등변 사다리꼴

1. 개요

---

isosceles trapezoid ・ 等邊-, 等角-
한 쌍의 평행한 대변#s-5 중 하나의 양 밑각이 같은 사다리꼴. 이 때문에 '''등각 사다리꼴'''이라고도 한다. 볼록다각형이다.
'평행하지 않은 한 쌍의 변의 길이가 같은 사다리꼴'로 정의하는 경우가 있는데 이는 잘못이다. 이 경우 등변 사다리꼴은 '한 쌍의 대변만이 평행하고, 나머지 한 쌍은 평행하지 않아야 한다'는 전제를 두게 되어, 직사각형을 등변 사다리꼴에 포함할 수 없기 때문이다.
'한 쌍의 평행한 대변을 제외한 나머지 두 변의 길이가 같은 사다리꼴'로 정의하는 것 역시 잘못이다. 이렇게 정의하면 모든 평행사변형이 등변 사다리꼴이 되어, '평행사변형'과 구별되는 개념으로서의 '등변 사다리꼴'을 정의하려는 본래의 의도에 반하기 때문이다.
따라서 변#s-3보다 각에 주안점을 둔 옳은 정의에 충실해지자면 '등변 사다리꼴'보다는 '등각 사다리꼴'이 더 적절한 명칭이다.

2. 개념

---

등변 사다리꼴에서 한 쌍의 평행한 대변을 제외한 나머지 두 변을 '''빗변'''이라고 한다.

3. 성질

---

• 두 빗변을 연장하여 그은 직선들은 한 점에서 만나고, 한 쌍의 평행한 대변 중 어느 것과도 함께 이등변삼각형을 이룸(직사각형 제외)[1]
  • 한 쌍의 평행한 대변 중 짧은 것 그리고 긴 것을 각각 변으로 하는 두 이등변삼각형은 $$\rm AA$$ 닮음
  • 등변 사다리꼴은 두 이등변삼각형 중 큰 것에서 작은 것을 잘라낸 모양
  • 두 직선의 교점은 한 쌍의 평행한 변 각각의 중점을 지나는 직선 위에 있음
• 한 쌍의 평행한 변 각각의 중점을 지나는 직선에 대하여 대칭
  • 한 쌍의 평행한 변 각각의 중점을 지나는 직선이 도형을 이등분, 이등분된 도형은 합동
  • 두 빗변이 같음
  • 두 대각선이 같음
• 쌍대는 연꼴
• 외접원이 존재

4. 다른 사각형과의 관계

---

등변 사다리꼴은 정의나 명칭에서부터 알 수 있듯이 사다리꼴이다. 그러나 평행사변형, 마름모, 연꼴, 직사각형, 정사각형 그 어느 것도 아니다. 직사각형은 사다리꼴이고 두 쌍의 대변이 각각 같으므로, 등변 사다리꼴이기도 하다.

5. 공식

---

* $$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\dfrac{\{\textsf{\footnotesize{(윗변)}}+\textsf{\footnotesize{(밑변)}}\}\times\textsf{\footnotesize{(높이)}}}2$$ * $$\begin{aligned}\textsf{\footnotesize{(둘레)}}&=\textsf{\footnotesize{(빗변)}}\times 2+\textsf{\footnotesize{(윗변)}}+\textsf{\footnotesize{(밑변)}}\\&=2\sqrt{\{\textsf{\footnotesize{(긴 평행한 변)}}-\textsf{\footnotesize{(짧은 평행한 변)}}\}^2+\textsf{\footnotesize{(높이)}}^2}+\textsf{\footnotesize{(윗변)}}+\textsf{\footnotesize{(밑변)}}\end{aligned}$$

[1] 직사각형 역시 등변 사다리꼴에 해당하지만, 직사각형의 두 빗변은 평행하기에 아무리 연장해도 한 점에서 만나지 않으며, '빗변'으로 부르기에도 애매하기까지 하다.