직사각형
1. 정의
네 각이 모두 같은 사각형, 혹은 네 각이 모두 직각인 사각형. 사각형의 내각의 합은 $$360^{\circ}$$이므로 네 각이 모두 직각, 즉 $$90^{\circ}$$라는 뜻이 된다. 따라서 직사각형은 볼록다각형이다.
2. 성질
- 두 쌍의 대변#s-5이 각각 평행
- 두 쌍의 대변이 각각 같음
- 두 대각선이 중점에서 교차
- 두 대각선의 길이가 같음
- 두 대각선이 수직
- 두 대각선이 서로를 이등분
- 한 대각선이 도형을 이등분, 이등분된 도형들은 합동
- 두 대각선이 도형을 사등분, 사등분된 도형들은 변을 공유하지 않는 쌍끼리만 합동[1]
- 합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많음
- 쌍대는 마름모
- 정사각형이 아닌 직사각형에 한하여 내접원이 존재하지 않음[2]
- 외접원이 항상 존재
3. 다른 도형과의 관계
3.1. 사각형
직사각형은 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 사다리꼴이며, 평행사변형이다. 또한 평행한 한 쌍의 대변 중 어느 하나의 양 밑각의 크기가 직각으로 같고 대각선의 길이까지 같으므로 등변 사다리꼴이다. 직사각형만이 평행사변형인 동시에 등변 사다리꼴이다. 그러나 네 변의 길이가 모두 같지 않으므로 마름모나 정사각형은 아니다.
3.2. 원기둥
직사각형을 $$360^{\circ}$$ 회전시키면 원기둥이 되며, 반대로 직사각형은 원기둥을 밑면의 지름을 따라 자른 단면이다.
4. 공식
- $$\textsf{\footnotesize{(넓이)}}=\textsf{\footnotesize{(가로)}}\times\textsf{\footnotesize{(세로)}}$$
- $$\textsf{\footnotesize{(둘레)}}=\{\textsf{\footnotesize{(가로)}}+\textsf{\footnotesize{(세로)}}\}\times 2$$
- 모든 각이 직각이므로 피타고라스 정리에 의하여 $$\textsf{\footnotesize{(대각선)}}=\sqrt{\textsf{\footnotesize{(가로)}}^2+\textsf{\footnotesize{(세로)}}^2}$$
5. 언어별 명칭
- 한국어: 직사각형(直四角形), 직각사각형(直角四角形), 직방형(直方形), 장방형(長方形), 구형(矩形), 긴네모(꼴)
- 중국어: 直角四边形[zhíjiǎosìbiānxíng], 长方形[chángfāngxíng], 矩形[jǔxíng]
- 일본어: 長方形(ちょうほうけい), 矩形(くけい·さしがた), 長四角(ながしかく), 長手(ながて)
- 영어: rectangle, oblong
중국어에서는 直角四边形(직각사변형), 长方形(장방형), 矩形(구형) 정도가 쓰이는데, '직각사'''각'''형'이 아니라 '직각사'''변'''형'으로 부르는 것이 두드러지는 특징이다.
일본어에서는 長方形(장방형), 矩形(구형), 長四角(장사각) 등의 한자어를 쓰는데, 한국어나 중국에서 찾아볼 수 없는 '장사각'이라는 단어가 눈에 뜨인다. 이중에서 矩形(구형)은 くけい로 음독#s-1할 수도 있고, さしがた로 훈독할 수도 있다. 한편 長手(ながて)라는 순일본어 어휘도 쓰이는데, 長手盆(ながてぼん, 직사각형 모양의 쟁반)과 같이 학술 용어가 아닌 일상 언어로 쓰인다.
영어에서는 rectangle이 많이 쓰이며, oblong은 '길쭉한'이라는 뜻의 형용사이기도 하다.