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복소평면에 표시한 '''1의 7제곱근 $$\boldsymbol{z_{0} \sim z_{6}}$$[1] 각각은 z_{n}=\cos{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)}+i \sin{\left( \dfrac{2\pi n}{7}\right)}이다. 간단히 {\rm cis}{\left( \dfrac{2\pi n}{7} \right)}로 적기도 한다.
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1. 소개
'''1의 거듭제곱근(Root of unity)'''
[2] 단위근(Unit root), 드 무아브르 수(de Moivre number)라고도 한다.
은 연산이 정의된
군의 개념으로, 해당 연산을 유한 번 거듭하여
항등원을 얻을 수 있는 원소들을 일컫는다. 이 개념을
복소수의 곱셈 군 $$(\mathbb C^{\times}, \ \cdot \ )$$에 한정하여 생각하기도 한다.
2. 정의
1의 거듭제곱근(Root of unity) 군 $$(G, \ \cdot \ )$$과 원소 $$a \in G$$가 주어져 있을 때, $$g^n = a$$인 원소 $$g \in G$$를 $$a$$의 거듭제곱근(Root of $$a$$) 혹은 제곱의 수를 강조하여 $$\boldsymbol a$$의 $$\boldsymbol{n}$$제곱근($$n$$th root of $$a$$)이라고 한다. 특히, $$a$$가 군 $$(G, \ \cdot \ )$$의 항등원 1인 경우 [3] 곱셈군 (G, \ \cdot \ )를 다룰 때는 관습적으로 항등원을 e가 아닌 1로 적는다. 비슷하게, 덧셈군 혹은 가환군 (G, +)의 항등원은 [math(0)]으로 적는 경우가 많다. $$g \in G$$를 1의 거듭제곱근(Root of unity) 혹은 1의 $$n$$제곱근($$n$$th root of unity)이라고 한다. |
'''1의 거듭제곱근(Root of unity)'''
$$z^n = 1$$인 복소수 $$z \in \mathbb C$$를 '''1의 거듭제곱근(Root of unity)''' 혹은 '''1의 $$\boldsymbol{n}$$제곱근($$\boldsymbol{n}$$th root of unity)'''이라고 한다.
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위에서 정의한 일반적인 군 $$(G, \ \cdot \ )$$를 곱셈군 $$(\mathbb C^{\times}, \ \cdot \ )$$로 한정한 버전이다. 물론 1이 아닌 임의의 복소수 $$a \in \mathbb C$$의 $$n$$제곱근도 생각할 수 있지만, 이는 $$a \in \mathbb C$$의 한 $$n$$제곱근에 1의 $$n$$제곱근들을 곱한 형태로 전부 표현 가능하다. 그렇기 때문에 1의 $$n$$제곱근들은 본질적인 거듭제곱근으로서의 의미를 가진다. 아래 예시는 전부 복소수체(의 부분군)에서 계산한 1의 거듭제곱근들이다.
3. 1의 제곱근
$$\begin{aligned} z^2 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow z =\pm 1 \end{aligned}$$
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4. 1의 세제곱근
$$\begin{aligned} z^3 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z^2+z+1)=0 \\ & \Leftrightarrow z = 1 \ \mathsf{or} \ z = \dfrac {-1 \pm \sqrt 3i}2 \end{aligned}$$
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5. 1의 네제곱근
$$\begin{aligned} z^4 = 1 & \Leftrightarrow (z - 1)(z + 1)(z - i)(z + i) = 0 \\ & \Leftrightarrow z = \pm 1 \ \mathsf{or}\ z = \pm i \end{aligned}$$
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6. 1의 n제곱근
방정식 $$z^n = 1$$의 양 변의 절대값을 비교하면, $$\lVert z\rVert = 1$$이므로 $$z = \cos\theta + i\sin\theta$$라고 쓸 수 있다. 드 무아브르 공식에 의해, $$\begin{aligned} 1 &= z^n \\&= \cos n\theta + i\sin n\theta \end{aligned} $$을 얻는다. 이 식이 성립하려면, $$n\theta = 2k\pi$$ 즉 $$\exists k \in \mathbb{z} \, \mathsf{s.t.} \, \theta = 2k\pi/n$$ 이어야만 한다. 중복근을 전부 제외하면 $$\begin{aligned} z &= \cos\dfrac {2k\pi}n + i\sin\dfrac {2k\pi}n \\&= {\rm cis}{\left(\dfrac {2k\pi}n \right)} \; ( 0 \leq k < n) \end{aligned} $$이 모든 1의 $$n$$제곱근이다. $${\rm cis}$$는 허수지수함수이다. |
7. 성질
'''1의 $$\boldsymbol{n}$$제곱근으로 구성된 군(Group of $$n$$th roots of unity)'''
가환군 $$G$$에서, 1[4] 항등원. 보통 가환군의 항등원은 [math(0)]으로 적지만 본 문서에서 모든 군의 항등원을 1로 표기했으므로 이에 따른다.
- [ 증명 ]
- 1의 $$n$$제곱근들을 모은 부분집합을 $$G_n$$이라 하자. - $$G_n$$이 $$G$$로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음.
- $$g, h \in G_n$$이면, $$g^n = h^n = 1$$이므로 $$(gh)^n = 1$$[9], 즉 $$gh \in G_n$$.
- $$G_n$$은 $$G$$의 항등원 1을 포함.
- $$1^n = 1$$이므로 $$1 \in G$$.
- 임의의 $$G_n$$의 원소는 역원을 가짐.
- $$g \in G_n$$이면, $$(g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1$$이므로 $$g^{-1} \in G_n$$.
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여기서 $$G$$가 가환군이 아니면 위 명제는 성립하지 않는다. 실제로, 다음과 같은 반례가 존재한다. $$2 \times 2$$
행렬들의 집합 $$\mathfrak M_{2, 2}(\mathbb R)$$을 생각하자. 여기서 역행렬이 존재하는 행렬들은, 행렬 곱셈에 대하여 일반선형군 $$\mathbf{GL}_2(\mathbb R)$$을 이룬다. 그런데,
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
이지만
$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} ^2 &\neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$
이다. 즉, $$\mathbf{GL}_2(\mathbb R)$$에서 1의 제곱근들은 군을 이루지 않는다.
'''1의 모든 거듭제곱근으로 구성된 군(Group of all roots of unity)'''
가환군 $$G$$에서, 1의 모든 거듭제곱근들을 모은 부분집합[5] 즉, 1제곱근, 2제곱근, \cdots, n제곱근, \cdots 등을 전부 모은다.
- [ 증명 ]
- 바로 윗 명제의 증명에서 $$G_n$$을 생각할 때, $$\displaystyle G^{\ast} = \bigcup_{n \in\mathbb N}G_n$$이 $$G$$의 부분군임을 보이면 충분하다. - $$G^{\ast}$$가 $$G$$로부터 물려받은 연산에 대해 닫혀있음.
- $$g, h \in G^{\ast}$$이면, 적당한 $$m, n \in\mathbb N$$에 대하여 $$g^m = h^n = 1$$이므로 $$(gh)^{mn} = 1$$, 즉 $$gh \in G_{mn} \subset G^{\ast}$$.
- $$G^{\ast}$$은 $$G$$의 항등원 1을 포함.
- $$1^1 = 1$$이므로 $$1 \in G_1 \subset G^{\ast}$$.
- 임의의 $$G^{\ast}$$의 원소는 역원을 가짐.
- $$g \in G_n \subset G^{\ast}$$이면, $$(g^{-1})^n = g^n (g^{-1})^n = 1$$이므로 $$g^{-1} \in G_n \subset G^{\ast}$$.
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또한
복소평면에서 1의 제곱근은 원점에 대칭인
선분이며, $$n \geq 3$$인 $$n$$제곱근은 원점을 중심으로 한
정$$n$$각형을 그린다. 또한 정다각형의 꼭짓점이 원 위에 있다는 성질
[6] 곧, 원점과의 거리(= 절댓값)가 1임을 뜻한다. 그래서 1의 거듭제곱근 z에 부호 함수를 취할 경우 {\rm sgn}(z) = z가 성립한다.
을 이용해서 1의 $$n$$제곱근의 값을 띠는 점을
작도하는 게 가능하다.
[7] 단, [math(n=7)] 같이 작도가 불가능한 경우도 있다.
8. 관련 개념들
1의 원시근(Primitive root of unity) 군 $$(G, \ \cdot \ )$$과 자연수 $$n$$이 주어져 있을 때, $$g^n = 1$$, $$g^m \neq 1 \; (0 < m < n) $$ [8] 즉, n이 g^k = 1을 만족하는 최소의 자연수. 인 원소 $$g \in G$$를 원시근(Primitive root), 1의 원시근(Primitive root of unity) 혹은 1의 $$\boldsymbol n$$차 원시근(Primitive $$\boldsymbol n$$th root of unity)이라고 한다. |