질량-에너지 동등성
1. 개요
$$E=mc^2$$
특수상대론에서 도출되는 원리 중 하나. 많은 사람들에게 저 식으로 많이 알려져 있다.
'''질량을 에너지로 바꿀 수 있다'''[1]로 이야기할 수 있다. 많은 사람들이 일반 상대성 이론의 질량-에너지 등가 원리를 '질량을 광속으로 가속하면 에너지로 바뀐다'라고 생각하지만, 등가 원리의 정확한 뜻은 질량과 에너지는 똑같은 본질의 다른 형태라는 것뿐이다. 질량과 에너지가 전환하는 예로는 핵융합, 핵분열 과정에서 에너지가 출입하는 것을 들 수 있다. 이 때문에 핵 발전은 적은 질량의 연료로도 많은 에너지를 방출할 수 있다. 이를 당연한 상식으로 여기는 핵물리에서는 에너지와 질량의 단위를 '''구분하지 않는다.'''
특수상대성이론에서 가정하고 있는 광속 c는 299,792,458m/s니까 1 g의 질량이 완전히 에너지로 전환될 경우 89,875,517,873,681'''.'''764 J(89'''조'''; 반올림하여 약 90 TJ(테라줄))이라는 말도 안 되는 에너지가 방출되게 된다. 즉 "1 g의 질량"과 "89,875,517,873,681'''.'''764 J의 에너지"는 같은 대상을 서로 다르게 표현한 것이라 할 수 있다. 이 에너지는 0 ℃물 약 22만 톤을 100 ℃까지 가열시킬 수 있는 에너지다. 22만 톤이면 대략 한변의 길이가 약 60 m인 정육면체에 담긴 물의 무게와 같다 (1톤=1 m3의 물). 더 와닿는 표현으로는, 한 달에 208kWh의 전력을 쓰는 10,000가구가 1년 동안 소비하는 전기 에너지의 양이다.
세세하게 따지면 $$E=mc^2$$는 정지해 있는 물체 또는 빛보다 훨씬 느린 물체에게만 적용되는 공식으로, 확장한 버전이 2개 있다.
$$E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$$
$$E=\gamma mc^2$$
2. 도출 과정
2.1. 로런츠 불변성
위 상대론적 역학 링크에서는 로런츠 불변성과 연관지어 설명되어 있다. 상대론적 운동량과 에너지는 다음과 같이 써진다.
$$p=\gamma mv,\ E=\gamma mc^2$$ ($$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2} } })$$
그런데, 테일러 전개라는 미적분학의 매우 간단한 기술을 사용하면 상대론적 에너지를 아래와 같이 쓸 수 있다.[2]
$$\begin {aligned} E & = \gamma mc^2 \\ & =mc^2+(\gamma -1) mc^2 \\ & = mc^2 + mc^2 \cdot \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \, \cdots \, \cdot (2n-1)}{2^n \cdot n!} \left ( \frac{v^2 }{c^2} \right ) ^k \\ & = {\color{green} mc^2} + {\color{purple} \dfrac{1}{2} mv^2} + \dfrac{3}{8} m \dfrac{v^4}{c^2} + \cdot \cdot \cdot \\ & \approx {\color {green} mc^2}+{\color {purple}\dfrac{1}{2} mv^2}\end {aligned}$$(근사 식은 충분히 작은 속력)
두 번째 항은 고전물리학에서 나타난 운동에너지이다. 위 상대론적 에너지는 느린 속력에서 고전물리학을 근사적으로 쓸 수 있음을 말한다. 첫 번째 항은 속력이 0일 때 나오는 항이다. 속력이 0일 때 운동에너지도 0이어야 한다. 이 항이 바로 '''질량 자체가 가진 에너지'''이다.
2.1.1. 관련 문서
2.2. 가상 실험
그런데 이 로런츠 불변성을 이용한 설명 외에 다른 방법이 있다. 시간 지연, 길이 수축에서 '''달리는 열차''' 모형을 도입하여 도출하는 방법이 나와 있다. 이와 비슷하게, 질량과 에너지의 정량적 관계를 계산하는 모형을 세울 수 있다. 출처
[image]
- (1) 위 그림에서 상자의 왼쪽 벽에서 질량($$m$$) 결손[4]으로 에너지가 발생한다.
- 그 에너지가 전부 빛의 형태로 나온다고 가정한다. 빛을 가정하는 것은 운동량과 에너지의 관계식이 명확히 주어져 있기 때문이다. $$E=pc$$
- 빛의 일부는 벽에 반사하면서 상자에게 왼쪽으로 운동량 $$p$$를 가한다.
- 이때 상자의 질량 $$M$$은 충분히 크다고 가정한다. 질량을 크게 잡음으로써 충분히 느린 속도 $$v$$에서 고전적인 운동량의 식 $$p=Mv$$를 쓸 수 있도록 한다. 또한 상자로 전달되는 에너지도 작아져서 빛의 에너지 손실도 충분히 줄일 수 있다.[3]
- (2) 빛이 반대편 벽으로 움직인다. 이때 빛이 $$X$$를 움직이는 사이 상자는 반대쪽으로 $$\Delta x$$만큼 움직인다고 잡는다.
- (3) 빛이 모여서 에너지가 다시 질량 형태로 생겨나고 상자는 다시 멈춘다. 외부로 나오는 에너지 손실은 없다고 가정한다. 이 상황에서 운동량과 소요시간 관계식을 세울 수 있다.
$$\displaystyle \Delta t={X\over c}={\Delta x \over v}$$
또한 계에서의 운동량 총합은 0으로 일정하다. 처음과 끝에서 상자와 입자가 모두 정지해 있기 때문이다. 따라서 질량중심의 위치는 변하지 않는다.($$x_1,\ x_2$$는 상자의 질량중심과 입자의 처음 위치)
$$\displaystyle \frac{Mx_1+mx_2}{M+m}=\frac{M(x_1-\Delta x)+m(x_2+X)}{M+m}$$
이 식을 이항하면 $$M\Delta x=mX$$가 되고, 여기에 두 번째 식을 대입하면 $$Mv=mc$$가 된다. 양변에 {$$c$$를 곱하고 첫 번째 식을 대입하면 $$E=mc^2$$을 이끌어낼 수 있다.
2.3. 아인슈타인의 방법
이 방법은 '기적의 해'라 불리는 1905년에 아인슈타인이 낸 4번째 논문 "물체의 관성은 내부 에너지에 의존하는가?" (원문: "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?")에 나오는 유도 방법이다.
상대론적 도플러 효과에 의하면 빛의 파장은 관측자에 따라 다르다.
$$f'=f \frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}=f \frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
빛의 에너지는 파장에 비례하므로
$$E'=E \frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
여기서 ''v''는 물체들이 서로 다가갈시 양수이고, 멀어질 시 음수이다.
이제 원점에 어떤 물체가 정지해있고, $$E_0$$만큼의 에너지를 가지고 있다고 하자. 당신은 이 물체를 향해서 v 만큼의 속력으로 달린다. 당신의 관점에서 이 물체의 에너지는 $$H_0$$라 하자. 잠시 후, 이 물체는 두 방향으로 똑같은 에너지를 가진 광자를 하나씩 방출한다. 하나는 당신이 달려오는 방향으로, 하나는 반대 방향으로. 광자 하나의 에너지를 $$\frac{E}{2}$$라 하자. 양쪽으로 똑같은 광자를 방사했으므로, 이 물체가 보기에는 자신은 여전히 정지해있으며, 느낀 총 가속도는 0이다. 정지해 있는 관점에서 본, 방출 후 물체의 에너지는
$$E_1=E_0-\frac{E}{2}-\frac{E}{2}=E_0-E$$
반면, 당신이 보기에는 이야기가 살짝 다르다. 도플러 효과 때문에 당신에게 쏘인 광자와 반대 방향으로 쏘아진 광자는 에너지가 다르다. 그러므로 당신이 보기에 광자 2개를 잃은 물체가 가진 에너지는
$$H_1=H_0-\frac{E}{2}\frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-\frac{E}{2}\frac{1-v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=H_0-\frac{E}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$
광자 방출 전에 물체가 가진 운동 에너지를 $$K_0$$, 방출 후의 운동 에너지를 $$K_1$$라 하면,
$$K_0=H_0-E_0$$
$$K_1=H_1-E_1$$
우리가 흥미를 가지고 있는 값은 $$K_0-K_1$$다. 즉, 빛을 방출하므로써 물체가 잃은 운동 에너지.
$$K_0-K_1=(H_0-E_0)-(H_1-E_1)=(H_0-E_0)-(H_0-\frac{E}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-E_0+E)$$
$$K_0-K_1=E(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1)$$
우변을 (중심을 v=0로 잡고) 테일러 급수로 전개하면
$$K_0-K_1=E((1+\frac{v^2}{2c^2}+...)-1) \approx \frac{1}{2}\frac{E}{c^2}v^2$$
여기서 잠깐 생각을 해보자. 물체의 관점에서 물체는 전혀 외력을 느끼지 못했고, 속도도 변하지 않았다. 따라서 달리고 있는 당신이 보기에도 물체의 속력은 변하지 않았다. 하지만 운동 에너지는 변했다. 운동 에너지는 $$\frac{1}{2}mv^2$$인데, $$v$$가 같다면 달라진건 $$m$$, 즉 질량이다. 물체가 잃은 이 질량을 $$\Delta m$$이라고 하자.
$$K_0-K_1=\frac{1}{2}\Delta m v^2= \frac{1}{2}\frac{E}{c^2}v^2$$
$$\Delta m = \frac{E}{c^2}$$
$$E=c^2\Delta m$$
즉, 물체가 잃은 질량의 양을 그냥 $$m$$이라 하면,
$$E=mc^2$$
3. 기타
- 사실 $$E=mc^2$$의 옳고 그름은 실험 결과 때문에 논란이 없지만, 아인슈타인의 유도들은 논란이 있다. 이 문서에도 서술된 1905년의 유도 방법은 순환 논법을 사용했다든지[5], "원초적 원리" (first principles)에 의지하지 않고 제대로 검증/증명되지 않은 식들을 썼다든지, 근사값을 너무 많이 썼다든지 [6] 등등 꽤 시끄러웠다. 그래서인지 아인슈타인은 죽을 때까지 $$E=mc^2$$를 엄밀히 증명하지 못했다고 생각하는 학자들도 꽤 있으며, 더 나아가 특수 상대성 이론 자체가 $$E=mc^2$$를 증명하기에는 부족하다는 의견도 있다.
- 아인슈타인이 직접 설명하는 $$E=mc^2$$
[1] 대표적으로 핵분열, 핵융합, 물질과 반물질 간의 쌍소멸, 쌍생성[2] 상대성 이론의 전제와 식으로부터, 실제 존재하는 물질이든 타키온과 같은 가상의 물질이든 광속이 '''아닌''' 물체를 광속으로 만드는 것은 불가능하다. 질량에 상관없이 광속으로 가속(타키온일 경우 감속)하는 데 필요한 에너지는 무한히 크기 때문이다.[3] $$K=\frac{p^2}{2m}$$에서 알 수 있듯이, 같은 운동량이라 해도 운동에너지는 질량이 클수록 작아진다.[4] 핵분열, 핵융합, 입자-반입자 충돌 등[5] 하지만 결국 이 순환 논법 의심은 부정된 듯[6] 테일러 급수 사용, 상대성 이론인데 고전적 운동 에너지인 1/2mv^2 사용