삼각형의 오심
1. 개요
삼각형의 오심(외심, 내심, 무게중심, 수심, 방심)을 서술하는 문서.
정삼각형은 방심을 제외한 사심(외심, 내심, 무게중심, 수심)이 같다.
2. 외심
'''외심'''은 삼각형의 외접원의 중심을 의미한다. $$\rm O$$로 표기하는 것이 일반적이다.
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예각 삼각형일 경우 삼각형 내부에, 직각 삼각형일 경우 빗변의 중점에, 둔각 삼각형일 경우 삼각형 외부에 존재한다.
2.1. 성질
- 외심에서 각 꼭짓점까지 이은 선분의 길이는 외접원의 반지름 $$R$$로 모두 동일하다.
3. 내심
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삼각형에 내접하는 원의 중심 혹은 세 내각의 이등분선의 교점을 '''내심'''이라고 한다. 보통 기호 $$\rm I$$로 표시한다.
이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있다.
3.1. 성질
- 삼각형의 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이는 모두 같다.
- 삼각형의 두 꼭짓점과 내심을 이은 각은 나머지 한 꼭짓점이 이루는 각을 $$\dfrac{1}{2}$$배 한 뒤 $$90^{\circ}$$를 더한 것과 같다.
- 삼각형의 넓이는 세 변의 길이를 $$a$$, $$b$$, $$c$$, 내접원의 반지름을 $$r$$이라 하면, $$\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$$이다.
4. 무게중심
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삼각형의 세 중선의 교점을 무게중심이라고 한다. 보통 기호 $$\rm G$$로 표시한다.
4.1. 성질
- 평면좌표 상의 세 점 $$A\left(x_1,y_1\right), B\left(x_2,y_2\right), C\left(x_3,y_3\right)$$이 꼭짓점인 삼각형의 무게중심 $$G$$의 좌표는 $$\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$임을 유도할 수 있다. 즉 (1) 세 중선의 교점과 (2) 삼각형의 세 꼭지점의 (물리학적) 무게중심 두 점은 일치한다. 대학 과정에서는 이 점과 (3) 삼각형 전체 영역의 (물리학적) 무게중심도 일치하다는 것을 증명할 수 있지만, 증명에 중적분이 필요하기 때문에 고교과정에서는 맞다고 가정하고 넘어간다.
- 삼각형의 각 변을 일정한 비율로 내분한 점들을 이어 만든 삼각형의 무게중심은 원래 처음의 삼각형의 무게중심과 일치한다.
- 무게중심을 구하기 위하여 그은 선으로 만들어진 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다.
- 고급 평면기하학에서 무게중심은 물리적인 의미와는 전혀 별도로, 다른 오심들과 엮여서 수많은 성질들과 정리들을 탄생시키므로 주된 연구대상이 되었다.
5. 수심
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삼각형의 세 꼭짓점에서 대변에 수선을 그었을때 그 세 수선이 만나는 교점을 수심이라고 한다. 보통 기호 $$\rm H$$로 표시한다.
6차 교육과정까지는 중등교육과정 상에 있었지만 7차 교육과정에 오면서 삭제되었다. 기존에는 내심, 외심, 무게중심이랑 같이 배웠다.
수심과 외심의 관계를 설명하는 정리가 바로 '''세르보어 정리'''이며, 수심의 성질을 이용해 구점원의 성질을 유도할 수 있다.
5.1. 성질
둔각삼각형의 수심은 삼각형 밖에 있다. 직각삼각형의 경우도, 직각을 끼고 있는 꼭짓점이 수심이 된다.
구면삼각형은 특이하게 수심을 최소 3개, 직각삼각형인 경우에 한해 4개까지 갖는다.
6. 방심
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삼각형에서 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점이고, 아래와 같이 한 삼각형에 3개 존재한다. 보통 방심과 대칭 관계의 점이 $$\rm A$$인 경우, $$\rm{I_{A}}$$로 표시한다.
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교육과정에서 수심이랑 함께 삭제된 내용이다. 정규 교과과정 상에서는 삭제되었기 때문에 학교에서 배울 때도 쓸데 없고 문제도 안 나온다고 하고 무시해버리는 쿨한 선생님들이 많다. 특히 한 내각을 설정해야 하기 때문에 한 삼각형에 세 개가 존재하며, 따라서 방접원도 세 개가 존재하게 되고 이를 이용해 객관식, 주관식, 서술형으로 문제 내기 귀찮아서 포기하는 경우도 많다. 물론 방심이라는 명칭 없이 모양만 시험문제에 나올 수도 있다.
6.1. 성질
방심을 모두 이은 삼각형은 원래 삼각형의 쌍대 관계이다. 참고로, 내심에서 성립하는 대부분의 성질은 방심에서도 유사하게 성립한다.
7. 오일러 직선
삼각형의 외심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심은 항상 일직선 위에 있는데, 이를 오일러 직선이라고 한다.
본 증명으로 들어가자면, AH//OM이고, AH=2OM이므로 AM과 OH의 교점을 G라 하면 닮음에 의해 AG:GM=2:1이므로 G는 삼각형 ABC의 무게중심이다. 따라서 삼각형 ABC의 무게중심은 두 직선 AM과 HO의 교점이고, 따라서 O, G, H는 이 순서대로 한 직선 위에 있다. 이때 OG:OH=1:3이 된다. 세르보어의 정리를 이용해 구점원의 중심도 그 위에 있음을 보일 수 있다.
8. 오심과 관련된 정리
오심과 관련된 정리 문서 참조