순서쌍

 


1. 개요
2. 예시
3. 활용
3.1. 결합확률분포, 결합확률함수


1. 개요

ordered pair ・ 順序雙
'''순서'''[1]가 있는 '''두 수'''를 짝지어 나타낸 것. '순서쌍'의 '쌍(雙)' 자체가 '둘'을 뜻하기 때문이다. 따라서 셋 이상의 수를 짝지은 것은 엄밀히 말해 순서쌍이 아닌데, 넓은 의미에서는 '$$n$$중 순서쌍'으로 표현하기도 한다.[2] 또한, 순서를 고려하므로, 같은 두 수를 짝지었더라도 순서가 다르면 다른 순서쌍이다.
일반적으로, $$(1,\,1)$$과 같이 수 사이에 ,(콤마)를 넣고 전체를 괄호로 감싸서 표기하며, $$(1,\,1)$$은 '일 콤마 일'로 읽는다.
꼭 학문적 내용이 아니더라도 사람들은 일상에서 순서쌍의 개념을 많이 쓴다. 예를 들어 생일은 태어난 월과 태어난 일을 짝지은 순서쌍이며, 초중고 학생의 학번은 학년과 반과 출석 번호를 짝지은 3중 순서쌍이다.

2. 예시

주사위를 두 번 던질 때, 처음에 나오는 눈을 $$x$$, 다음에 나오는 눈을 $$y$$라 하면, 나오는 경우의 수는 $$(x,y)$$라는 순서쌍이며, 다음과 같이 36가지이다.

$$(1,\,1),\,(1,\,2),\,(1,\,3),\,(1,\,4),\,(1,\,5),\,(1,\,6)\\(2,\,1),\,(2,\,2),\,(2,\,3),\,(2,\,4),\,(2,\,5),\,(2,\,6)\\(3,\,1),\,(3,\,2),\,(3,\,3),\,(3,\,4),\,(3,\,5),\,(3,\,6)\\(4,\,1),\,(4,\,2),\,(4,\,3),\,(4,\,4),\,(4,\,5),\,(4,\,6)\\(5,\,1),\,(5,\,2),\,(5,\,3),\,(5,\,4),\,(5,\,5),\,(5,\,6)\\(6,\,1),\,(6,\,2),\,(6,\,3),\,(6,\,4),\,(6,\,5),\,(6,\,6)$$
[1] 순서 관계에서의 순서와는 무관하다.[2] 심지어는 $$((1,\,2),\,(3,\,4))$$ 같이 순서쌍 안에 또 다른 순서쌍이 있는 경우도 있다. 물론 이 경우는 $$({\bold a},\,{\bold b})$$ 같은 식으로 안쪽의 순서쌍을 따로 '꾸러미'로 취급하는 것이 일반적이다.

분류

처음에 1이 나오고 다음에 2가 나오는 경우와, 처음에 2가 나오고 다음에 1이 나오는 경우는 다르다. 곧, 순서쌍 $$(1,\,2)$$와 $$(2,\,1)$$은 다르다.

3. 활용


3.1. 결합확률분포, 결합확률함수

위 예시와 같이 경우의 수를 표기할 때 많이 쓰는데, 특히 두 개의 확률변수가 작용하는 '''결합확률분포''' 그리고 '''결합확률함수'''에서 많이 쓴다. 우선, 처음에 나오는 눈을 $$X$$, 다음에 나오는 눈을 $$Y$$라 하고 위 예시를 결합확률분포로 나타내면 다음과 같다.
$$X$$
$$1$$
$$2$$
$$3$$
$$4$$
$$5$$
$$6$$
$$Y$$
$$1$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$2$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$3$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$4$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$5$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$6$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
$$\dfrac1{36}$$
따라서 결합확률함수는 $$f(x,\,y)=1/36$$이며,

$$\displaystyle\sum_x\displaystyle\sum_y f(x,\,y)=\dfrac1{36}\times 36=1$$

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이므로 전사건의 확률은 1이다.

3.2. 좌표계

좌표계 중 좌표평면의 좌표는 $$x$$좌표와 $$y$$좌표를 원소로 하는 순서쌍이며, 3차원 좌표공간의 좌표는 $$x$$좌표, $$y$$좌표, $$z$$좌표를 원소로 하는 순서쌍이다. 특히, 격자점은 원소가 모두 정수인 순서쌍이다.
복소수는 두 개의 성분으로 표현되기 때문에 임의의 복소수 $$z$$는 아래와 같이 순서쌍에 대응한다. $$\Re(z)$$, $$\Im(z)$$는 각각 복소수 $$z$$의 실수부, 허수부이다.

$$z \Leftrightarrow (\Re(z),\,\Im(z))$$

분류

이를 평면에 나타낸 것이 복소평면으로, 위 순서쌍은 복소평면에서 실수부와 허수부를 좌표로 하는 순서쌍이다.

3.3. 다변수함수

더 나아가 순서쌍을 정의역으로 하는 함수를 생각할 수 있는데 이를 다변수함수라고 한다. 대표적으로 내적이 있는데, 수의 묶음으로 나타낸 순서쌍을
$$((a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n),\,(b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_n)) \mapsto a_1^{\ast} b_1 + a_2^{\ast} b_2 + \cdots +a_n^{\ast} b_n$$
에 대응시키는 함수이다. $$z^{\ast}$$는 복소수 $$z$$의 켤레복소수이다.

3.4. 벡터

이 문서에서 벡터를 꾸러미니 수의 묶음이니 표현했는데, 벡터를 '방향이 있는 수'로 알고 있던 사람에게는 괴리가 생기지만 사실 이게 맞는 말이다. 그렇기 때문에 본문에서처럼 순서쌍으로도 나타낼 수 있다.[3]
다만 선형대수학에서는 벡터 표기에 순서쌍보다는 행렬을 더 많이 사용한다. 더 나아가 힐베르트 공간까지 가면 아예 순서쌍 자체를 생각하기 힘든 수준이다.
[3] 실제로 고등학교 과정에서 내적을 배울 때 벡터를 '순서쌍'으로 푸는 과정이 있다.

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