 달라짐을 논의했다. 따라서 달라지는 경계 조건 또한 이와 관련된 것들만 됨을 짐작할 수 있다.

위 그림과 같이 두 매질 1, 2를 고려하자. 앙페르 법칙에 의하면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $$

이므로 영역 $$\Delta S$$에 대한 적분을 취하면,

$$\displaystyle \int_{\Delta S} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}) \cdot d \mathbf{a}=\int_{\Delta S} \mathbf{J}_{f} \cdot d \mathbf{a}+ \int_{\Delta S} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot d \mathbf{a} $$

이것은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \oint_{C} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=\int_{\Delta S} \mathbf{J}_{f} \cdot d \mathbf{a}+ \frac{d}{dt} \int_{\Delta S} \mathbf{D}\cdot d \mathbf{a} $$

이때, $$h \rightarrow 0$$의 극한을 취하면, $$\Delta S \rightarrow 0$$이 되고, 이에따라 $$\Delta S$$ 내를 통과하는 전기 변위 선속은 0이 되므로 우변의 제 2항은 없어진다. 그런데,

$$\displaystyle \begin{aligned} d \mathbf{a}=da(\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{t}}) \end{aligned} $$

로 쓸 수 있고, $$h \rightarrow 0$$의 극한을 취하고, $$\Delta S$$ 내로 자유 표면 전류가 통과한다면,

$$\displaystyle \int_{\Delta S} \mathbf{J}_{f} \cdot d \mathbf{a} \rightarrow \mathbf{K}_{f} l \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \hat{\mathbf{t}})=\mathbf{K}_{f} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{l} ) $$

이 된다. 또한 좌변은

$$\displaystyle \oint_{C} \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l} =( \mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}) \cdot \mathbf{l} $$

이 됨을 쉽게 알 수 있고, 따라서 위의 결과를 종합하면,

$$\displaystyle ( \mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}) \cdot \mathbf{l}= (\mathbf{K}_{f} \times \hat{\mathbf{n}}) \cdot \mathbf{l} $$

이므로 이것은 곧

$$\displaystyle [ \mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t} = \mathbf{K}_{f} \times \hat{\mathbf{n}} $$

임을 의미한다. 즉, 정적인 상황과 동일한 경계 조건을 갖는 다는 것을 알 수 있고, 자기장 세기는 경계면을 가로지를 때, 자유 전류의 유무에 따라 불연속이 발생한다는 것을 알 수 있다.
패러데이 법칙에 의하면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

이 성립하고, 위와 마찬가지로 영역 $$\Delta S$$에 대해 적분을 취하면, 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \int_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}=-\frac{d}{dt} \int_{\Delta S} \mathbf{D}\cdot d \mathbf{a} $$

마찬가지의 이유로 $$h \rightarrow 0$$의 극한을 취하면, $$\Delta S \rightarrow 0$$이 되고, 이에따라 $$\Delta S$$ 내를 통과하는 자기 선속은 0이 되므로 우변은 없어진다. 즉,

$$\displaystyle \int_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}=0 $$

따라서 경계 조건

$$\displaystyle (\mathbf{E_{2}}-\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$

를 얻는다. 따라서 이 경우에도 정적인 상황과 동일하며, 전기장의 표면에 평행한 성분은 경계면을 가로지를 때, 연속이 됨을 알 수 있다.
다음으로는 밑면과 아랫면의 면적이 각각 $$A$$로 동일하고, 높이 $$h$$에 대하여 이 원기둥 내부를 통과하는 전류 밀도에 대하여 적분을 취하면,

$$\displaystyle \int (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J})\,dV =- \int \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV $$

가 되고, 좌변은 발산 정리를 이용하며, $$h \rightarrow 0$$의 극한을 취하면,

$$\displaystyle \oint \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a} =[(\mathbf{J_{2}}-\mathbf{J_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}]A $$

임을 알 수 있고, 우변의 경우

$$\displaystyle - \int \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV \rightarrow -\frac{\partial \sigma}{\partial t} A $$

이 된다. $$\sigma$$는 표면 전하 밀도이다. 따라서 전류 밀도에 대한 경계 조건

$$\displaystyle (\mathbf{J_{2}}-\mathbf{J_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}=-\frac{\partial \sigma}{\partial t} $$

을 얻는다. 즉, 전류 밀도에 대한 수직 성분은 경계면을 통과할 때, 자유 전하의 유무에 따라 불연속이 발생함을 알 수 있다.
이상의 결과를 종합하면, 전자기파와 같은 정적이 아닌 전자기장이 다른 매질의 경계를 가로지를 때, 경계 조건은

$$\displaystyle \begin{aligned} (\mathbf{D_{2}}-\mathbf{D_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=\sigma_{f} \\ (\mathbf{E_{2}}-\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{t}}&=0 \\ (\mathbf{B_{2}}-\mathbf{B_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=0 \\ [\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t}&=\mathbf{K}_{f} \times \hat{\mathbf{n}} \\ (\mathbf{J_{2}}-\mathbf{J_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=-\frac{\partial \sigma}{\partial t} \end{aligned} $$

이 됨을 알 수 있다.

4. 전자기파의 경계 조건

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윗 문단을 토대로 전자기파의 경계 조건은 어떻게 되는 지 확인해보자. 고려하는 전자기파는 평면단색파이기 때문에 물리량은 시간 항 $$e^{-i \omega t}$$에 비례하고, 이에 따라, 매질의 경계면의 자유 표면 전하 또한 시간 항 $$e^{-i \omega t}$$에 비례한다고 가정할 수 있다. 또한 매질에는 옴의 법칙에 따르는 자유 전류만 존재한다고 가정[4]하며, 매질이 단순할 경우[5] 위에서의

$$\displaystyle \begin{aligned} (\mathbf{D_{2}}-\mathbf{D_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=\sigma_{f} \\ (\mathbf{J_{2}}-\mathbf{J_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=-\frac{\partial \sigma_{f}}{\partial t} \end{aligned} $$

[4] 이 경우 $$\mathbf{J}_{i}=\mathbf{J}_{f_{i}}=\sigma_{i} \mathbf{E}_{i}$$를 만족한다. $$\sigma_{i}$$는 매질 $$i$$의 전기전도도이다.

[5] 이 경우 $$\mathbf{D}_{i}=\varepsilon_{i} \mathbf{E}_{i}$$를 만족한다. $$\varepsilon_{i}$$는 매질 $$i$$의 유전율이다.

는 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} (\varepsilon_{2} \mathbf{ E_{2}}-\varepsilon_{1} \mathbf{ E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=\sigma_{f} \\ (\sigma_{2}\mathbf{E_{2}}-\sigma_{1}\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=-\frac{\partial \sigma_{f}}{\partial t} \end{aligned} $$

그런데 위에서 $$\sigma_{f} \propto e^{-i \omega t}$$이었으므로

$$\displaystyle \begin{aligned} (\varepsilon_{2} \mathbf{ E_{2}}-\varepsilon_{1} \mathbf{ E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=\sigma_{f} \\ (\sigma_{2}\mathbf{E_{2}}-\sigma_{1}\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}&=i\omega \sigma_{f} \end{aligned} $$

가 된다. 위 두 식을 결합하면,

$$\displaystyle \varepsilon_{1} \left( 1+i \frac{\sigma_{1}}{\omega \varepsilon_{1}} \right) \mathbf{ E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\varepsilon_{2} \left( 1+i \frac{\sigma_{2}}{\omega \varepsilon_{2}} \right) \mathbf{ E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$

이 된다.
다음으로는 각종 물리량을 유용하게 쓸 수 있는 법을 알아보자.

$$\displaystyle \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}=v\mathbf{B}=v \mu \mathbf{H} $$

임을 얻었고, 매질이 단순[6]하며, 전자기파의 진행 속도는

$$\displaystyle v=\frac{c}{n} $$

[6] 이 경우 $$\mathbf{B}_{i}=\mu_{i} \mathbf{H}_{i}$$를 만족한다. $$\mu_{i}$$는 매질 $$i$$의 투자율이다.

으로 굴절률로 나타낼 수 있으므로

$$\displaystyle \mathbf{H}=\frac{n}{c \mu}(\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}) $$

로 나타낼 수 있다. 회전 연산은 공간에 대한 미분 연산이므로 시간 항에 대해선 영향을 끼치진 않는다. 따라서 $$\mathbf{E} \propto e^{-i \omega t}$$를 만족한다면,

$$\displaystyle \mathbf{B} \propto e^{-i \omega t} $$

를 만족한다.
패러데이 법칙에서

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

이고, $$\mathbf{E} \propto e^{-i \omega t}$$를 이용하고, 각종 관계를 이용하면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=i \omega \mathbf{B} $$

따라서

$$\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}}{i \omega} $$

로 쓸 수 있고, 또한, 앙페르 법칙

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $$

와 $$\mathbf{E} \propto e^{-i \omega t}$$를 이용하고, 각종 관계를 이용하면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\sigma_{c} \mathbf{E}-i \omega \varepsilon \mathbf{E} $$

따라서 각 매질에서

$$\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}}{\sigma_{c}-i \omega \varepsilon} $$

로 쓸 수 있음을 얻는다.
아래 문단부터는 특별한 예시인 '유전체 - 유전체 경계면', '도체 - 유전체 경계면'을 볼 것이다. 수준 상 부분적으로 대전된 매질은 다루지 않으므로 관련 내용은 전공 책을 참고하라.

4.1. 유전체 - 유전체 경계면

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4.1.1. 수직 성분

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서로 다른 유전체가 맞닿아 있는 상황을 고려하자. 유전체는 전기 전도도가 0에 가깝다. 윗 문단에서 구했던

$$\displaystyle \varepsilon_{1} \left( 1+i \frac{\sigma_{1}}{\omega \varepsilon_{1}} \right) \mathbf{ E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\varepsilon_{2} \left( 1+i \frac{\sigma_{2}}{\omega \varepsilon_{2}} \right) \mathbf{ E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$

를 이용하면, $$\sigma_{i} \rightarrow 0$$으로 놓을 수 있으므로

$$\displaystyle \varepsilon_{1}\mathbf{ E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\varepsilon_{2}\mathbf{ E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$

이다. 따라서

$$\displaystyle \mathbf{D_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{ D_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$

로 쓸 수 있으므로 전기 변위장의 수직 성분(Normal component)는 경계면을 가로지를 때, 연속이 된다.
또한, 자기장은 경계면을 가로지를 때, 수직 성분은 연속이 돼야 하므로

$$\displaystyle \mathbf{B_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{B_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$

를 만족한다.

4.1.2. 수평 성분

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유전체는 전기 전도도가 0에 가까우므로 표면 전류가 흐르려면, 무한한 전기장을 걸어줘야 한다.[7] 따라서 일반적인 상황에서 유전체 경계면에서 표면 전류는 흐를 수 없다. 따라서 위에서 논의했던, 자기장 세기의 수평 성분 경계 조건

$$\displaystyle [ \mathbf{H_{1}}-\mathbf{H_{2}}]_{t} = \mathbf{K}_{f} \times \hat{\mathbf{n}} $$

[7] 즉, 유전체에 전류가 흐르려면 매우 높은 전기장을 걸어줘서 방전시켜줘야 함을 상기해보라.

에서 $$\mathbf{K}_{f}=0$$이 되므로

$$\displaystyle \mathbf{H_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{H_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} $$

가 되어 자기장 세기의 수평 성분(Tangential component)은 경계를 가로지를 때, 연속이 된다.
또한, 전기장은 서로 다른 매질을 가로지를 때, 수평 성분은 연속이 돼야 하므로

$$\displaystyle \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} $$

를 만족해야 한다.

4.2. 도체 - 유전체 경계면

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4.2.1. 수직 성분

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매질 1을 도체라고 가정하자. 도체는 전기 전도도가 거의 무한하다고 취급할 수 있다. 즉, $$\sigma_{1} \rightarrow \infty$$로 볼 수 있으며, 위에서 다뤘던 전류 밀도의 경계 조건

$$\displaystyle (\sigma_{2}\mathbf{E_{2}}-\sigma_{1}\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}=i \omega \sigma_{f} $$

를 고려해볼 때, 표면 전하가 무한할 수 없기 때문에 위 좌변의 연산을 거쳐 유한한 값의 물리량이 나오게 하려면,

$$\displaystyle \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=0 $$

을 만족시키게 할 수밖에 없다. 따라서

$$\displaystyle (\mathbf{D_{2}}-\mathbf{D_{1}})\cdot \hat{\mathbf{n}}=\sigma_{f} $$

를 고려해보면, $$\mathbf{D_{1}}=\varepsilon_{1} \mathbf{E_{1}}$$을 만족하므로

$$\displaystyle \mathbf{D_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\sigma_{f} $$

의 결과를 얻는다.
마찬가지로, 자기장의 수직 성분은 경계면을 가로지를 때, 연속이 되므로

$$\displaystyle \mathbf{B_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{B_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$

를 만족한다.

4.2.2. 수평 성분

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도체(매질 1)에서

$$\displaystyle \mathbf{E_{1}}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H_{1} }}{\sigma_{1}-i \omega \varepsilon_{1}} $$

을 만족하고, $$\sigma_{1} \rightarrow \infty$$를 만족한다. 따라서 자기장 세기가 미분가능하면, 분모가 발산하므로

$$\displaystyle \mathbf{E_{1}}=0 $$

가 되고, 윗문단에서 $$\displaystyle \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=0 $$임을 논의했으므로

$$\displaystyle \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$

을 만족해야 하고, 전기장의 수평 성분은 경계를 가로지를 때, 연속이므로

$$\displaystyle \mathbf{E_{1}} \cdot \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{E_{2}} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$

를 만족하게 된다. 위의 이유로

$$\displaystyle \mathbf{B_{1}}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E_{1} }}{i \omega} \, \rightarrow \, \mathbf{H_{1}}=\frac{\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E_{1} }}{i \mu_{1} \omega}$$

이므로

$$\displaystyle \mathbf{H_{1}}=0$$

이 된다. 그런데, 단순한 매질을 생각하고 있고, 위에서

$$\displaystyle \mathbf{B_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{B_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}}$$

를 만족하므로

$$\displaystyle \mathbf{H_{1}} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0$$

을 만족하게 된다. 따라서 이상의 결과를 종합하고, 각 물리량의 관계를 이용하면,

$$\displaystyle [ \mathbf{H_{2}}]_{t} = \mathbf{K}_{f} \times \hat{\mathbf{n}} \qquad \qquad \mathbf{B_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=0$$

임을 쉽게 알 수 있다.[8][9]

4.3. 정리

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아래는 위의 내용을 정리한 것이다.

'''경계'''	'''전기장 관련'''		'''자기장 관련'''
	'''수직 성분'''	'''수평 성분'''	'''수직 성분'''	'''수평 성분'''
유전체 - 유전체	$$ \mathbf{D_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{D_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$	$$ \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} $$	$$ \mathbf{B_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{B_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}} $$	$$ \mathbf{H_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{H_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} $$
도체[10] - 유전체	$$ \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=0 $$ $$ \mathbf{D_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=\sigma_{f} $$	$$ \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$ $$ \mathbf{E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$	$$ \mathbf{B_{1}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=0 $$ $$ \mathbf{B_{2}}\cdot \hat{\mathbf{n}}=0 $$	$$ \mathbf{H_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$ $$ [\mathbf{H_{2}}]_{t}=\mathbf{K}_{f} \times \hat\mathbf{n} $$

5. 다른 매질로의 전자기파 입사 : 유전체 - 유전체 경계면

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이 문단서 부터는 전자기파를 유전체 - 유전체 경계면에 입사할 때 나타나는 성질인 반사, 굴절에 대해 다룬다.
다만, 본인이 갖고 있는 책 또는 알고 있던 지식과 결과가 다를 수도 있다. 그 이유는 맨 처음에 입사파, 반사파, 투과파의 편광 방향을 가정할 때, 어떻게 가정하느냐에 따라 각각의 계수가 다르게 나오기 때문이다.

5.1. 수직 입사

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위 그림과 같이 굴절률 $$n_{1}(z<0) $$, $$n_{2}(z>0) $$인 유전체가 $$z=0$$을 기준으로 맞닿아있는 상황을 고려해보자. 또한, 이 문단에서는 파수 벡터가 경계면에 수직한 상황만 다루자. 즉, 전자기파가 경계면에 대해 수직하게 입사하는 경우를 다루는 것이다. 따라서 전자기파에 실린 물리량을 다음과 같이 쓸 수 있다. 즉, $$i \mathbf{k}_{j} \cdot \mathbf{r}=i\mathbf{k}_{j}z $$이 성립하므로

$$\displaystyle \mathbf{V}_{j}=\hat{\mathbf{V}}_{j} V_{j} e^{i(k_{j}z-\omega t)} $$

[8] 단순한 매질을 다루고 있으므로 이렇게 표현될 수 있다는 점에 유의해야 한다.

[9] 사실 맨 아래의 유전체 - 도체 경계면을 다루게 되면서 표면 자유 전류 밀도는 없다는 것을 알 수 있다.

[10] 이 경우는 위에서 명시했듯, 유전체에 비해 매우 높은 전도도($$\sigma_{c} \rightarrow \infty$$)를 가지는 도체를 의미한다.

쓸 수 있다. 일반적으로 파동이 전파 되면서, 서로 다른 매질을 만날 때, 경계에서 입사파(Incidence wave), 반사파(Reflection wave), 투과파(Transmission wave)가 존재한다. 위 그림을 참조하여, 전자기파에 실린 전자기장의 공간항만 쓰면,

'''종류'''	'''전기장'''	'''자기장'''
입사파	$$\hat{\mathbf{x}}E_{1}e^{i k_{1}z} $$	$$\hat{\mathbf{y}}B_{1}e^{i k_{1}z} $$
반사파	$$\hat{\mathbf{x}}E_{1}'e^{i k_{1}'z} $$	$$ -\hat{\mathbf{y}}B_{1}'e^{i k_{1}'z} $$
투과파	$$\hat{\mathbf{x}}E_{2}e^{i k_{2}z} $$	$$ \hat{\mathbf{y}}B_{2}e^{i k_{2}z} $$

이 된다. 이때,

$$\displaystyle \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \qquad \qquad \mathbf{H}=\frac{n}{c \mu}(\hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}) $$

를 만족하므로

'''종류'''	'''전기장'''	'''자기장 세기'''
입사파	$$\hat{\mathbf{x}}E_{1}e^{i k_{1}z} $$	$$\displaystyle \hat{\mathbf{y}} \frac{n_{1} E_{1}}{c \mu_{1}} e^{i k_{1}z} $$
반사파	$$\hat{\mathbf{x}}E_{1}'e^{i k_{1}'z} $$	$$\displaystyle -\hat{\mathbf{y}} \frac{n_{1} E_{1}'}{c \mu_{1}} e^{i k_{1}'z} $$
투과파	$$\hat{\mathbf{x}}E_{2}e^{i k_{2}z} $$	$$ \hat{\mathbf{y}}B_{2}e^{i k_{2}z} $$

이 된다. 이 문제 상황은 유전체 - 유전체 경계면이므로 다음의 조건이 만족해야 한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} \\ \mathbf{H_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{H_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} \end{aligned} $$

그런데 위에서 나타난 파는 모두 경계에 수평한 성분들 뿐이므로

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{1}+E_{1}'&=E_{2} \\ \frac{n_{1}}{\mu_{1}}(E_{1}-E_{1}')&=\frac{n_{2}}{\mu_{2}}E_{2} \end{aligned} $$

이때, 위 방정식은 미지수 3개, 식 2개인 연립 방정식이므로 각각을 구할 수 없고 각각의 비만 구할 수 있다. 또한,

$$\displaystyle \frac{n_{2} \mu_{1}}{n_{1} \mu_{2}} \equiv \beta$$

라 놓으면,

$$\displaystyle \begin{aligned} 1+\frac{E_{1}'}{E_{1}}&=\frac{E_{2}}{E_{1}} \\ 1-\frac{E_{1}'}{E_{1}}&=\beta \frac{E_{2}}{E_{1}} \end{aligned} $$

이 되고, 위의 연립 방정식을 풀면,

$$\displaystyle \frac{E_{1}'}{E_{1}}=\frac{1-\beta}{1+\beta} \qquad \qquad \frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{2}{1+\beta} $$

가 된다. 일반적으로 두 유전체의 투자율은 거의 같다. 따라서 $$\mu_{1} \simeq \mu_{2}$$로 둘 수 있고, 이럴 경우 $$\beta=n_{2}/n_{1}$$로 쓸 수 있으므로

$$\displaystyle \frac{E_{1}'}{E_{1}}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \qquad \qquad \frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}} $$

으로 쓸 수 있다. 여기서 위와 같이 입사파의 진폭과 반사파, 투과파의 진폭의 비를 각각 '''Fresnell 반사 계수''' $$r$$, '''Fresnell 투과 계수''' $$t$$라 하며,

$$\displaystyle \frac{E_{1}'}{E_{1}} \equiv r \qquad \qquad \frac{E_{2}}{E_{1}} \equiv t $$

로 쓴다. 반사파의 경우

$$\displaystyle \frac{E_{1}'}{E_{1}}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}} $$

로 부터

• $$n_{1} > n_{2}$$ : $$\left| rE_{1} \right|=\left| E_{1}' \right|$$
• $$n_{1}

를 알 수 있으며, 즉, 두 매질의 굴절률에 따라 반사파의 위상은 바뀔 수도 있음을 나타낸다. 이것은 파동이 반사될 때, '고정단반사'와 '자유단반사'의 사례를 생각해보면 쉽게 이해할 수 있다. 또한, 투과파의 경우엔 두 매질의 굴절률에 관계 없이

$$\displaystyle \left| t E_{1} \right|=\left| E_{2} \right| $$

로, 입사파와 투과파의 위상이 동일한 것을 알 수 있다. 다음으로는 반사율 $$R$$과 투과율 $$T$$에 대해서 논의해보도록 하자. 반사율과 투과율은 각각 입사파와 반사파의 포인팅 벡터 평균값의 비와 입사파와 투과파의 포인팅 벡터 평균값의 비로 정의된다. 즉,

$$\displaystyle R \equiv \frac{\left \langle {S_{1}'} \right \rangle}{\left \langle {S_{1}} \right \rangle} \qquad \qquad T \equiv \frac{\left \langle {S_{2}} \right \rangle}{\left \langle {S_{1}} \right \rangle} $$

이다. 포인팅 벡터 문서의 결과를 쓰면,

$$\displaystyle {\left \langle {S_{i}} \right \rangle} =\frac{n_{i} E_{i}^{2}}{2 c \mu_{i}} $$

이므로 반사율과 투과율는

$$\displaystyle \begin{aligned} R&=\left( \frac{E_{1}'}{E_{1}} \right)^{2} \\ T&=\beta \left( \frac{E_{2}}{E_{1}} \right)^{2} \end{aligned} $$

이때, 유전체 특성 상 $$\mu_{1} \simeq \mu_{2}$$으로 쓸 수 있으므로

$$\displaystyle \begin{aligned} R&=\left( \frac{E_{1}'}{E_{1}} \right)^{2} \\ T&=\frac{n_{2}}{n_{1}} \left( \frac{E_{2}}{E_{1}} \right)^{2} \end{aligned} $$

가 되고,

$$\displaystyle R=r^{2} \qquad \qquad T=\frac{n_{2}}{n_{1}} t^{2}$$

이 됨을 쉽게 알 수 있다.

5.2. 경사 입사

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5.2.1. 입사면

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이제부터는 유전체 - 유전체 경계면에 전자기파가 비스듬히 입사한 상황을 고려해보자. 그 전에 '입사면(Plane of incidence)'에 대해 명확한 정의를 할 필요가 있다.

그림과 같이 경계 $$z=0$$을 기준으로 전자기파가 비스듬히 입사한 상황을 고려해보자. 이때, 경계면에 수직한 단위 법벡터 $$\hat{\mathbf{n}}$$을 생각할 수 있고, 입사파의 파수 벡터 $$\mathbf{k_{1}}$$을 생각할 수 있다. 이때, 두 벡터가 만드는 평면은 하나로 결정되며, 그러한 평면을 '''입사면'''이라 한다. 위 그림에서는 회색 평면이 입사면이 되는 것이다.
주의할 것은 입사파의 파수 벡터 $$\mathbf{k_{1}}$$가 $$\hat{\mathbf{n}}$$에 평행할 경우[11] 평면은 하나로 결정되지 않으므로 입사면은 하나로 정의할 수 없다.

5.2.2. p편광과 s편광

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이번에는 p편광과 s편광에 대해서 알아보자. 위에서 정의한 입사파가 입사면에 전기장 성분이 평행하면서 진동할 때, 그 전자기파는 '''p편광'''되었다고 한다. 다른 말로는 'TM[12] wave'라고도 한다. 또한, p편광과는 다르게, 입사면에 전기장 성분이 수직하면서 진동할 때, 그 전자기파는 '''s편광'''되었다고 한다. 다른 말로는 'TE[13] wave'라고도 한다. 아래의 그림을 참조하라.

밑의 논의에서 보겠지만, p편광이나, s편광에 따라 반사 계수 및 투과 계수는 달라지게 되며, 경계에서 위상이 달리지는 등 전자기파의 성질을 결정짓는 중요한 특성이므로 분류할 필요가 있어서 분류한 것이다.

5.2.3. 굴절과 반사

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5.2.3.1. 입사파가 p편광된 파일 경우

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위 그림과 같이 굴절률 $$n_{1}(z<0) $$, $$n_{2}(z>0) $$인 유전체가 $$z=0$$을 기준으로 맞닿아있는 상황을 고려해보자. 이때, 입사파가 경계면의 법선에 $$\theta_{1}$$의 각으로 비스듬히 들어온다고 하자. 이때, 반사파는 $$\theta_{1}'$$의 각으로 반사되고, 투과파는 $$\theta_{2}$$로 투과된다. 빛은 보다시피 p편광돼있는 상태이다. 이때, 입사파, 반사파, 투과파에 실린 전자기장의 공간항만을 쓰면,

'''종류'''	'''전기장'''	'''자기장'''
입사파	$$ \mathbf{E_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \mathbf{r}} $$	$$ \mathbf{B_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \mathbf{r}} $$
반사파	$$ \mathbf{E_{1}'} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \mathbf{r}} $$	$$ \mathbf{B_{1}'} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \mathbf{r}} $$
투과파	$$ \mathbf{E_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \mathbf{r}} $$	$$ \mathbf{B_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \mathbf{r}} $$

로 쓸 수 있다. 이때, 경계면($$z=0$$)에서는

$$\displaystyle \mathbf{r}=\mathbf{z}+\boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{\rho} $$

[11] 즉, 위에서 다뤘던 '수직 입사'의 경우.

[12] Transverse magnetic field

[13] Transverse electric field

이므로

'''종류'''	'''전기장'''	'''자기장'''
입사파	$$ \mathbf{E_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$	$$ \mathbf{B_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$
반사파	$$ \mathbf{E_{1}'} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$	$$ \mathbf{B_{1}'} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$
투과파	$$ \mathbf{E_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$	$$ \mathbf{B_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$

로 쓸 수 있다. 현재 유전체 - 유전체 경계면을 다루므로 경계 조건

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} \\ \mathbf{H_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{H_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} \end{aligned} $$

을 쓰고자 한다. 따라서 전기장의 경계 조건으로 부터

$$\displaystyle E_{1} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}}\cos{\theta_{1}} +E_{1}' e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}} \cos{\theta_{1}'}=E_{2} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} \cos{\theta_{2}} $$

가 되고, 자기장 세기는

$$\displaystyle H_{i}=\frac{n_{i} E_{i}}{c \mu_{i}} $$

으로 나타낼 수 있다. 자기장 세기는 현재 $$y$$방향으로 진동하므로 자기장 세기의 경계 조건을 쓰면,

$$\displaystyle \frac{n_{1} E_{1}}{c \mu_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}} -\frac{n_{1} E_{1}'}{c \mu_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}}=\frac{n_{2} E_{2}}{c \mu_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$

로 쓸 수 있다. 따라서 풀어야 할 연립 방정식은

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{1} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}}\cos{\theta_{1}} +E_{1}' e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}} \cos{\theta_{1}'}&=E_{2} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} \cos{\theta_{2}} \\ E_{1}e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}} -E_{1}' e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}}&=\beta E_{2} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} \end{aligned} $$

이 된다. 위에서 정의했듯, $$\beta \equiv {n_{2} \mu_{1}}/{n_{1} \mu_{2}}$$이다. 그런데 이 방정식을 풀기 위해 도입해야 할 경계 조건이 하나 더 있다. 아래의 조건을 도입하지 않으면 일반적인 방법으로 첫 번째 식은 등식이 성립되지 않으며, 경계에서 위상 또한 맞지 않는다.

$$\displaystyle \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}=\mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}=\mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho} $$

따라서 위 방정식을

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{1} \cos{\theta_{1}} +E_{1}' \cos{\theta_{1}'}&=E_{2} \cos{\theta_{2}} \\ E_{1} -E_{1}' &=\beta E_{2} \end{aligned} $$

로 쓸 수 있음을 얻는다. 위의 연립 방정식을 풀기 전에 하나의 작업을 더 거치고자 한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \hat{\mathbf{n}} \times (\hat{\mathbf{n}} \times \boldsymbol{\rho} )&=( \hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\rho} ) \hat{\mathbf{n}}-( \hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \boldsymbol{\rho} \\ &=-\boldsymbol{\rho} \end{aligned} $$

따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{k}_{i} \cdot \boldsymbol{\rho}&=-\mathbf{k}_{i} \cdot [\hat{\mathbf{n}} \times (\hat{\mathbf{n}} \times \boldsymbol{\rho} ) ] \\ &=-(\mathbf{k}_{i} \times \hat{\mathbf{n}}) \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \boldsymbol{\rho}) \end{aligned} $$

로 쓸 수 있으므로 위에서의 경계 조건에 의해

$$\displaystyle -(\mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{n}}) \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \boldsymbol{\rho})=-(\mathbf{k}_{1}' \times \hat{\mathbf{n}}) \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \boldsymbol{\rho})=-(\mathbf{k}_{2} \times \hat{\mathbf{n}}) \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times \boldsymbol{\rho}) $$

이것이 일반적으로 성립하려면,

$$\displaystyle \mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{k}_{1}' \times \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{k}_{2} \times \hat{\mathbf{n}}$$

이다. 이것의 크기만을 비교해보면,

$$\displaystyle k_{1} \sin{\theta_{1}}=k_{1}' \sin{\theta_{1}'}=k_{2} \sin{\theta_{2}} $$

이때, 각진동수와 파수의 비는 진행 속도이고, 진행 속도는 굴절률과 관계하여 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \frac{\omega}{k}=\frac{c}{n} \, \rightarrow \, k=\frac{\omega n}{c} $$

그런데 단색평면파를 다루고 있으므로 결국

$$\displaystyle n_{1}{\sin{\theta_{1} }}=n_{1}{\sin{\theta_{1}'}}=n_{2}{\sin{\theta_{2} }} $$

가 된다.[14] 따라서 전자기파가 서로 다른 매질을 경계면 사이에서의 중요한 특성 2가지를 얻는다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}&=\theta_{1}' \\ n_{1}\sin{\theta_{1}}&=n_{2} \sin{\theta_{2}} \end{aligned} $$

[14] 여기서 암묵적으로 $$k_{1}=k_{1}'$$를 이용했는데, 그 이유는 입사파와 반사파 모두 같은 매질에서 진행하고 있으므로 진동수와 파장은 같을 수밖에 없기 때문이다.

첫 번째 식은 '''반사의 법칙'''을 의미하며, '''전자기파가 서로다른 매질의 경계에서 반사될 때, 입사각과 반사각은 같음'''을 나타낸다. 두 번째 식은 '''굴절의 법칙''' 혹은 '''스넬의 법칙'''을 의미하며, 입사각과 굴절각이 두 매질의 굴절률에 의존함을 보여준다. 스넬의 법칙 문서에서 더 자세한 설명을 얻을 수 있다. 이 결과를 이용하면, 위의 연립 방정식을

$$\displaystyle \begin{aligned} 1 +\frac{E_{1}'}{E_{1}}&=\alpha \frac{E_{2}}{E_{1}}\\ 1 -\frac{E_{1}'}{E_{1}}&=\beta \frac{E_{2}}{E_{1}} \end{aligned} $$

로 쓸 수 있다. 위 식에서 $$\cos{\theta_{2}}/\cos{\theta_{1}} \equiv \alpha$$로 정의했다. 따라서

$$\displaystyle r_{p}=\frac{E_{1}'}{E_{1}}=\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta} \qquad \qquad t_{p}=\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{2}{\alpha+\beta} $$

임을 얻는다. $$r_{p}$$, $$t_{p}$$는 수직 입사에서도 다뤘듯이, 'Fresnell 반사 계수', 'Fresnell 투과 계수'이다. 다만 p편광된 빛을 입사시켰음을 강조하기 위해 첨자 $$p$$를 붙였다. 마찬가지로, 유전체 - 유전체를 다루고 있기 때문에 두 유전체의 투자율은 거의 비슷하며, 이 경우

$$\displaystyle \alpha=\frac{\cos{\theta_{2} }}{\cos{\theta_{1} }} \qquad \qquad \beta=\frac{n_{2}}{n_{1}} $$

이 됨에 따라

$$\displaystyle r_{p}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{2}}-n_{2}\cos{\theta_{1} }}{n_{1}\cos{\theta_{2}}+n_{2}\cos{\theta_{1} }}\qquad \qquad t_{p}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} }}{n_{1}\cos{\theta_{2}}+n_{2}\cos{\theta_{1} }} $$

로 쓸 수 있다. 이때, 스넬의 법칙을 사용하여, 굴절률을 소거하면,

$$ \displaystyle r_{p}=\frac{\tan{(\theta_{2}-\theta_{1})}}{\tan{(\theta_{2}+\theta_{1})}} \qquad \qquad t_{p}=\frac{2\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2} }}{\sin{(\theta_{2}+\theta_{1})}\cos{(\theta_{2}-\theta_{1})}} $$

으로 쓸 수 있음을 쉽게 증명할 수 있다. 마지막으로, 반사율와 투과과율를 구하자. 구하는 것들은

$$\displaystyle R \equiv \frac{\left \langle {S_{1}'} \right \rangle \cos{\theta_{1}'}}{\left \langle {S_{1}} \right \rangle \cos{\theta_{1} }} \qquad \qquad T \equiv \frac{\left \langle {S_{2}} \right \rangle \cos{\theta_{2} }}{\left \langle {S_{1}} \right \rangle \cos{\theta_{1} }} $$

이다.[15] 포인팅 벡터 문서의 결과를 쓰면,

$$\displaystyle {\left \langle {S_{i}} \right \rangle} =\frac{n_{i} E_{i}^{2}}{2 c \mu_{i}} $$

[15] cosine 항이 붙는 것은 현재 전자기파가 경계면에 비스듬하게 들어오기 때문이며, 관심사는 경계면에 반사하거나 투과하는 에너지이므로 경계에서 투과되거나 반사되는 포인팅 벡터의 평균값을 구하기 위해서 붙이는 것이다. 포인팅 벡터는 전자기파의 진행 방향과 동일하다는 것 또한 기억하라.

로 쓸 수 있으므로 결국

$$\displaystyle R=r_{p}^{2} \qquad \qquad T=\alpha \beta t_{p}^{2} $$

임을 쉽게 알 수 있다. 또, 유전체의 특성을 이용하면,

$$\displaystyle R=r_{p}^{2} \qquad \qquad T=\frac{n_{2} \cos{\theta_{2} }}{n_{1} \cos{\theta_{1} }} t_{p}^{2} $$

임을 알 수 있다.
여담으로, 에너지는 보존돼야 하기 때문에 투과율과 반사율은 다음을 만족해야 한다는 것을 상기해야 한다.

$$\displaystyle R+T=1 $$

5.2.3.2. 입사파가 s편광된 파일 경우

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위 그림과 같이 굴절률 $$n_{1}(z<0) $$, $$n_{2}(z>0) $$인 유전체가 $$z=0$$을 기준으로 맞닿아있는 상황을 고려해보자. 이때, 입사파가 경계면의 법선에 $$\theta_{1}$$의 각으로 비스듬히 들어온다고 하자. 이때, 반사파는 $$\theta_{1}'$$의 각으로 반사되고, 투과파는 $$\theta_{2}$$로 투과된다. 빛은 s편광 되어 있음에 주의한다. p편광 된 경우와 동일하게 경계면에서 입사파, 반사파, 투과파를 정리하면,

'''종류'''	'''전기장'''	'''자기장'''
입사파	$$ \mathbf{E_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$	$$ \mathbf{B_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$
반사파	$$ \mathbf{E_{1}'} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$	$$ \mathbf{B_{1}'} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$
투과파	$$ \mathbf{E_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$	$$ \mathbf{B_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} $$

로 쓸 수 있다. 현재 유전체 - 유전체 경계면을 다루므로 경계 조건

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{E_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} \\ \mathbf{H_{1}}\cdot \hat{\mathbf{t}}&=\mathbf{H_{2}}\cdot \hat{\mathbf{t}} \end{aligned} $$

을 쓰자. 이때, 전기장은 현재 경계면에 수평한 성분만 존재한다. 따라서 p편광일 때와 유사하나, 자기장은 비스듬한 성분이 존재한다는 것에 유의하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} -E_{1}e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}} -E_{1}' e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}}&= -E_{2} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} \\ \frac{n_{1 }E_{1}}{c \mu_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}}\cos{\theta_{1}} -\frac{n_{1 }E_{1}'}{c \mu_{1}} e^{i \mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}} \cos{\theta_{1}'}&=\frac{n_{2 }E_{2}}{c \mu_{2}} e^{i \mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho}} \cos{\theta_{2}} \end{aligned} $$

또한, p편광 문제와 같게, 경계 조건

$$\displaystyle \mathbf{k_{1}} \cdot \boldsymbol{\rho}=\mathbf{k_{1}'} \cdot \boldsymbol{\rho}=\mathbf{k_{2}} \cdot \boldsymbol{\rho} $$

을 적용하고, p편광에서 전자기파가 반사될 때, 입사각과 반사각을 같음을 적용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{1}+E_{1}' &= E_{2} \\ \frac{n_{1 }E_{1}}{ \mu_{1}} \cos{\theta_{1}} -\frac{n_{1 }E_{1}'}{\mu_{1}} \cos{\theta_{1}}&=\frac{n_{2 }E_{2}}{\mu_{2}} \cos{\theta_{2}} \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있다. 이것을 다시 쓰면,

$$\displaystyle \begin{aligned} 1+\frac{E_{1}' }{E_{1}}&=\frac{E_{2}}{E_{1}} \\ 1-\frac{E_{1}' }{E_{1}}&=\alpha \beta \frac{E_{2}}{E_{1}} \end{aligned} $$

로 쓸 수 있다. 여기서 $$\beta \equiv {n_{2} \mu_{1}}/{n_{1} \mu_{2}}$$, $$\alpha \equiv \cos{\theta_{2}}/\cos{\theta_{1}}$$이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$\displaystyle r_{s}=\frac{E_{1}'}{E_{1}}=\frac{1-\alpha \beta}{1+\alpha \beta} \qquad \qquad t_{s}=\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{2}{1+\alpha \beta} $$

유전체는 투자율이 비슷하므로 $$\mu_{1} \simeq \mu_{2}$$임을 이용하면,

$$\displaystyle \alpha=\frac{\cos{\theta_{2} } }{\cos{\theta_{1} } } \qquad \qquad \beta=\frac{n_{2}}{n_{1}} $$

가 되므로

$$\displaystyle r_{s}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{1}}-n_{2}\cos{\theta_{2} } }{n_{1}\cos{\theta_{1}}+n_{2}\cos{\theta_{2} } }\qquad \qquad t_{s}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\theta_{1}}+n_{2}\cos{\theta_{2} } } $$

임을 쉽게 알 수 있다. p편광 때와 마찬가지로 스넬의 법칙을 사용하여, 굴절률을 소거하면,

$$ \displaystyle r_{s}=\frac{\sin{(\theta_{2}-\theta_{1})}}{\sin{(\theta_{2}+\theta_{1})}} \qquad \qquad t_{s}=\frac{2\cos{\theta_{1}}\sin{\theta_{2} } }{\sin{(\theta_{2}+\theta_{1})}} $$

로 쓸 수 있음을 쉽게 증명할 수 있다. 마지막으로, 반사율과 투과율를 구하자. 구하는 것들은 아래와 같이 쓸 수 있고,

$$\displaystyle R \equiv \frac{\left \langle {S_{1}'} \right \rangle \cos{\theta_{1}'}}{\left \langle {S_{1}} \right \rangle \cos{\theta_{1} } } \qquad \qquad T \equiv \frac{\left \langle {S_{2}} \right \rangle \cos{\theta_{2} } }{\left \langle {S_{1}} \right \rangle \cos{\theta_{1} } } $$

포인팅 벡터 문서의 결과를 쓰면,

$$\displaystyle {\left \langle {S_{i}} \right \rangle} =\frac{n_{i} E_{i}^{2}}{2 c \mu_{i}} $$

이고, 이것을 이용하면,

$$\displaystyle R=r_{s}^{2} \qquad \qquad T=\alpha \beta t_{s}^{2} $$

임을 쉽게 알 수 있다. 또, 유전체의 특성을 이용하면,

$$\displaystyle R=r_{s}^{2} \qquad \qquad T=\frac{n_{2} \cos{\theta_{2} } }{n_{1} \cos{\theta_{1} } } t_{s}^{2} $$

임을 알 수 있다.

5.2.3.3. 위 논의 종합

---

위의 논의로 유전체 - 유전체 경계면에 전자기파가 비스듬이 입사되었을 때, Fresnell 반사 계수 및 Fresnell 투과 계수를 구해보았다. 위의 결과를 요약하면, 입사파가 p편광된 전자기파였을 경우

$$\displaystyle r_{p}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{2}}-n_{2}\cos{\theta_{1} }}{n_{1}\cos{\theta_{2}}+n_{2}\cos{\theta_{1} }}\qquad \qquad t_{p}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} }}{n_{1}\cos{\theta_{2}}+n_{2}\cos{\theta_{1} }} $$

이고, s편광된 전자기파였을 경우

$$\displaystyle r_{s}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{1}}-n_{2}\cos{\theta_{2} }}{n_{1}\cos{\theta_{1}}+n_{2}\cos{\theta_{2} }}\qquad \qquad t_{s}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} }}{n_{1}\cos{\theta_{1}}+n_{2}\cos{\theta_{2} }} $$

이다. 이 결과는 꽤 흥미로운 이야깃 거리를 던져주는데, 입사면에 수평하게 진동하는 벡터장이 뭐느냐[16]에 따라 Fresnell 투과 계수 및 Fresnell 반사 계수가 달라지는 것은 물론, 같은 조건[17]에서 전자기파를 입사시키더라도 반사 혹은 투과된 파에 차이가 난다는 것이다.

5.2.3.4. 입사각 극한

---

'''(ⅰ) 수직 입사 극한'''
수직 입사의 경우 $$\theta_{1} \rightarrow 0$$임을 의미한다. 이 경우엔 스넬의 법칙에 의해 $$\theta_{2} \rightarrow 0$$이 성립한다. 따라서 편광 종류와 관계 없이

$$\displaystyle r_{p}=r_{s}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\qquad \qquad t_{p}=t_{s}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}} $$

[16] 즉, 입사하는 전자기파가 p편광 되었는지 혹은, s편광 되었는지

[17] 두 매질, 입사각을 고정시키는 것을 의미한다.

임을 얻는다.
'''(ⅱ) 수평 입사 극한'''
수평 입사의 경우 $$\theta_{1} \rightarrow \pi/2$$임을 의미한다. 따라서

$$\displaystyle r_{p} =- r_{s} \simeq 1 \qquad \qquad t_{p}=t_{s}\simeq 0$$

임을 쉽게 알 수 있다. 여기서는 투과파의 진폭은 매우 작아진다는 것을 알 수 있으며, 입사파의 편광 종류에 따라 반사파의 위상이 입사파와 동위상인지 아님, 반대 위상인지 결정된다는 것을 알 수 있다.

5.2.3.5. 전반사

---

굴절률 $$n_{1}$$, $$n_{2}$$인 두 유전체가 맞닿아 있는 상황을 고려하자. 굴절률 $$n_{1}$$의 유전체에서 전자기파를 입사시키며, 굴절률이 $$n_{1}>n_{2}$$를 만족시킨다고 하자. 이때, '''임계각(Critical angle)'''은 로 이루어진 경계면에서 다음과 같은 입사각을 의미한다.

$$ \displaystyle \theta_{c}=\sin^{-1}{ \left( \frac{n_{2}}{n_{1}} \right) } $$

이렇게 되면, 스넬의 법칙에 의해

$$ \displaystyle n_{1}\sin{\theta_{c}}=n_{2}\sin{\theta_{2}} $$

에서

$$ \displaystyle \sin{\theta_{2}}=1 $$

이 되므로 굴절각은 $$ \theta_{2}=\pi/2$$가 된다. 따라서 투과파는 경계면을 따라 이동하게 되기 때문에 $$n_{2}$$ 영역에 전자기파는 존재하지 않게 된다. 또한, $$ \theta_{2}=\pi/2$$를 만족하기 때문에 반사 계수는 각각

$$ \displaystyle r_{p}=-r_{s}=1 $$

이 되고, 결국 반사율은 두 경우 모두

$$ \displaystyle R=1$$

를 만족한다. 반사율은 입사된 파의 복사 강도와 반사된 파의 복사 강도의 비이므로 이들이 각각 같음을 알 수 있고, 이것은 곧 $$n_{1}$$ 영역에서 파가 모두 반사되었음을 의미한다. 이것을 '''전반사(Total internal reflection)'''라 한다. 더군다나, $$ \theta_{2}=\pi/2$$이기 때문에 투과율

$$ \displaystyle T=0$$

이 됨을 쉽게 증명할 수 있다.
그렇다면, 굴절률이 $$n_{1}<n_{2}$$를 만족한다면, 어떤 일이 벌어질까? 임계각의 정의에서

$$ \displaystyle \sin{\theta_{c}}= \frac{n_{2}}{n_{1}} > 1 $$

를 알 수 있으며, 이러한 조건을 만족시키려면, $$\theta_{c}$$는 더 이상 실수 영역의 각이 아니게 된다. 따라서 이 경우에는 임계각이 존재하지 않게된다. 또한, 아래의 내용을 참조해보면, 위 조건에서 전반사는 일어날 수 없음 또한 알 수 있다.
이제부터 임계각 보다 더 큰 입사각으로 전자기파를 유전체 - 유전체 경계면에 입사시키면 어떻게 되는지 고찰해보고자 한다. 스넬의 법칙을 따르면,

$$ \displaystyle n_{1}\sin{\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}} $$

이것을 임계각을 이용해 다시 쓰면,

$$ \displaystyle \frac{\sin{\theta_{1} } }{\sin{\theta_{c} } }=\sin{\theta_{2}} $$

로 쓸 수 있고, 암묵적으로 $$0<{\theta_{1}},\,\theta_{c}<{\pi}/{2}$$인 상황과 $$\theta_{1}>\theta_{c}$$을 고려하고 있으므로

$$ \displaystyle 1<\sin{\theta_{2}} \, \rightarrow \, 1<\sqrt{1-\cos^{2}{\theta_{2} } } $$

을 만족한다. 따라서 이 조건이 만족하려면,

$$ \displaystyle \cos^{2}{\theta_{2}}<0 $$

을 만족해야 하므로 $$\cos{\theta_{2}}$$가 순허수가 돼야 함을 알 수 있고, 더 이상 $$\theta_{2}$$를 각도로 보기 어렵다는 것을 깨달을 수 있다. 따라서 아래부터는 복소수량을 의미하는 ~를 붙이자. 따라서 이것을 아래와 같이 쓰자.

$$ \displaystyle \cos{ \tilde{\theta_{2}} } \equiv i \beta $$

이때, $$\beta$$는 실수이며,

$$ \displaystyle \sin{\tilde{\theta_{2} } } \equiv \alpha = \sqrt{1+\beta^{2}}$$

임을 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 반사 계수를,

$$ \displaystyle r_{p}=\frac{i \beta n_{1}-n_{2}\cos{\theta_{1} } }{i \beta n_{1}+n_{2}\cos{\theta_{1} } } \qquad \qquad r_{s}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{1}}-i \beta n_{2}}{n_{1}\cos{\theta_{1}}+i \beta n_{2}} $$

로 쓸 수 있고, 두 식 모두 $$C^{\ast}/C$$의 구조로 돼있으므로 반사율은 두 경우 모두 1이 나옴을 알 수 있다. 이상에서

$$ \displaystyle R=1 $$

로 결정되고 이처럼, 임계각보다 큰 입사각으로 전자기파를 입사하면, 반사율이 1이 된다. 따라서 전반사가 일어났음을 알 수 있다. 이로써 임계각은 전반사가 일어나는 최소의 각이며, 그 각보다 더 큰 값으로 전자기파를 입사시킬 경우 전반사가 일어남을 알 수 있다.
좀 더 심화된 내용을 다루기 위해 다시 한 번 더 반사 계수와 투과 계수를 써보도록 하자.

$$ \displaystyle r_{p}=\frac{i \beta n_{1}-n_{2}\cos{\theta_{1} } }{i \beta n_{1}+n_{2}\cos{\theta_{1} } } \qquad \qquad r_{s}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{1}}-i \beta n_{2}}{n_{1}\cos{\theta_{1}}+i \beta n_{2}} $$

$$ \displaystyle t_{p}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} } }{i \beta n_{1}+n_{2}\cos{\theta_{1} } } \qquad \qquad t_{s}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\theta_{1}}+i \beta n_{2}}$$

전반사일 때, 반사율은 1이 되지만, 각각의 계수들은 0이 되지 않는 것을 알 수 있다. 따라서 입사파, 반사파, '''투과파''' 모두 존재하게 된다. 그러나, 투과파가 존재한다면, 전자기파는 그 자체로 에너지가 실려있기 때문에 투과율이 0이 나오는 것은 불가능하다. 결론부터 말하자면, 이러한 모순은 투과파의 형태를 조사함으로써 해결할 수 있다. $$n_{2}$$ 영역에서 파수 벡터를

$$ \displaystyle \begin{aligned} \tilde{\mathbf{k_{2} } }&=k_{2} ( \cos{\tilde{\theta_{2} } }\hat{\mathbf{z}}+\sin{\tilde{\theta_{2} } }\hat{\mathbf{x}} ) \\&=k_{2} ( i\beta \hat{\mathbf{z}}+\alpha \hat{\mathbf{x}} ) \end{aligned} $$

로 쓸 수 있다. 따라서 $$n_{2}$$ 영역에서 전자기파는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \displaystyle \mathbf{E_{2}} e^{i(\tilde{\mathbf{k_{2} } } \cdot \mathbf{r}-\omega t)}=\mathbf{E_{2}} e^{-k_{2} \beta z} e^{i(k_{2}\alpha x-\omega t)} $$

따라서 이 파의 진행 방향은 $$\hat{\mathbf{x}}$$이고, $$\hat{\mathbf{z}}$$ 방향으로는 감쇠되는 파임을 알 수 있다. 이러한 파를 감쇠파(evanescent wave)라 하며, 실제 모습은 이곳을 참조하라.
이제 투과를 통해 전해지는 에너지[18]가 없음을 증명하자. 문제를 간단히 하기 위해 입사파가 s-편광 되었다고 하면, $$n_{2}$$ 영역에서 전기장은

$$ \displaystyle \mathbf{E}=-\hat{\mathbf{y}}E_{2} e^{-k_{2} \beta z} e^{i(k_{2}\alpha x-\omega t)} $$

[18] 정확히 말하면 복사 강도를 구하는 것이며, 이것은 전자기파가 전달하는 단위 시간, 단위 면적 당 에너지를 의미한다. 자세한 것은 포인팅 벡터 문서를 참조하라.

이고, 맥스웰 방정식에서 전자기파의 방사 형태 부분을 참고하면,

$$ \displaystyle \tilde{\mathbf{k_{2} } } \times \mathbf{E}= \frac{k_{2} c}{n_{2}} \mu_{0} \mathbf{H} =\omega \mu_{0} \mathbf{H} $$

으로 쓸 수 있으므로

$$ \displaystyle \mathbf{H}=\frac{k_{2} E_{2}}{\omega \mu_{0}}(\hat{\mathbf{x}} i \beta- \hat{\mathbf{z}} \alpha ) e^{-k_{2} \beta z} e^{i(k_{2}\alpha x-\omega t)} $$

따라서 포인팅 벡터 문서에서

$$\displaystyle \left \langle \mathbf{S} \right \rangle =\frac{1}{2} \mathrm{Re} (\mathbf{E}^{\ast} \times \mathbf{H}) $$

임을 얻었고, 경계면에서 투과하는 에너지를 구하고자 하므로 경계면의 법선 벡터의 성분만을 취하자. 따라서

$$\displaystyle \left \langle \mathbf{S} \right \rangle \cdot \hat{\mathbf{z}}=\frac{1}{2} \mathrm{Re} \left[ i \frac{k_{2} \left|E_{2}\right|^{2} \beta}{\mu_{0}\omega} e^{-2k_{2} \beta z} \right]=0 $$

이 나오므로 경계면을 투과하는 에너지는 없다. 계산을 간단히 하기 위해 s-편광된 빛만을 고려했지만, 다른 유형의 입사파가 있어도 같은 결과를 얻는다.

5.2.3.6. 부르스터 각

---

입사파가 p-편광 혹은 s-편광일 때, 반사 계수는

$$ \displaystyle r_{p}=\frac{\tan{(\theta_{2}-\theta_{1})}}{\tan{(\theta_{2}+\theta_{1})}} \qquad \qquad r_{s}=\frac{\sin{(\theta_{2}-\theta_{1})}}{\sin{(\theta_{2}+\theta_{1})}} $$

이때, 다음과 같은 상황을 고려해보자.

$$ \displaystyle \theta_{1}+\theta_{2}=\frac{\pi}{2} $$

이렇게 되면,

$$ \displaystyle \tan{(\theta_{2}+\theta_{1})} \, \rightarrow \, \infty $$

이 되므로

$$ \displaystyle r_{p} \, \rightarrow \, 0 $$

으로, p-편광된 전자기파는 반사되지 않는다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 이 경우 반사되어 나오는 전자기파의 편광 종류는 항상 s-편광이 된다. 이때의 입사각을 '''부르스터 각(Brewster's angle)'''이라 하고, 기호로 $$\theta_{b}$$라 쓴다. 이 각은 물리학자 브루스터(Brewster S. D.; 1781~1868)에 의해 최초로 발견되어 이름이 붙여졌다.
스넬의 법칙에 의하면,

$$ \displaystyle n_{1}\sin{\theta_{b}}=n_{2}\sin{\theta_{2}} $$

이고, 여기서

$$ \displaystyle n_{2}\sin{\left( \frac{\pi}{2}-\theta_{1} \right)}=n_{2}\cos{ \theta_{1}} $$

으로 쓸 수 있으므로 중요한 관계식 하나를 얻는다.

$$ \displaystyle \tan{\theta_{b}}=\frac{n_{2}}{n_{1}} $$

만약 입사 매질이 공기 즉, $$n_{1} \simeq 1$$이라면,

$$ \displaystyle \tan{\theta_{b}} \simeq {n_{2}} $$

로, 부르스터 각을 알아내는 것만으로 굴절 매질의 굴절률을 측정할 수 있다. 이 실험은 대학에서 일반 물리학 관련 실험 과목을 수강할 때 대부분 해봤을 것이다.

6. 다른 매질로의 전자기파 입사 : 유전체 - 도체 경계면

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이제부터는 유전체 영역으로 부터 방사된 전자기파가 도체에 입사할 때, 어떤 양상을 띄는 지 고찰해보고자 한다. 전자기파 문서에서 이미 도체의 굴절률은 복소수로 주어지며, 도체 내의 파수 벡터 또한 복소수로 주어진다는 것을 확인했다. 그렇기 때문에 위에서 다뤘던 '유전체 - 유전체' 상황보다 다른 양상이 나오게 된다.

6.1. 수직 입사

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우선적으로 가장 간단한 케이스인 수직 입사를 고찰해보도록 하자. $$z<0$$ 영역에는 $$\varepsilon_{1},\,\mu_{1}$$인 유전체가, $$z>0$$ 영역에서는 $$\varepsilon_{2},\,\mu_{2}$$이고, 전기 전도도가 $$\sigma$$인 도체가 있다고 하자. 위에서 전자기파의 경계 조건에 대해

$$\displaystyle \begin{aligned} (\mathbf{E_{2}}-\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{t}}&=0 \\ [\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}}]_{t}&=\mathbf{K}_{f} \times \hat{\mathbf{n}} \end{aligned} $$

임을 논의했고, 기본적으로 도체가 옴의 법칙에 의한 전류만 생성된다고 가정하고 있으므로 자유 표면 전류는 없다. 그 이유는 옴의 법칙

$$\displaystyle \mathbf{J}=\sigma_{c}\mathbf{E} $$

에서 표면 전류가 흐른다고 생각하자. 그렇다면, 표면엔 전류 밀도가 존재할 것이다. 그러나 표면은 부피가 0이기 때문에 전류가 흐르려면 결국 무한한 전류 밀도가 있어야 한다는 말과 같다. 그러려면, 결국 무한한 전기장이 표면에 생성되어야 한다는 말과 같은데, 이것은 물리적인 상황이 아니기 때문에 표면 전류가 흐르지 않는다고 놓는 것이 타당하기 때문에 이렇게 한 것이다. 따라서 '유전체 - 유전체' 상황과 같은 경계 조건

$$\displaystyle \begin{aligned} (\mathbf{E_{2}}-\mathbf{E_{1}})\cdot \hat{\mathbf{t}}&=0 \\ (\mathbf{H_{2}}-\mathbf{H_{1}})\cdot \hat{\mathbf{t}}&=0 \end{aligned} $$

을 얻는다. 결국 '유전체 - 도체' 문제는 '유전체 - 유전체' 상황에서 두 번째 유전체 영역의 굴절률이 복소수가 되고, 파수 벡터가 복소수가 되었을 뿐이다. 따라서 유전체의 굴절률을 $$n_{1}$$, 도체의 굴절률을 $$\tilde{n_{2}}$$라 놓고, '유전체 - 유전체' 상황에서 구했던 반사 계수와 투과 계수를 이용하면,

$$\displaystyle \tilde{r}=\frac{n_{1}-\tilde{n_{2} } }{n_{1}+\tilde{n_{2} } } \qquad \qquad \tilde{t}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+\tilde{n_{2} } } $$

가 된다. 이것을 '복소 Fresnel 계수'라 한다. 그런데, 전자기파 문서에서

$$\displaystyle \tilde{n_{2}}=n_{2}+ik_{2} $$

로 쓸 수 있다고 했으므로 위 결과를

$$\displaystyle \tilde{r}=\frac{n_{1}-(n_{2}+ik_{2})}{n_{1}+(n_{2}+ik_{2})} \qquad \qquad \tilde{t}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+(n_{2}+ik_{2})} $$

로 쓸 수 있고,

$$\displaystyle \tilde{r}=\sqrt{\frac{(n_{1}-n_{2})^{2}+k_{2}^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}+k_{2}^{2} } }e^{i \phi_{r}} \qquad \qquad \tilde{t}=\frac{2n_{1}}{\sqrt{(n_{1}+n_{2})^{2}+k_{2}^{2} } } e^{i \phi_{t}} $$

$$\displaystyle \phi_{r}=\tan^{-1}{\left[ \frac{2n_{1}k_{2}}{n_{1}^2-n_{2}^2-k_{2}^{2}} \right]} \qquad \qquad \phi_{t}=\tan^{-1}{\left[- \frac{k_{2}}{n_{1}+n_{2}} \right]} $$

이 된다. 이 결과는 반사 및 투과 시 위상의 변화가 일어난다는 것을 나타낸다. 다음으로 반사율과 투과율을 구하도록 하자.

$$\displaystyle R=\tilde{r}^{\ast}\tilde{r}=\left| \tilde{r} \right|^{2} \qquad \qquad T=1-R $$

이상의 결과를 이용하면,

$$\displaystyle R=1-\frac{4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}+k_{2}^{2}} \qquad \qquad T=\frac{4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}+k_{2}^{2}} $$

가 됨을 쉽게 증명할 수 있다. 그런데, 도체는 전자기파를 흡수를 잘하기 때문에 이 경우는 특별히 투과율 $$T$$를 흡수율(Absorption) $$A$$로 쓴다. 즉,

$$\displaystyle R=1-\frac{4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}+k_{2}^{2}} \qquad \qquad A=\frac{4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}+k_{2}^{2}} $$

가 된다.

6.2. 경사 입사

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이제 부터 도체 경계면에 전자기파를 비스듬히 입사시켰을 때, 어떻게 되는 지 논의하고자 한다. $$z<0$$ 영역에는 $$\varepsilon_{1},\,\mu_{1}$$인 유전체가, $$z>0$$ 영역에서는 $$\varepsilon_{2},\,\mu_{2}$$이고, 전기 전도도가 $$\sigma$$인 도체가 있다고 하자.
위에서 '수직 입사' 경우와 같이 '유전체 - 유전체'와 경계 조건은 같고, 위상과 관련된 경계 조건 또한 물려 받는다. 즉,

$$\displaystyle \mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{z}}=\tilde{\mathbf{k}_{2}} \times \hat{\mathbf{z}} $$

따라서

$$\displaystyle k_{1}\sin{\theta_{1}}=\tilde{k_{2}}\sin{\tilde{\theta_{2} } } $$

가 된다. 그런데, 좌변은 실수량이고, $$\tilde{k_{2}}$$는 복소수량이므로 $$\sin{\tilde{\theta_{2} } }$$ 또한 복소수량이 되어야 한다. 따라서 $$\tilde{\theta_{2}}$$ 또한 복소수 각임을 추측할 수 있다. 따라서 꽤 분석하기 까다로우며, 추상적이다. 분석하기 앞서 도체 영역 파수 벡터를 다음과 같이 실수부와 허수부로 나누자.

$$\displaystyle \tilde{\mathbf{k_{2} } } \equiv \mathbf{k}_{r}+i\mathbf{k}_{i} $$

그런데 위에서 논의했던 위상과 관련된 경계 조건을 만족시키려면,

$$\displaystyle \mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{z}}=(\mathbf{k}_{r}+i\mathbf{k}_{i}) \times \hat{\mathbf{z}}$$

좌변은 실수량이기 때문에 이 조건을 만족하려면,

$$\displaystyle \mathbf{k}_{i} \times \hat{\mathbf{z}}=0$$

따라서 $$\mathbf{k}_{i}$$가 $$\hat{\mathbf{z}}$$ 방향임을 알 수 있고, 이에

$$\displaystyle \mathbf{k}_{i} =k_{i}\hat{\mathbf{z}} $$

로 쓸 수 있음을 얻는다. 또한,

$$\displaystyle \mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{z}}=\mathbf{k}_{r} \times \hat{\mathbf{z}}$$

또한 만족시키는데, $$\mathbf{k}_{r}$$과 법선이 이루는 각을 $$\phi$$라 놓으면,

$$\displaystyle k_{1}\sin{\theta_{1}}=k_{r}\sin{\phi}$$

를 만족함을 알 수 있다. 이 항들의 분명한 의미를 알기 위해 도체 영역에서 전자기파의 형태를 조사해보자. 도체 영역에서 전자기파에 실린 전기장은

$$\displaystyle \mathbf{E_{2}} e^{i(\tilde{\mathbf{k_{2} } } \cdot \mathbf{r}-\omega t)}= \mathbf{E_{2}} e^{-k_{i}z}e^{i(k_{r}z\cos{\phi}+k_{r}x\sin{\phi}-\omega t)} $$

따라서 $$k_{i}$$는 감쇠와 관련있다는 것을 알 수 있다. 파 자체는 $$\mathbf{k}_{r}$$로 이동하면서, $$z$$방향으로는 감쇠를 받는 파임을 알 수 있으며, 이에 이 결과는 다음과 같은 그림을 보여준다.

즉, 유전체 영역에 입사한 파는 원래 동일한 위상과 진폭을 가지지만, 도체 영역에 입사하면서, 위의 논의와 같아 진다는 것을 확인할 수 있다. 따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \tilde{\mathbf{k}_{2}}&=\mathbf{k}_{r}+ik_{i}\hat{\mathbf{z}}\\ &=k_{r}(\hat{\mathbf{z}}\cos{\phi} + \hat{\mathbf{x}} \sin{\phi})+ik_{i}\hat{\mathbf{z}} \end{aligned} $$

이때, 다음과 같이 나눌 수 있다.

$$\displaystyle \tilde{\mathbf{k}_{2}}=\tilde{k_{2}}\hat{\mathbf{z}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }+\tilde{k_{2}}\hat{\mathbf{x}}\sin{\tilde{\theta_{2} } } $$

따라서 각 성분을 비교하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }&=k_{r}\cos{\phi} +ik_{i} \\ \tilde{k_{2}}\sin{\tilde{\theta_{2} } }&=k_{1}\sin{\theta_{1}}=k_{r}\sin{\phi} \end{aligned} $$

이에 $$\tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }$$에 대해

$$\displaystyle \mathrm{Re}[\tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }]=k_{r}\cos{\phi} \qquad \qquad \mathrm{Im}[\tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }]=k_{i} $$

임을 알 수 있다. 이번에는 다른 것을 고려해보도록 하자.

$$\displaystyle \begin{aligned} \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }&=\sqrt{\tilde{k_{2}^{2}}-\tilde{k_{2}^{2}}\sin^{2}{\tilde{\theta_{2} } }} \\ &=\sqrt{\tilde{k_{2}^{2}}-k_{1}^{2}\sin^{2}{\theta_{1} } } \end{aligned} $$

이때, 전자기파 문서의 내용을 이용하면, 이용하면,

$$\displaystyle k_{1}^{2}=\omega^{2} \varepsilon_{1} \mu_{1} \qquad \qquad \tilde{k_{2}^{2}}=\varepsilon_{2} \mu_{2} \omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega $$

따라서

$$\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }=\sqrt{ (\varepsilon_{2} \mu_{2}-\varepsilon_{1} \mu_{1} \sin^{2}{\theta_{1}})\omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega } $$

이때, 일반적으로 $$\mu_{1},\,\mu_{2} \simeq \mu_{0}$$성립하므로

$$\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }=\sqrt{\mu_{0} (\varepsilon_{2} -\varepsilon_{1} \sin^{2}{\theta_{1}})\omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega } $$

이때, $$\mu_{2} \simeq \mu_{0}$$를 가정했으므로

$$\displaystyle \tilde{k_{2}}=\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{2} \omega^{2}+i \mu_{0} \sigma \omega} $$

으로 쓸 수 있는데, 이 식과 비교해보면,

$$\displaystyle \varepsilon_{2} -\varepsilon_{1} \sin^{2}{\theta_{1}} \equiv \bar{\varepsilon_{2}} $$

로 쓰면, 식이 비슷해진다. 따라서 정리하면,

$$\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }=\sqrt{\mu_{0} \bar{\varepsilon_{2}} \omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega } $$

으로 쓸 수 있고, 전자기파 문서에서 $$\tilde{k}$$를 표현한 방식과 같이

$$\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } } \equiv \frac{\omega}{c}\bar{n}+i\frac{\omega}{c}\bar{k} $$

로 쓸 수 있다. $$\bar{n}$$과 $$\bar{k}$$는 $$\tilde{k_{2}}$$에서 $$\varepsilon_{2} \rightarrow \bar{\varepsilon_{2}}$$로 대치했을 때, 구해지는 광학적 상수이다. 따라서 전에 얻었던 결과와 비교해보면,

$$\displaystyle \frac{\omega}{c}\bar{n}=k_{r}\cos{\phi} \qquad \qquad \frac{\omega}{c}\bar{k}=k_{i} $$

임을 알 수 있다. 이때,

$$\displaystyle \begin{aligned} k_{r}&=\sqrt{k_{r}^{2}\cos^{2}{\phi}+k_{r}^{2}\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{\frac{\omega^{2} \bar{n}^{2}}{c^{2}}+k_{1}^{2}\sin^{2}{\theta_{1} } } \\ &=\sqrt{\frac{\omega^{2} \bar{n}^{2}}{c^{2}}+ \frac{\omega^{2} n_{1}^{2}}{c^{2}} \sin^{2}{\theta_{1} } } \\ &=\frac{\omega}{c}\sqrt{ \bar{n}^{2}+ n_{1}^{2} \sin^{2}{\theta_{1} } } \end{aligned} $$

따라서 여기서 구해진

$$\displaystyle \sqrt{ \bar{n}^{2}+ n_{1}^{2} \sin^{2}{\theta_{1} } } \equiv \bar{N} $$

이라 하고, 이것을 도체 매질의 유효 굴절률이라 한다. 따라서 이것을 가지고, 한 쪽 매질이 도체일 때, 스넬의 법칙을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있음을 쉽게 증명할 수 있다.

$$\displaystyle n_{1}\sin{\theta_{1}}=\bar{N}\sin{\phi}$$

'수직 입사'에서 논의했듯, 반사 계수와 투과 계수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle r_{p}=\frac{n_{1}\cos{\tilde{\theta_{2} } }-\tilde{n_{2}}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\tilde{\theta_{2} } }+\tilde{n_{2}}\cos{\theta_{1} } }\qquad \qquad t_{p}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\tilde{\theta_{2} } }+\tilde{n_{2}}\cos{\theta_{1} } } $$

$$\displaystyle r_{s}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{1}}-\tilde{n_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }}{n_{1}\cos{\theta_{1}}+\tilde{n_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }}\qquad \qquad t_{s}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\theta_{1}}+\tilde{n_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }} $$

비록 쓰지는 않겠지만, 기본적으로 복소수량이기 때문에 반사와 투과될 때, 파는 위상이 달라지게 된다. 또한, 기본적으로 높은 전기 전도도를 가진 좋은 전도체들은 $$\left| \tilde{n_{2}} \right| \rightarrow \infty$$을 만족하기 때문에

$$\displaystyle \tilde{r_{p}}=\tilde{r_{s}} \rightarrow -1$$

가 되고, 결국 이것으로 금속 표면에서 빛이 반사가 잘 되는 이유를 찾아볼 수 있다.

7. 도파관과 공동 공진기

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이때까지 자유공간에 전자기파가 방사될 때 전자기파가 갖는 특성들에 대해 논의하였다. 이 문단부터는 전자기파가 방사되는 공간에 제약을 줄 때, 어떠한 특성이 생겨나는 지 논의해보고자 한다.
우선, 첫 번째 예로는 도파관이 있으며, 전자기파를 전달할 수 있도록 만들어진 통로를 '''도파관(Wave guide)'''라 한다. 주로 전기 전도도가 높은 금속으로 둘러싸이게 해서 만들어진다.
두 번째는 공동 공진기가 있다. 이것의 설명은 해당 문단에서 하였으니 해당 문단을 참고하라.

7.1. 평행판 도파관

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평행판 도파관은 전기 전도도가 매우 높은 두 도체를 평행하게 놓음으로써 만들어진다.

7.1.1. TE 모드

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그림과 같이 $$y<0$$과 $$y>a$$에는 전기 전도도가 매우 큰 즉, $$\sigma_{c} \rightarrow \infty$$인 두 도체가 점유하고 있다고 해보자. 중앙의 빈 공간은 진공이라 가정하고, 진공 영역에서 TE 파[19]를 경사 입사한다고 해보자. 두 도체는 전기 전도도가 매우 높으므로 반사 계수는

$$\displaystyle \tilde{r_{s}} \rightarrow -1 $$

[19] 입사면에 수직인 벡터장이 전기장인 파.

이므로 전자기파는 도체 영역으로 투과되지 않고, 거의 반사된다. 따라서 입사와 반사파 모두 전기장의 진폭은 같으나, 위상이 바뀌게 된다. 또한, TE 모드이므로 전기장은 입사면인 $$yz$$평면에 수직하므로 $$\hat{\mathbf{x}}$$방향임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 입사파와 반사파는

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}&=\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{i(\mathbf{k_{1}} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{E_{1}'}&=-\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{i(\mathbf{k_{1}'} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \end{aligned} $$

의 형태로 쓸 수 있다. 이것이 도체 경계에서 $$\theta$$의 각으로 반사되었다고 하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{k_{1}}&=k(\hat{\mathbf{y}}\cos{\theta}+\hat{\mathbf{z}}\sin{\theta}) \\ \mathbf{k_{1}'}&=k(-\hat{\mathbf{y}}\cos{\theta}+\hat{\mathbf{z}}\sin{\theta}) \\ \mathbf{r} &=\hat{\mathbf{y}}y+\hat{\mathbf{z}}z \end{aligned} $$

임을 이용하자. $$k$$는 진공 영역에서 전자기파의 파수이다. 따라서 위 내용을 종합하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}&=\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ \mathbf{E_{1}'}&=-\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{-iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \end{aligned} $$

가 된다. 그런데 한 광선 만을 그렸지만, 광선 다발이 입사된다면, 도파관 내에 관측되는 전기장은

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E_{1}}+\mathbf{E_{1}'}&=\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)}-\hat{\mathbf{x}} E_{1}e^{-iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &=\hat{\mathbf{x}}E_{1}(e^{iky\cos{\theta}}-e^{-iky\cos{\theta}})e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &=\hat{\mathbf{x}}2iE_{1}\sin{(ky\cos{\theta})}\,e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &\equiv \hat{\mathbf{x}}E_{0}\sin{(ky\cos{\theta})}\,e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있다. 이때,

$$\displaystyle k_{c} \equiv k\cos{\theta} \qquad \qquad k_{g} \equiv k\sin{\theta} $$

이라 하자. $$\mathbf{E_{1}}+\mathbf{E_{1}'} \equiv \mathbf{E} $$이라 하면,

$$\displaystyle \mathbf{E} = \hat{\mathbf{x}}E_{0}\sin{(k_{c} y)}\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

로 쓸 수 있다. 이제부터 정의했던 $$k_{c}$$와 $$k_{g}$$가 어떤 물리적 의미가 있는 지 논의해보도록 하자. 정의했던 식에서

$$\displaystyle k_{c}^{2}+k_{g}^{2}=k^{2} $$

으로 쓸 수 있고,

$$\displaystyle k_{g}^{2}=k^{2}-k_{c}^{2} $$

이라 쓸 수 있다. 일반적으로 파수는 양수라는 점에 비쳐봤을 때, $$k<k_{c}$$일 때를 고찰해보자. 이때, 위 식에 따르면, $$k_{g}^{2}<0$$을 만족하므로 $$k_{g}$$는 순허수가 된다. 그렇게 되면, 파는 감쇠되어 도파관 내의 영역에서 파는 전파되지 않는다. 즉, $$k>k_{c}$$를 만족하는 파만 도파관 내에서 전파될 수 있음을 얻는다. 이때, 파장과 파수와의 관계를 이용하여,

$$\displaystyle k_{g}=\sqrt{\left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^{2}-\left( \frac{2\pi}{\lambda_{c}} \right)^{2}} $$

의 형태로 쓸 수 있다. 이때, $$\lambda < \lambda_{c}$$를 만족하지 않으면, 파수는 허수가 되므로 감쇠된 채 도파관 내부로 전파될 수 없다. 따라서 여기서 나온 $$\lambda_{c}$$를 '''차단 파장(Cut-off wavelength)'''이라 한다. 위에서의 각종 관계를 이용하면,

$$\displaystyle \lambda_{c}=\frac{\lambda}{\cos{\theta}} $$

임을 쉽게 증명할 수 있다. 또한, 파수와 주파수 표현을 빌려,

$$\displaystyle k_{g}=\sqrt{\left( \frac{\omega}{c} \right)^{2}-\left( \frac{\omega_{c}}{c} \right)^{2}} \qquad \left( \frac{\omega_{c}}{c} \equiv k_{c} \right) $$

으로 쓸 수 있고, 여기서도 $$\omega > \omega_{c}$$를 만족하는 파만이 감쇠되지 않고, 도파관 내부에서 전파될 수 있음을 얻는데, 여기서 나온 $$\omega_{c}$$를 '''차단 주파수(Cut-off frequency)'''라 한다.
이제부터 경계 조건을 적용하자. 맨 위에서 구했던 유전체 - 금속 경계면의 경계 조건을 쓰자. 즉,

$$\displaystyle \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$

그런데 $$\mathbf{E}$$는 금속 경계면에 이미 수평인 성분만 남아있으므로 경계면인 $$y=0$$과 $$y=a$$에서 전기장은 0이 돼야 한다. 계산을 해보면, $$y=0$$에서는 이 조건을 만족하며, $$y=a$$에서 이 조건을 만족하려면,

$$\displaystyle \sin{(k_{c} a)}=\sin{(ka\cos{\theta})}=0 $$

을 만족해야 하고, 위에서 서술했던 여러 가지 정보를 취합하면,

$$\displaystyle \cos{\theta}=\frac{n \pi}{ka} \qquad (n=0,\,1,\,2,\, \cdots) $$

을 만족애햐 한다는 것을 얻는다. 이때, $$n$$일 때의 모드를 $$\mathrm{TE}_{n}$$모드라 하며, 전기장은

$$\displaystyle \mathbf{E} = \hat{\mathbf{x}}E_{0}\sin{\left(\frac{n \pi}{a}y \right)}\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

으로 쓸 수 있는데, 만약, $$n=0$$이라면, 모든 $$y$$에 대하여 전기장 값은 0이 된다. 따라서 이 경우는 도파관 내 전자기파가 전파되지 않는다는 말과 같고, 전파될 수 있는 조건을 주 목적으로 두고 있으므로 $$n=0$$의 경우는 제외해야 한다. 따라서 도파관 내에 전자기파가 전파되기 위해선

$$\displaystyle \cos{\theta}=\frac{n \pi}{ka} \qquad (n=1,\,2,\,3,\, \cdots) $$

의 조건만 된다. 이때, 쉽게

$$\displaystyle \lambda_{c}=\frac{2a}{n} $$

임을 증명할 수 있으며, 결론적으로 도파관 파장은

$$\displaystyle \lambda_{g}= \left[ \frac{1}{\lambda^{2}}- \left( \frac{2a}{n} \right)^{2} \right]^{-1/2} $$

임을 알 수 있다. 이상에서 위의 내용을 요약하면 아래와 같다.

• 평행판 도파관에 TE 파를 입사시켰을 때, $$\cos{\theta}={n \pi}/{ka}$$를 만족하는 파만이 전파될 수 있으며, 전파될 수 있는 가장 낮은 모드는 $$\mathrm{TE}_{1}$$모드이다.
• 도파관 내에서 전파될 수 없는 파장의 최솟값을 '차단 파장'이라 하며, 폭이 $$a$$인 평행판 도파관에서 '차단 파장'은 $$\displaystyle \lambda_{c}={2a}/{n} $$이며, 이 파장 보다 낮은 파장만이 도파관 내에서 전파될 수 있다.
• 도파관 내에서는 진공에서와 달리 파장이 달리지며, 도파관 내의 파장을 '도파관 파장'이라 하며, $$\displaystyle \lambda_{g}= [ \lambda^{-2}- \left( {2a}/{n} \right)^{2} ]^{-1/2} $$의 관계를 갖고 있다.

이번에는 도파관 내에 전파되는 자기장 세기를 구해보도록 하자. 전자기파는 기본적으로 전기장의 유도가 자기장을 만들기 때문에 자기장 세기 또한 다음과 같은 항에 비례할 것이다.

$$\displaystyle \mathbf{H} \propto e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

패러데이 법칙에 의하면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=- \mu_{0} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}=i \omega \mu_{0} \mathbf{H}$$

가 되므로 도파관 내의 자기장 세기는 아래가 됨을 쉽게 증명할 수 있다.

$$\displaystyle \mathbf{H}=\frac{E_{0}}{\mu_{0} \omega} [\hat{\mathbf{y}} k_{g}\sin{(k_{c}y)}+\hat{\mathbf{z}} ik_{c}\cos{(k_{c}y)}]\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

7.1.2. TM 모드

---

그림과 같이 $$y<0$$과 $$y>a$$에는 전기 전도도가 매우 큰 즉, $$\sigma_{c} \rightarrow \infty$$인 두 도체가 점유하고 있다고 해보자. 중앙의 빈 공간은 진공이라 가정하고, 진공 영역에서 TM 파[20]된 전자기파를 경사 입사한다고 해보자. 두 도체는 전기 전도도가 매우 높으므로 반사 계수는

$$\displaystyle \tilde{r_{p}} \rightarrow -1 $$

[20] 입사면에 수직인 벡터장이 전기장인 파.

이므로 전자기파는 도체 영역으로 투과되지 않고, 거의 반사된다. 따라서 입사와 반사파 모두 진폭이 같으나, 전기장의 위상이 반대가 된다. 또한, TM 모드이므로 자기장 세기는 입사면인 $$yz$$평면에 수직하므로 $$\hat{\mathbf{x}}$$방향임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 입사파와 반사파는

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{H_{1}}&=\hat{\mathbf{x}} H_{1}e^{i(\mathbf{k_{1}} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{H_{1}'}&=\hat{\mathbf{x}} H_{1}e^{i(\mathbf{k_{1}'} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \end{aligned} $$

의 형태로 쓸 수 있다. 이것이 도체 경계에서 $$\theta$$의 각으로 반사되었다고 하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{k_{1}}&=k(\hat{\mathbf{y}}\cos{\theta}+\hat{\mathbf{z}}\sin{\theta}) \\ \mathbf{k_{1}'}&=k(-\hat{\mathbf{y}}\cos{\theta}+\hat{\mathbf{z}}\sin{\theta}) \\ \mathbf{r} &=\hat{\mathbf{y}}y+\hat{\mathbf{z}}z \end{aligned} $$

임을 이용하자. $$k$$는 진공 영역에서 전자기파의 파수이다. 따라서 위 내용을 종합하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{H_{1}}&=\hat{\mathbf{x}} H_{1}e^{iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ \mathbf{H_{1}'}&=\hat{\mathbf{x}} H_{1}e^{-iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \end{aligned} $$

가 된다. 그런데 한 광선 만을 그렸지만, 광선 다발이 입사된다면, 도파관 내에 관측되는 자기장 세기는

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{H_{1}}+\mathbf{H_{1}'}&=\hat{\mathbf{x}} H_{1}e^{iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)}+\hat{\mathbf{x}} H_{1}e^{-iky\cos{\theta}}e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &=\hat{\mathbf{x}}H_{1}(e^{iky\cos{\theta}}+e^{-iky\cos{\theta}})e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &=\hat{\mathbf{x}}2H_{1}\cos{(ky\cos{\theta})}\,e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \\ &\equiv \hat{\mathbf{x}}H_{0}\cos{(ky\cos{\theta})}\,e^{i(kz\sin{\theta}-\omega t)} \end{aligned} $$

으로 쓸 수 있다. 이때,

$$\displaystyle k_{c} \equiv k\cos{\theta} \qquad \qquad k_{g} \equiv k\sin{\theta} $$

이라 하자. $$\mathbf{H_{1}}+\mathbf{H_{1}'} \equiv \mathbf{H} $$이라 하면,

$$\displaystyle \mathbf{H} = \hat{\mathbf{x}}H_{0}\cos{(k_{c} y)}\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

로 쓸 수 있다. 이제는 전기장을 구하도록 하자. 전기장 또한, 자기장 세기의 시간 항 $$e^{i(k_{g}z-\omega t)}$$에 비례할 것이므로, 앙페르 법칙을 사용하면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=\varepsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=-i \omega \varepsilon_{0} \mathbf{E}$$

이므로

$$\displaystyle \mathbf{E}=\frac{H_{0}}{\omega \varepsilon_{0}} \left[ -\hat{\mathbf{y}} k_{g} \cos{(k_{c} y)}+ \hat{\mathbf{z}} ik_{c} \sin{(k_{c} y)} \right] e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

이 된다. 맨 위에서 다뤘던 유전체 - 도체 경계면의 경계 조건에 의해 진공 영역의 $$y=0$$과 $$y=a$$에 대해

$$\displaystyle \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$

를 만족해야 한다. 이것을 만족하려면 $$y=0$$과 $$y=a$$에서 전기장의 $$z$$성분은 0이 돼야 함에 따라

$$\displaystyle \sin{(k_{c} a)}=\sin{(ka\cos{\theta})}=0 $$

을 만족해야 하고, 위에서 서술했던 여러 가지 정보를 취합하면,

$$\displaystyle \cos{\theta}=\frac{n \pi}{ka} \qquad (n=0,\,1,\,2,\, \cdots) $$

을 만족애햐 한다는 것을 얻는다. 이때, $$n$$일 때의 모드를 $$\mathrm{TM}_{n}$$모드라 한다. 따라서 전기장과 자기장 세기는 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\frac{H_{0}}{\omega \varepsilon_{0}} \left[ -\hat{\mathbf{y}} k_{g} \cos{\left( \frac{n \pi}{a}y \right)}+ \hat{\mathbf{z}} ik_{c} \sin{\left( \frac{n \pi}{a}y \right)} \right] e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ \mathbf{H} &= \hat{\mathbf{x}}H_{0}\cos{\left( \frac{n \pi}{a}y \right)}\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} \end{aligned} $$

$$\mathrm{TM}_{0}$$모드일 때를 고찰해보면,

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\hat{\mathbf{y}}\frac{H_{0} k_{g}}{\omega \varepsilon_{0}} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ \mathbf{H} &= \hat{\mathbf{x}}H_{0}\,e^{i(k_{g}z-\omega t)} \end{aligned} $$

으로 전자기파 전파가 가능한 것을 알 수 있다. 따라서 TE 모드와 달리 TM 모드의 최저 모드는 $$\mathrm{TM}_{0}$$ 모드임을 알 수 있다. 이러한 모드의 특징은 전자기파의 진행 방향에 모든 벡터장이 수직한 것을 알 수 있다.[21] 이러한 모드를 $$\mathrm{TEM}$$모드라 하며, TE모드에서는 $$\mathrm{TEM}$$모드가 존재하지 않던 것과 대비되는 결과이다.
그 외의 성질은 TE 모드와 같으며, $$k<k_{c}$$의 경우엔 파는 감쇠되어 도파관 내의 영역에서 파는 전파되지 않으며, 차단 파장과 도파관 파장은 각각

$$\displaystyle \lambda_{c}=\frac{2a}{n} \qquad \qquad \lambda_{g}= \left[ \frac{1}{\lambda^{2}}- \left( \frac{2a}{n} \right)^{2} \right]^{-1/2} $$

[21] 즉, $$E_{z}=H_{z}=0$$

으로 주어짐을 쉽게 증명할 수 있다.

7.2. 사각형 도파관

---

사각형 도파관은 전기 전도도가 매우 높은 도체를 사각형으로 배열하여 관을 만든 것이다. 간략한 형태를 그려보면, 아래와 같이 주어지게 된다.

7.2.1. TE 모드

---

사각형 도파관에서 TE 모드는 전기장의 $$z$$성분 $$E_{z}=0$$인 경우를 의미한다. 도파관 내부엔 맥스웰 방정식이 성립하고, 진공 영역이다. 그리고, 계속해서 도파관 내부엔 자유 전하, 자유 전류가 없다는 암묵적인 가정을 사용한다. $$H_{z}$$에 대한 맥스웰 방정식은

$$\displaystyle \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial t^{2}} $$

단색광을 고려하고 있고, 도파관 내부의 벡터장을 다루고 있으므로 평행판 도파관과 같이 모든 전기장 및 자기장 세기 성분은 $$e^{i(k_{g}z- \omega t)}$$에 비례한다고 놓을 수 있다. 따라서 위 방정식은

$$\displaystyle \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}}-k_{g}^{2}H_{z}= -k^{2} H_{z} $$

으로 놓을 수 있고, $$k \equiv \omega/c$$이다. 위 편미분방정식은 변수분리 해법을 통해 쉽게 풀리며, 그 해는 아래와 같다.

$$\displaystyle [H_{z}]=\begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$A_{1} \sim A_{4}$$는 상수이며, 아래 또한 성립한다.

$$\displaystyle k_{g}^{2}=k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} $$

이것의 의미는 나중에 논의하기로 한다. 패러데이 법칙에서

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=i \mu_{0} \omega \mathbf{H} $$

이고[22], 각각의 성분을 비교하여 얻을 수 있는 것은

$$E_{x}=\displaystyle \frac{\mu_{0} \omega}{k_{g}}H_{y} \qquad \qquad E_{y}=-\displaystyle \frac{\mu_{0} \omega}{k_{g}}H_{x}$$

[22] 모든 벡터장이 $$e^{i(k_{g}z- \omega t)}$$에 비례한다는 사실을 상기하라. 따라서 모든 미분 연산에서 $$\partial/\partial z=ik_{g}$$, $$\partial/\partial t=-i \omega$$이다.

마찬가지 방법으로, 앙페르 법칙

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=-i \varepsilon_{0} \omega \mathbf{E} $$

에서 각각의 성분을 비교하여 얻을 수 있는 것은

$$\displaystyle \begin{aligned} i \varepsilon_{0} \omega E_{x}+\frac{\partial H_{z}}{\partial y}-i k_{g}H_{y} &=0 \\ i \varepsilon_{0} \omega E_{y}-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}+i k_{g}H_{x} &=0 \end{aligned} $$

위에서 패러데이 법칙으로 나왔던 식을 이용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} ik_{g} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]H_{x} &=\frac{\partial H_{z}}{\partial x} \\ ik_{g} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]H_{y} &=\frac{\partial H_{z}}{\partial y} \end{aligned} $$

식을 얻는다. 따라서 위의 조건들로 모든 전자기장의 성분을 구할 수 있으며, 그 결과는 아래와 같다.

$$\displaystyle [H_{x}]=-\frac{i k_{x}}{k_{g}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$\displaystyle [H_{y}]=-\frac{i k_{y}}{k_{g}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$\displaystyle [E_{x}]=-\frac{i \mu_{0} \omega k_{y}}{k_{g}^{2}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$\displaystyle [E_{y}]=\frac{i \mu_{0} \omega k_{x}}{k_{g}^{2}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

이제는 경계 조건을 적용하도록 하자. 유전체 - 도체 경계면에서 각 경계면에 접선 성분은 상쇄돼야 하므로 즉,

$$\displaystyle \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$

임을 알고 있으므로 다음이 만족해야 한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{x}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad y=0 \,\, \mathrm{and} \,\, y=b \\ E_{y}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad x=0 \,\, \mathrm{and} \,\, x=a \end{aligned} $$

모든 $$x$$, $$y$$에 대해 위 식이 만족하려면,

$$\displaystyle A_{1}=A_{2}=A_{3}=0 \qquad \qquad k_{x}=\frac{m\pi}{a} \qquad \qquad k_{y}=\frac{n\pi}{a} $$

을 만족해야 한다. $$m$$, $$n$$은 0을 포함하는 양의 정수이다. 이상에서 모든 결과를 조합하면,

$$\displaystyle H_{z}=A_{4} \cos{\left( \frac{m \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi y}{a} \right)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

편미분방정식 특성 상 위의 해는 아래와 같이 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle H_{z}=\sum_{mn} A_{mn} \cos{\left( \frac{m \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi y}{a} \right)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

이때, 합에 포함된 각각의 항에 해당하는 것을 $$\mathrm{TE}_{mn}$$ 모드라 한다. 이제부터는

$$\displaystyle k_{g}^{2}=k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} $$

의 의미를 알아보도록 하자. 파장과 파수와의 관계와 위에서 도출된 식에 의해

$$\displaystyle \begin{aligned} \left( \frac{2 \pi}{\lambda_{g}} \right)^{2}&=\left( \frac{2 \pi}{\lambda} \right)^{2}-\left( \frac{m \pi}{a} \right)^{2}-\left( \frac{n \pi}{b} \right)^{2} \\ & \equiv \left( \frac{2 \pi}{\lambda} \right)^{2} -\left( \frac{2 \pi}{\lambda_{c}} \right)^{2} \end{aligned} $$

형태로 쓸 수 있고,

$$\displaystyle \frac{1}{\lambda_{c}^{2}}=\left( \frac{m}{2a} \right)^{2}+\left( \frac{n}{2b} \right)^{2} $$

이다. 이상에서

$$\displaystyle \lambda_{g}=\left[ \left( \frac{1}{\lambda} \right)^{2}-\left( \frac{m}{2a} \right)^{2}-\left( \frac{n}{2b} \right)^{2} \right]^{-1/2} $$

의 형태로도 쓸 수 있음을 얻는다. 따라서 여기에서도 평행판 도파관과 같이 $$\lambda_{c}<\lambda$$이면, 파는 감쇠가 일어나므로 전파되지 않는다. 따라서 $$\lambda_{c}$$는 차단 파장임을 알 수 있고, $$\lambda_{g}$$는 도파관 파장이라는 사실을 쉽게 알 수 있다. 또한,

$$\displaystyle k_{g}=\sqrt{\left( \frac{\omega}{c} \right)^{2}-\left( \frac{\omega_{c}}{c} \right)^{2}} $$

형태로 쓸 수 있으며, $$\omega > \omega_{c}$$의 조건을 만족하는 파만이 감쇠되지 않고, 도파관에서 전파될 수 있는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 여기서 나온 $$\omega_{c}$$를 평행판 도파관과 같이 차단 주파수라 한다. 이 경우 차단 주파수는 아래와 같이 나옴을 쉽게 증명할 수 있다.

$$\displaystyle \omega_{c}=c \sqrt{\left( \frac{m \pi}{a} \right)^{2}+\left( \frac{n \pi}{b} \right)^{2}} $$

이제부터의 논의는 이 TE 모드의 차단 주파수가 최소가 되는 최저 모드를 찾아보도록 하자. $$m=n=0$$의 상황을 고려하면, $$k_{x}=k_{y}=0$$이 되고, $$k_{g}=k$$가 된다. 이때,

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{x} &\propto \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ E_{y} & \propto \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \end{aligned} $$

을 만족하는데, $$k_{x}=k_{y}=0$$이면, 모든 전기장 성분 $$E_{x}=E_{y}=E_{z}=0$$이 되므로 전자기장은 도파관 내부에 존재할 수 없다.[23] 따라서 최저 모드는 $$a \geq b$$를 만족할 때, $$\mathrm{TE}_{10}$$ 모드 임을 쉽게 보일 수 있다.

7.2.2. TM 모드

---

사각형 도파관에서 TM 모드는 자기장 세기의 $$z$$성분 $$H_{z}=0$$인 경우를 의미한다. $$E_{z}$$에 대한 맥스웰 방정식은

$$\displaystyle \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial z^{2}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} $$

[23] 아마도 일부의 위키러들은 위에서 구한 $$H_{z}$$에 $$m=n=0$$을 대입해본 뒤, $$H_{z}$$가 존재할 수 있다고 믿을 수도 있다. 하지만, 전자기파는 전기장의 변화가 자기장을 유도하고, 자기장의 변화가 전기장을 유도하면서 진행하는 파라는 것을 상기하면 존재하지 않을 수밖에 없다는 것을 쉽게 알 수 있다.

TE 모드와 마찬가지로, 모든 전기장 및 자기장 세기 성분은 $$e^{i(k_{g}z- \omega t)}$$에 비례한다고 놓을 수 있다. 따라서 위 방정식은

$$\displaystyle \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}}-k_{g}^{2}E_{z}= -k^{2} E_{z} $$

으로 놓을 수 있고, $$k \equiv \omega/c$$이다. 위 편미분방정식은 변수분리 해법을 통해 쉽게 풀리며, 그 해는 아래와 같다.

$$\displaystyle [E_{z}]=\begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$A_{1} \sim A_{4}$$는 상수이며,

$$\displaystyle k_{g}^{2}=k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} $$

이다. 이것의 의미는 TE 모드와 같다. 앙페르 법칙

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}=-i \varepsilon_{0} \omega \mathbf{E} $$

이고[24], 각각의 성분을 비교하여 얻을 수 있는 것은

$$\displaystyle H_{x}=- \frac{\varepsilon_{0} \omega}{k_{g}}E_{y} \qquad \qquad H_{y}=\displaystyle \frac{\varepsilon_{0} \omega}{k_{g}}E_{x}$$

[24] 모든 벡터장이 $$e^{i(k_{g}z- \omega t)}$$에 비례한다는 사실을 상기하라. 따라서 모든 미분 연산에서 $$\partial/\partial z=ik_{g}$$, $$\partial/\partial t=-i \omega$$이다.

마찬가지 방법으로, 패러데이 법칙

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=i \mu_{0} \omega \mathbf{H} $$

에서 각각의 성분을 비교하여 얻을 수 있는 것은

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}-ik_{g}E_{y} &=i \omega \mu_{0} H_{x} \\ ik_{g} E_{x}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x} &=i \omega \mu_{0} H_{y} \end{aligned} $$

위에서 앙페르 법칙으로 나왔던 식을 이용하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} ik_{g} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]E_{x} &=\frac{\partial E_{z}}{\partial x} \\ ik_{g} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]E_{y} &=\frac{\partial E_{z}}{\partial y} \end{aligned} $$

식을 얻는다. 따라서 위의 조건들로 모든 전자기장의 성분을 구할 수 있으며, 그 결과는 아래와 같다.

$$\displaystyle [E_{x}]=-\frac{i k_{x}}{k_{g}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$\displaystyle [E_{y}]=-\frac{i k_{y}}{k_{g}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$\displaystyle [H_{x}]=\frac{i \varepsilon_{0} \omega k_{y}}{k_{g}^{2}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

$$\displaystyle [H_{y}]=-\frac{i \varepsilon_{0} \omega k_{x}}{k_{g}^{2}} \left[ 1-\left( \frac{k}{k_{g}} \right)^{2} \right]^{-1} \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} & A_{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \\ - \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)}\end{bmatrix} e^{i(k_{g}z-\omega t)} $$

이제는 경계 조건을 적용하도록 하자. 유전체 - 도체 경계면에서 각 경계면에 접선 성분은 상쇄돼야 하므로 즉,

$$\displaystyle \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{t}}=0 $$

임을 알고 있으므로 다음이 만족해야 한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{x}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad y=0 \,\, \mathrm{and} \,\, y=b \\ E_{y}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad x=0 \,\, \mathrm{and} \,\, x=a \end{aligned} $$

모든 $$x$$, $$y$$에 대해 위 식이 만족하려면,

$$\displaystyle A_{2}=A_{3}=A_{4}=0 \qquad \qquad k_{x}=\frac{m\pi}{a} \qquad \qquad k_{y}=\frac{n\pi}{a} $$

을 만족해야 한다. $$m$$, $$n$$은 0을 포함하는 양의 정수이다. 이상에서 모든 결과를 조합하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{z}&=A_{1} \sin{\left( \frac{m \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi y}{a} \right)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ &=\sum_{mn} A_{mn} \sin{\left( \frac{m \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi y}{a} \right)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \end{aligned} $$

이때, 합에 포함된 각각의 항에 해당하는 것을 $$\mathrm{TM}_{mn}$$ 모드라 한다.
이제부터의 논의는 이 TM 모드의 최저 모드를 찾아보도록 하자. $$m=n=0$$의 상황을 고려하면, $$k_{x}=k_{y}=0$$이 되고, $$k_{g}=k$$가 된다. 이때,

$$\displaystyle \begin{aligned} H_{x} &\propto \sin{(k_{x}x)} \cos{(k_{y}y)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \\ H_{y} & \propto \cos{(k_{x}x)} \sin{(k_{y}y)} \, e^{i(k_{g}z-\omega t)} \end{aligned} $$

을 만족하는데, $$k_{x}=k_{y}=0$$이면, 모든 자기장 세기 성분 $$H_{x}=H_{y}=H_{z}=0$$이 되므로 전자기장은 도파관 내부에 존재할 수 없다. 또한, $$\mathrm{TM}_{01}$$ 모드 혹은 $$\mathrm{TM}_{10}$$ 모드의 경우 $$E_{z}=0$$을 만들고 이 경우엔 $$E_{z}=H_{z}=0$$인 $$\mathrm{TEM}$$ 모드가 된다. 허나, $$\mathrm{TEM}$$ 모드는 사각형 도파관과 같이 속이 빈 관 내에선 전파될 수 없다는 게 밝혀져있다.[25] 따라서 $$\mathrm{TM}$$ 모드의 최저 모드는 $$\mathrm{TM}_{11}$$ 모드이다.

7.3. 공동 공진기

---

이 문서를 위의 사각형 도파관에서 $$z=0$$, $$z=d$$를 전기 전도도가 매우 높은 금속으로 막아 직육면체 공동을 형성한 '''공동 공진기(Cavity resonator)'''를 논의함으로써 끝마치고자 한다.
공동 공진기 내부는 진공이라 가정하고, 공동 내부엔 맥스웰 방정식이 만족하게 된다. 전기장의 $$x$$ 성분에 대한 맥스웰 방정식은

$$\displaystyle \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} $$

[25] 수준 상으로 그것을 여기선 증명하지 않는다. 관심있는 위키러들은 전자기학 책이나 주파수 공학 책을 찾아볼 것.

단색 평면파를 고려하면, 공동 내부에 형성되는 전자기장은 시간 항 $$e^{-i \omega t}$$에 비례한다고 놓을 수 있다. $$kc \equiv \omega$$라 놓으면, 위 방정식은

$$\displaystyle \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}}=-k^{2}E_{x} $$

으로 쓸 수 있다. 위의 편미분방정식은 변수분리 법으로 쉽게 풀 수 있으며, 그 결과는

$$\displaystyle E_{x}=\begin{Bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \\ \cos{(k_{x}x)} \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{y}y)} \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \sin{(k_{z}z)} \\ \cos{(k_{z}z)} \end{Bmatrix} e^{i(kz-\omega t)} $$

가 된다.[26] 이때,

$$\displaystyle k^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2} $$

[26] 위 표시는 각 행렬의 성분 중 하나만을 택한 뒤, 고른 성분을 곱한뒤 그 가능한 모든 경우의 곱에 대해 선형 결합을 해라는 것이다.

를 만족해야 한다. 이때, 유전체 - 도체 경계면에서 경계면에 접선 성분의 전기장은 상쇄돼야 하므로

$$\displaystyle E_{x}=0 \qquad \mathrm{at} \qquad y=0 , \,\, y=b, \,\,z=0 , \,\, z=d $$

을 만족해야 한다. 따라서 다음의 꼴만 해가 된다.

$$\displaystyle E_{x}=\begin{Bmatrix} \sin{(k_{x}x)} \\ \cos{(k_{x}x)} \end{Bmatrix} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} $$

다른 성분들 또한, 경계 조건

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{y}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad x=0 , \,\, x=a, \,\,z=0 , \,\, z=d \\ E_{z}=0 \qquad &\mathrm{at} \qquad x=0 , \,\, x=a, \,\,y=0 , \,\, y=b \end{aligned} $$

를 사용하고, 공동 안에 형성된 전자기파 자체를 기술하고 있기 때문에 각 장의 성분은 서로 엮여 있다. 따라서 한 특성을 가지는 전자기파의 각 축의 파수 벡터 성분은 같아야 하므로 다른 성분에 대해 변수분리법을 할 때, 놓았던 상수는 $$x$$성분과 같이 동일하게 놓는다. 이에 따라

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{y}&=\begin{Bmatrix} \sin{(k_{y}y)} \\ \cos{(k_{y}y)} \end{Bmatrix} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\ E_{z}&=\begin{Bmatrix} \sin{(k_{z}z)} \\ \cos{(k_{z}z)} \end{Bmatrix} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \end{aligned} $$

이때,

$$\displaystyle k_{x}=\frac{l \pi}{a} \qquad \qquad k_{y}=\frac{m \pi}{b} \qquad \qquad k_{z}=\frac{n \pi}{d} $$

이고, $$l,\,m,\,n$$은 모두 0을 포함한 양의 정수이다. 이상에서 전기장을 정리하면,

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{x}&=\begin{Bmatrix} \sin{\left( {l \pi x}/{a} \right)} \\ \cos{\left({l \pi x}/{a} \right)} \end{Bmatrix} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\ E_{y}&=\begin{Bmatrix} \sin{\left( {m \pi y}/{b} \right)} \\ \cos{\left( {m \pi y}/{b} \right)} \end{Bmatrix} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\ E_{z}&=\begin{Bmatrix} \sin{\left( {n \pi z}/{d} \right)} \\ \cos{\left( {n \pi z}/{d} \right)} \end{Bmatrix} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \end{aligned} $$

그런데 현재 자유 전하가 없는 상황을 고려하고 있기 때문에

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial E_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0 $$

을 모든 $$x,\,y,\,z$$에 대해 만족시켜야 한다. 이렇게 되려면, 위의 세 식에서 열 벡터에 있는 성분 중 sine 항은 해로 택할 수 없다는 것을 알 수 있다. 따라서 해는 아래와 같은 형태로 주어진다.

$$\displaystyle \begin{aligned} E_{x}&=E_{1}\cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\ E_{y}&=E_{2} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\ E_{z}&=E_{3} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \end{aligned} $$

$$E_{1} \sim E_{3}$$는 전기장의 세기와 관련된 상수이다. 또한,

$$\displaystyle \frac{l \pi}{a}E_{1}+\frac{m \pi}{b}E_{2}+\frac{n \pi}{d}E_{3}=0 $$

을 만족해야 한다. 자기장 세기는 패러데이 법칙

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}=i \mu_{0} \omega \mathbf{H} $$

을 이용하여 결정될 수 있으며, 그 결과는

$$\displaystyle \begin{aligned} H_{x}&=-\frac{i}{\omega \mu_{0}}\left[ \frac{m \pi}{b}E_{3}-\frac{n \pi}{d} E_{2} \right] \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\ H_{y}&=-\frac{i}{\omega \mu_{0}}\left[ \frac{n \pi}{d}E_{1}-\frac{l \pi}{a} E_{3} \right] \cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\ H_{z}&=-\frac{i}{\omega \mu_{0}}\left[ \frac{l \pi}{a}E_{2}-\frac{m \pi}{b} E_{1} \right] \cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \end{aligned} $$

임을 알 수 있다. 전기장과 비교했을 때, 각 장의 성분이 $$\pi/2$$만큼 옮겨졌음을 알 수 있다.
위의 논의를 통해 공동 내의 전자기파의 파수는

$$\displaystyle k=\sqrt{ \left( \frac{l \pi}{a} \right)^{2}+\left( \frac{m \pi}{b} \right)^{2}+\left( \frac{n \pi}{d} \right)^{2} } $$

임을 알 수 있고, 따라서 공동 내부의 전자기파의 주파수는

$$\displaystyle \omega=c\sqrt{ \left( \frac{l \pi}{a} \right)^{2}+\left( \frac{m \pi}{b} \right)^{2}+\left( \frac{n \pi}{d} \right)^{2} } $$

임을 알 수 있다.

7.3.1. TE 모드

---

위에서는 직육면체 공동 내부에서 형성될 수 있는 일반적인 전자기장을 구하였다. 이제부터는 $$E_{z}=0$$인 TE 모드를 고려해보자. $$E_{z}=0$$이 돼야 하기 때문에 $$E_{3}=0$$으로 놓는 것이 합당하다. 따라서

$$\displaystyle \frac{l \pi}{a}E_{1}+\frac{m \pi}{b}E_{2}=0 $$

을 만족해야 한다. 공동 내부엔 $$\mathrm{TEM}$$ 모드는 존재할 수 없기 때문에 $$H_{z}$$가 상쇄되지 않는 케이스만 고려한다. 따라서

$$\displaystyle H_{z}=H_{0}\cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} $$

라 놓자. 따라서

$$\displaystyle -\frac{i}{\omega \mu_{0}}\left[ \frac{l \pi}{a}E_{2}-\frac{m \pi}{b} E_{1} \right]=H_{0} $$

임을 알 수 있고, 맨 위의 식과 연립해서 풀면,

$$\displaystyle E_{1}=\frac{\omega \mu_{0}}{i} \frac{ma^{2}b}{\pi(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0} \qquad \qquad E_{2}=-\frac{\omega \mu_{0}}{i} \frac{lab^{2}}{\pi(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0} $$

이 되고, $$H_{x},\,H_{y}$$의 세기와 관련된 상수를 각각 $$H_{1},\,H_{2}$$라 놓으면,

$$\displaystyle H_{1}=-\frac{n}{d} \frac{lab^{2}}{(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0} \qquad \qquad H_{2}=-\frac{n}{d}\frac{ma^{2}b}{(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0} $$

따라서 TE 모드일 때, 장은

[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{x}&=\frac{\omega \mu_{0}}{i} \frac{ma^{2}b}{\pi(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0}\cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
E_{y}&=-\frac{\omega \mu_{0}}{i} \frac{lab^{2}}{\pi(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0}\sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
E_{z}&=0 \\
H_{x}&=-\frac{n}{d} \frac{lab^{2}}{(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
H_{y}&=-\frac{n}{d}\frac{ma^{2}b}{(l^{2}b^{2}+m^{2}a^{2})}H_{0} \cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\

H_{z}&=H_{0}\cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \end{aligned} )]

으로 결정된다. 이때, 이러한 모드를 $$\mathrm{TE}_{lmn}$$ 모드라 한다.
이제 공동 내의 전자기파가 주파수

$$\displaystyle \omega=c\sqrt{ \left( \frac{l \pi}{a} \right)^{2}+\left( \frac{m \pi}{b} \right)^{2}+\left( \frac{n \pi}{d} \right)^{2} } $$

가 최소가 되는 최저 모드를 결정하자. 이때, $$a \leq b \leq d$$라 가정하자. $$n=0$$이면,

$$H_{z}=0$$

이 되어, $$\mathrm{TEM}$$ 모드가 됨에 따라 전자기파는 공동 내에 존재할 수 없다. 따라서 $$n \neq 0$$을 만족해야 한다. 또한, $$l=m=0$$이 되면,

$$E_{x}=E_{y}=E_{z}=0$$

이 되므로 전자기파는 공동 내에 존재할 수 없다. 따라서 $$l$$과 $$m$$은 둘 다 0이 될 수 없다. 따라서 이상의 결과를 종합하면, TE 모드에서 최저 모드는

$$\mathrm{TE}_{011}$$

모드가 됨을 쉽게 알 수 있다.

7.3.2. TM 모드

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TM 모드는 TE 모드와 비슷한 방법을 통해 만들 수 있다. $$H_{z}=0$$인 경우를 고려하면 된다. 이것을 만족하기 위해선

$$\displaystyle \frac{l \pi}{a}E_{2}-\frac{m \pi}{b}E_{1}=0 $$

이어야 한다. TE 모드와 마찬가지로 $$E_{z}=0$$이면, $$\mathrm{TEM}$$ 모드가 됨에 따라 다음과 같이 놓자.

$$\displaystyle E_{z}=E_{0} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} $$

이때 다음이 만족해야한다는 것을 이미 알고 있다.

$$\displaystyle \frac{l \pi}{a}E_{1}+\frac{m \pi}{b}E_{2}+\frac{n \pi}{d}E_{0}=0 $$

따라서 두 식을 연립하면,

$$\displaystyle E_{1}=-\frac{n}{d}\frac{ab^{2}l}{a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2}}E_{0} \qquad \qquad E_{2}=-\frac{n}{d}\frac{a^{2}bm}{a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2}}E_{0} $$

이것으로 부터 자기장 세기의 각 세기와 관련된 상수 $$H_{1}\sim H_{2}$$는 결정할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} H_{1}&=-\frac{i}{\omega \mu_{0}} \frac{m \pi (b^{2}d^{2}l^{2}+a^{2}d^{2}m^{2}+a^{2}b^{2}n^{2})}{bd^{2}(a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2})}E_{0} \\
H_{2}&=\frac{i}{\omega \mu_{0}} \frac{l \pi (b^{2}d^{2}l^{2}+a^{2}d^{2}m^{2}+a^{2}b^{2}n^{2})}{ad^{2}(a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2})}E_{0} \end{aligned} )]

따라서 결정된 장을 나열하면, 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
E_{x}&=-\frac{n}{d}\frac{ab^{2}l}{a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2}}E_{0}\cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
E_{y}&=-\frac{n}{d}\frac{a^{2}bm}{a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2}}E_{0}\sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \sin{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
E_{z}&=E_{0} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
H_{x}&=-\frac{i}{\omega \mu_{0}} \frac{m \pi (b^{2}d^{2}l^{2}+a^{2}d^{2}m^{2}+a^{2}b^{2}n^{2})}{bd^{2}(a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2})}E_{0} \sin{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \cos{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
H_{y}&=\frac{i}{\omega \mu_{0}} \frac{l \pi (b^{2}d^{2}l^{2}+a^{2}d^{2}m^{2}+a^{2}b^{2}n^{2})}{ad^{2}(a^{2}m^{2}+b^{2}l^{2})}E_{0} \cos{\left( \frac{l \pi x}{a} \right)} \sin{\left( \frac{m \pi y}{b} \right)} \cos{\left( \frac{n \pi z}{d} \right)} e^{i(kz-\omega t)} \\
H_{z}&=0
\end{aligned} )]

이때, 이러한 모드를 $$\mathrm{TM}_{lmn}$$ 모드라 한다. 마찬가지로 공동 내 전자기파 주파수

$$\displaystyle \omega=c\sqrt{ \left( \frac{l \pi}{a} \right)^{2}+\left( \frac{m \pi}{b} \right)^{2}+\left( \frac{n \pi}{d} \right)^{2} } $$

가 최소가 되는 최저 모드를 결정하자. 공동 내에 $$\mathrm{TEM}$$ 모드는 존재할 수 없으므로 $$l,\,m \neq 0$$ 조건을 만족해야 한다.[27] 그런데 TE 모드와 달리 TM 모드는 $$n=0$$을 허용한다. 그렇기 때문에 TM 모드의 최저 모드는 공동의 길이와 관계 없이

$$\mathrm{TM}_{110}$$

[27] 이 조건을 만족하지 않으면, $$E_{z}=0$$이 되어 $$\mathrm{TEM}$$ 모드가 된다는 것에 유의하라.

모드이다.

7.3.3. 공동 내의 에너지 흐름

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위에서 공동 내에서 생성되는 전자기파에 대해 분석하였고, 이 문단에선 공동 내에 에너지 흐름이 존재할 수 있는 지 살펴보고자 한다. 전자기파의 에너지 흐름은 평균 포인팅 벡터를 이용하여 계산할 수 있다. 즉

$$\displaystyle \left \langle \mathbf{S} \right \rangle =\left \langle \mathbf{E} \times \mathbf{H} \right \rangle $$

그러나, 현실적으로 위의 6개의 성분을 일일이 외적하고, 다시 평균값을 계산하기에는 시간도 많이 걸릴 뿐 더러, 비효율적이다. 따라서 이 문단에선 우회적으로 에너지 흐름을 분석해보고자 한다.
TE 모드와 TM 모드 또는 일반적인 모드에 허수 $$i$$는 전기장 혹은 자기장 세기 한 곳에만 붙는다. 즉, 이 말은 관측가능한 실수부의 전자기파를 볼 때, 한 벡터장이 시간 항 $$\cos{(kz-\omega t)}$$를 택하게 되면, 다른 벡터장은 자동적으로 $$\sin{(kz-\omega t)}$$을 택한다는 말과 같다. 따라서 포인팅 벡터는 전기장과 자기장과의 성분의 곱으로 이루어져있으므로 포인팅 벡터 계산 시엔 각 항엔 아래와 같은 항이 들어가게 된다.

$$\displaystyle \left \langle \sin{(kz-\omega t)}\cos{(kz-\omega t)} \right \rangle=\frac{1}{2}\left \langle \sin{2(kz-\omega t)} \right \rangle $$

그러나 한 주기에 대한 위의 평균값은 0이다. 따라서 모든 항은 0이 되고, 결과적으로 평균 포인팅 벡터는 없다는 것이 된다. 따라서 공동 내의 에너지 흐름은 없다.
이 결과는 문제 상황을 생각해봤을 데 명확한 결과다. 왜냐하면, 전자기파는 전파될 수 없고, 사방이 전기 전도도가 매우 높은 금속으로 둘러싸여, 반사되고, 반사되어 각각의 축으로 정상파를 형성한다. 정상파는 에너지가 흐를 수 없다는 것을 생각해봤을 때, 이 경우의 전자기파 또한 에너지 흐름이 존재할 수 없기 때문이다.
주의해야 할 것은 공동 내에서는 이러한 논리적 접근이 가능하지만, 다뤘던 사각형 도파관이나, 평행판 도파관은 $$z$$축으로 전파될 수 있을 뿐더러, 해의 모양 또한 공동 내와 다르기 때문에 이런 식으로 결론을 내릴 순 없다. 따라서 이 두 케이스는 직접적으로 계산을 해봄으로써, 에너지 흐름을 계산할 수 있으며, 그 값 또한 0이 아니다.

8. 이 문서의 의의

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눈썰미가 좋은 위키러들은 전반적으로 이 문서가 광학과 유사한 내용을 다루고 있다는 것을 직감할 수 있을 것이다. 그런데, 전자기파는 가시광선 인 빛도 포함하므로 결국엔 광학적 내용을 다룬 것이다.
이 문서는 결국 '''광학은 전자기학의 기초가 됨'''과 동시에 '''광학을 완벽히 이해하려면 맥스웰 방정식과 전자기파의 심층적 이해는 필연적인 것'''임을 얻는다.

9. 관련 예제

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10. 관련 문서

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• 전기장
• 전기 변위장
• 자기장
• 자기장 세기
• 전자기파
• 포인팅 벡터
• 광학